TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales
|
|
- Vicenta Luna Hidalgo
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 MATEMÁTICAS 2º Bach. BLOQUE : ALGEBRA José Ramón Padrón TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales Dándole vueltas a las matrices: La matriz inversa
2 INTRODUCCIÓN Observa los precios de tres prendas de vestir que hemos seleccionado en unos almacenes: Normal Rebajas Super Rebajas Chaleco 2 8 Camisa 22 5 Pantalones A Si en el centro comercial las ventas de cada una de las prendas en cada uno de los trimestres fueron las que se recogen en el siguiente cuadro: Chalecos Camisas Pantalones T T2 2 5 T3 5 2 T B
3 INTRODUCCIÓN Para conocer la cantidad de dinero que ganaríamos en cada trimestre dependiendo de si ese trimestre los precios son los normales, es un trimestre de rebajas o es un trimestre de super-rebajas, solamente necesitaríamos multiplicar la primera matriz por la segunda: Normal Rebajas Super Rebajas T T T T Este número representa la cantidad de dinero que hubiéramos ganados si en el segundo trimestre hubiéramos estado en rebajas 3
4 INTRODUCCIÓN Pero supongamos que conocemos la matriz A y la matriz M de los resultados (Es decir, los precios y el dinero ganado) Cómo podemos averiguar lo que se ha vendido? B Plantearaquíuna matriz B llena de letras es bastante complicado pues tendría 2 incógnitas Debemos buscar un método para poder despejar la matriz B
5 Cómo le damos la vuelta a una matriz? Vamos a comenzar por un caso simple Si elegimos un número cualquiera, nos encontramos con una caso especial de una matriz cuadrada de orden. Buscamos una matriz B, de forma que al multiplicarla por la matriz A, nos resulte la matriz identidad, en este caso de orden, es decir: ( 6 ) A A B 6 B Según lo que conoces de la parte de números, sabes que a B se le denomina B 6 el inverso de A y que se representa como 6 5
6 Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz A, se llama inversa de A y se representa por A - a aquella matriz que cumple: A tiene que ser cuadrada Por qué? Fíjate que la matriz identidad si es cuadrada y que tiene que salir lo mismo en las dos multiplicaciones El determinante de A no puede ser cero, por qué? Recuerda que el determinante del producto es el producto de los determinantes y Cuánto vale el determinante de la matriz identidad? En la siguiente diapositiva se te dan pistas para responder a estas preguntas 6
7 Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz A, se llama inversa de A y se representa por A - a aquella matriz que cumple: A tiene que ser cuadrada Por qué? Fíjate que la matriz identidad si es cuadrada y que tiene que salir lo mismo en las dos multiplicaciones El determinante de A no puede ser cero, por qué? Recuerda que el determinante del producto es el producto de los determinantes y Cuánto vale el determinante de la matriz identidad? 7
8 Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz, la fórmula por la que podemos calcular la matriz inversa es A deta ) ( Adj(A ) t Es decir, la inversa de una matriz es igual a la matriz traspuesta de la matriz formada por todos sus adjuntos multiplicada por el inverso del determinante Esto se ve mejor con un ejemplo 8
9 MATEMÁTICAS 2º Bach. TEMA 3 José Ramón Padrón Ejemplo Cálculo de la matriz inversa de una de orden A º Comprobamos que es una matriz cuadrada 2º Vemos cuánto vale su determinante º Se calculan todos los adjuntos
10 Ejemplo
11 MATEMÁTICAS 2º Bach. TEMA 3 José Ramón Padrón Ejemplo La matriz Adjunta entonces es Adj(A) ( ) t ) Adj(A deta A Recordemos la fórmula: La aplicamos a este caso y nos queda: t A Tema 3: Matriz Inversa
12 ECUACIONES MATRICIALES Una ecuación matricial no se más que aquella donde la incógnita es una matriz. En el tema ya hemos resuelto alguna, pero ahora pretendemos hacer ecuaciones más complejas y utilizar la idea de matriz inversa para resolver Ejemplo: Supongamos una ecuación matricial sencilla A X B Si la matriz A tuviera inversa, podemos utilizarla de la forma siguiente para poder despejar X Además, sabemos que: A A X A A I A B La ecuación quedaría X A B Con la X despejada 2
13 ECUACIONES MATRICIALES Si la ecuación fuera más complicada, solo tendríamos que hacer operaciones hasta que se nos quede de la forma anterior. A X B Dos aspectos muy importantes: º Asegurarse que la matriz tenga inversa 2ºCuidado por quélado hay que multiplica; es decir, si la ecuación fuera: X A B Al despejar la X, quedaría: X B A 3
2.1 Introducción. Propiedades.
19 2 MATRICES II: DETERMINANTES En este segundo capítulo de matrices, aprenderemos a utilizar una herramienta muy importante como son los determinantes Gracias a ellos, podremos calcular la inversa de
Más detallesEs cierta para x = 0. d) Sí, son soluciones. Se trata de una identidad pues es cierta para cualquier valor de x.
EJERCICIOS RESUELTOS MÍNIMOS 3º ESO TEMA 4 ECUACIONES Ejercicio nº 1.- Dada la siguiente igualdad: x 1 3 9 x 5 3x = x responde razonadamente: a) Es cierta si sustituimos la incógnita por el valor cero?
Más detallesTema 1. Álgebra lineal. Matrices
1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II ntonio Francisco Roldán López de Hierro * onvocatoria de
Más detallesEcuaciones de la recta
Ecuaciones de la recta Cajón de Ciencias Cuando empezamos a trabajar con rectas en primaria, lo hacemos solo utilizando expresiones del tipo y = mx + n o y = mx. Pero esto es solo una de las muchas formas
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES
EJERCICIOS RESUELTOS DE DETERMINANTES 1. Calcular los siguientes determinantes: a) - 13 b) 4-3 8 1 0 3-1 -1 1 3-4 a) - 13 = (-)(-3) 4.13 = 1 2 = -37 4-3 b) 8 1 0 3-1 -1 1 3-4 = 8(-1)(-4) + 1(-1)1 + 0 0
Más detallesPROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Matemáticas º ESO Federico Arregui PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. 1. Cuál es el número cuyo quíntuplo aumentado en es igual a su cuadrado?. Qué número multiplicado por 3 es 0
Más detallesDeterminantes. Primera definición. Consecuencias inmediatas de la definición
Determinantes Primera definición Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden n tenemos que saber elegir n elementos de la matriz de forma que tomemos solo un elemento de cada fila y de
Más detallesMatemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II
Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.II Martes, 05 de abril de 2018 1 hora y 15 minutos. NOMBRE Y APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Dadas las matrices A ( 2 1 1 2 ), B ( 0 1 ) e I la matriz identidad de
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Determinantes DETERMINANTES Se trata de una herramienta matemática que sólo se puede utilizar cuando nos encontremos con matrices
Más detallesTEMA 6 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Nueva del Carmen,. 0 Valladolid. Tel 98 9 6 9 Fa 98 89 96 Matemáticas º ESO TEMA 6 NOMBRE Y APELLIDOS... HOJA - FECHA... Comenzamos en este tema a resolver ecuaciones. Primero de Primer grado. Luego vendrán
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES II.
MATRICES Y DETERMINANTES II. Matriz adjunta es la matriz cuadrada que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto correspondiente. Calcula la matriz adjunta: 2 2 2 A =( 2 1 0 ) 3 2 2 Primero calculamos
Más detallesEcuaciones. 3º de ESO
Ecuaciones 3º de ESO El signo igual El signo igual se utiliza en: Igualdades numéricas: 2 + 3 = 5 Identidades algebraicas: (x + 4) x = x 2 + 4 4x Fórmulas: El área, A,, de un círculo de radio r es: A =
Más detallesUn sistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir como sigue:
MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES Juan Jesús Pascual SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES A. Introducción teórica B. Ejercicios resueltos A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Sistemas de ecuaciones lineales
Más detallesMatriz sobre K = R o C de dimensión m n
2 Matrices y Determinantes 21 Matrices Matriz sobre K = R o C de dimensión m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Tipos de matrices: Cuadrada: n n = (a ij) i=1,,m j=1,,n Nula: (0) i,j 1 0
Más detallesMatrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Resúmenes Curso 2007-2008 Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales. Una matriz A de orden m n es una colección de m
Más detallesTema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones
Tema 6 Lenguaje Algebraico. Ecuaciones 1. El álgebra El álgebra es una rama de las matemáticas que emplea números y letras con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar, dividir, potencias
Más detallesNotas del curso de Introducción a los métodos cuantitativos
Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma, ax + bx + c = 0 en la que el coeficiente a debe ser diferente de cero. Sabemos que una ecuación es una
Más detalles1 Aplicaciones lineales
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Aplicaciones lineales y diagonalización. El objetivo principal de este tema será la obtención de una matriz diagonal
Más detalles7 Sistemas de ecuaciones
89485 _ 0309-0368.qxd 1/9/0 15:3 Página 31 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Aunque no es el objetivo de este curso, los alumnos deben ser capaces de reconocer ecuaciones con dos incógnitas y obtener
Más detallesARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1.- Discutir el siguiente sistema, según los valores de λ: Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Universidad de Andalucía SOLUCIÓN: Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas,
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 1 Matrices, Determinantes y Sistemas de ecuaciones lineales 1.1. Matrices Definición: Una MATRIZ es un conjunto de números reales dispuestos en forma de rectángulo, que usualmente se delimitan por
Más detallesBLOQUE 1 : ÁLGEBRA. EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : EJERCICIO 4 Dado el sistema de ecuaciones :
EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : BLOQUE 1 : ÁLGEBRA = 0 EJERCICIO 2 Dado el sistema de ecuaciones : a) Discutirlo según los distintos valores de k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. EJERCICIO
Más detallesCurso de Matemática. Unidad 2. Operaciones Elementales II: Potenciación. Profesora: Sofía Fuhrman. Definición
Curso de Matemática Unidad 2 Profesora: Sofía Fuhrman Operaciones Elementales II: Potenciación Definición a n = a. a.a a multiplicado por sí mismo n veces. a) Regla de los signos Exponente Par Exponente
Más detallesExpresiones algebraicas y ecuaciones. Qué es una expresión algebraica? Valor numérico de una expresión algebraica. Algebra
Expresiones algebraicas y ecuaciones Melilla Qué es una expresión algebraica? Los padres de Iván le han encargado que vaya al mercado a comprar 4 kg de naranjas y 5 kg de manzanas. Pero no saben lo que
Más detalles1.- Sean A i B dos matrices cuadradas invertibles. Es verdad que:
1.- Sean A i B dos matrices cuadradas invertibles. Es verdad que: (B -1 A -1 - (A B) -1 + A) B = A B? Justifica tu respuesta. De hecho el problema consiste en demostrar que: B A (A B) = Expresión que es
Más detallesEjercicios resueltos de funciones
Ejercicios resueltos de funciones 1) Representa en un eje de coordenadas los siguientes puntos: A(1,5), B(-3,3), C(0, -4), D (2,0). 2) Representa en dos ejes de coordenadas las funciones siguientes: a)
Más detallesConceptos Preliminares
Conceptos Preliminares Igualdad de matrices Definición: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales. Estas matrices cumplen
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA
MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Método de la matriz inversa... 4 Observaciones... 5 Ejemplo I.I... 6 Ejemplo I.II... 7 Ejemplo II... 8 Sistemas compatibles indeterminados... 9 Método
Más detallesEjercicios desarrollados
Algebra FCE Primer Parcial EMA 3 6-0 - 7 Ejercicios desarrollados x 6 y a z ) Sea L : y el plano que contiene al punto P (4; 5;4) y es ortogonal al vector ( 3; ;) b a) Hallar a y b sabiendo que P (4; 5;4)
Más detallesCONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Más detallesDeterminantes. = a 11a 22 a 12 a 21 = ( 3) ( 5) ( 4) 7 = 15 ( 28) = = 43
Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada A lleva asociado un número, llamado determinante de A, y que denotaremos mediante el símbolo. Este número, entre otras cosas, permite saber cuándo
Más detallesMat r i z in v e r s a
Unidad 2 Método de GaUss Mat r i z in v e r s a M U lt i pli cat i va Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Representará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas mediante una matriz
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesEcuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Tema 5 Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Una ecuación es una igualdad ( = ) que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Cuando sólo aparece una
Más detallesa a a a
JUNIO 2012 GENERAL 1. Se consideran las matrices: A = 3 1 0 1 3 0 0 0 2 e I 3 = 1 0 0 0 1 0 a) Resuelve la ecuación det (A x I 3 ) = 0. (1 punto) JUNIO 2012 ESPECÍFICA a 1 2 a 1 2. Dado el número real
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación como 2x + 3y = 7 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Es de primer grado porque las letras
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas
Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Este tema resulta fundamental en la mayoría de las disciplinas, ya que son muchos los problemas científicos y de la vida cotidiana que requieren resolver simultáneamente
Más detallesResolviendo problemas: Dándole vueltas a las matrices
Resolviendo problemas: Dándole vueltas a las matrices Hola, te damos la bienvenida a este tema en el que vas a poder practicar todos los contenidos y operaciones que has aprendido hasta ahora en esta unidad.
Más detallesLímites e indeterminaciones
Límites e indeterminaciones La idea de límite de una función no es en sí complicada, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII a que los matemáticos Newton 1 y Leibniz 2 le dieran forma y la convirtiesen
Más detallesUna matriz es una arreglo rectangular ordenado de elementos, comúnmente llamados escalares, dispuestos en m renglones y n columnas.
MATRICES Las matrices tienen una importancia fundamental en el análisis económico sobre todo en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, como en el modelo insumo-producto. Cuando trabajamos con modelos
Más detallesLECCIÓN 9 5 PROBLEMAS RESUELTOS
LECCIÓN 9 PROBLEMAS RESUELTOS Problema. El largo de un rectángulo mide 8 m y su ancho mide 2 m. Cuál de las siguientes es la mayor longitud de una varilla que cabe exactamente tanto en el largo como en
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción
PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES MATRIZ INVERSA
Índice Presentación... 3 Determinante de una matriz... 4 Determinante de matrices de orden 2 y 3... 5 Determinante de una matriz... 6 Ejemplo... 7 Propiedades del cálculo de determinantes... 8 Matriz inversa...
Más detallesEjercicios resueltos de trigonometría
Ejercicios resueltos de trigonometría 1) Convierte las siguientes medidas de grados en radianes: a) 45º b) 60º c) 180º d) 270º e) 30º f) 225º g) 150º h) 135º i) -90º j) 720º 2) Expresa las siguientes razones
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE ECONOMIA LICENCIATURA DE ACTUARIA Algebra Lineal Práctica: Matriz inversa 1 M. en I. Elizabeth Almazán Torres 2 Resultado de Aprendizaje El estudiante
Más detallesEXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES
EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el examen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen
Más detallesEs la cantidad de electricidad (electrones) que recorre un circuito eléctrico en una unidad. Q t I =
3º E.S.O. UNIDAD DIDÁCTICA: EL CIRCUITO ELÉCTRICO Intensidad de corriente eléctrica (medida de una corriente eléctrica) Es la cantidad de electricidad (electrones) que recorre un circuito eléctrico en
Más detalles1 0 4/ 5 13/
1 1 1 7 1 0 4/ 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R3 0 0 0 2 R2 R3 0 5 9 22 0 5 9 22 0 0 0 2 Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes Matrices y determinantes Matrices Una matriz es un grupo de números organizados en filas y columnas, limitados por un paréntesis: 1 2 3 n columnas a11 a12 a13 a1 n a21 a22 a23
Más detallesDivisores de un número y regla del producto
Divisores de un número y regla del producto Eugenio Flores En estas notas, nuestra intención es llegar a través de varios pasos naturales, a poder ver la fórmula para calcular los divisores de un número
Más detallesEcuaciones matriciales AX = B y XA = B. Cálculo de la matriz inversa
Ecuaciones matriciales AX = B y XA = B Cálculo de la matriz inversa Objetivos Aprender a resolver ecuaciones matriciales de la forma AX = B y XA = B Aprender a calcular la matriz inversa con la eliminación
Más detallesUNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano
UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La
Más detallesEJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com
MATRICES Y DETERMINANTES 1- Sea m un número real y considere la matriz: 1 0 0 1 2 1 1 a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Determine, si existe, la inversa de
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del
Más detallesP. A. U. LAS PALMAS 2005
P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica
Más detallesEjercicios resueltos de progresiones aritméticas
Ejercicios resueltos de progresiones aritméticas 1) En cada una de las progresiones siguientes, halla los términos que faltan en cada una de ellas: a) 4, 8, 12, 16,, 24,,, 36, 40... b) 1, 3/2,,,,,,,, 11/2...
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesUNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN
86 _ 087-098.qxd 7//07 : Página 88 IDENTIICAR OBJETIVO UNA ECUACIÓN, SU GRADO Y SU SOLUCIÓN NOMBRE: CURSO: ECHA: Dado el polinomio P(x) x +, ya sabemos cómo se calcula su valor numérico: x P() + x P( )
Más detallesMÚLTIPLOS Y DIVISORES
MÚLTIPLOS Y DIVISORES MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO Los múltiplos de un número son los que lo contienen un número exacto de veces. El 2 es múltiplo de 3 porque lo contiene 4 veces. El 30 es múltiplo de 5 porque
Más detallesApuntes. 2º Bachillerato Determinantes X.B. APUNTS DETERMINANTS. Definiciones Propiedades Ejercicios Resueltos. Prof. Ximo Beneyto
Apuntes Apuntes 2º Bachillerato Determinantes Definiciones Propiedades Ejercicios Resueltos Prof. Ximo Beneyto Tema : Determinantes 2º Bach. Página 1 XB Apunts DETERMINANTES Vamos a dar a este cuaderno
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES 1. Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x + 3y 3 4x +5y 6 a) Escribir la expresión matricial del sistema. b) Discutir el sistema. c) Resolver el sistema por
Más detallesProblemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita
Problemas de Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita Son problemas que se resuelven planteando y resolviendo una ecuación de 1º grado con una incógnita. Es aconsejable seguir los siguientes pasos
Más detallesTEMA 6. Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas
TEMA 6 Sistemas de dos Ecuaciones de Primer grado con dos Incógnitas 1. Ecuación de Primer grado con dos incógnitas Vamos a intentar resolver el siguiente problema: En una bolsa hay bolas azules y rojas,
Más detalles5 Sistemas de ecuaciones
8966 _ 09-008.qd 7/6/08 09: Página 97 Sistemas de ecuaciones INTRODUCCIÓN Los sistemas de ecuaciones son necesarios para plantear solucionar numerosos problemas reales, por lo que los alumnos deben ser
Más detallesEJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante:
EJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante: 3 7 1 2 0 1 1 3 6 a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante
Más detallesMétodo de Igualación
Método de Igualación Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de x que
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO ) D = ( 4 2
EXAMEN DE MATEMATICAS II 1ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 4-X-2015 CURSO 2015-16 Opción A 1.- Considera las matrices A = ( 1 2 2 1 ), B = ( 2 1 0) y C = ( 1 5 0 ) a) [1,5 puntos]
Más detallesLección 1. Algoritmos y conceptos básicos.
Página 1 de 8 Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la geometría
Más detallesEcuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización
Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo Polinomios de grado 2 Una ecuación cuadrática es una ecuación
Más detallesInversa de una matriz usando la adjunta Álgebra Lineal Primavera 2018
Inversa de una matriz usando la adjunta Álgebra Lineal Primavera 208 Genaro Luna Carreto 9 de Marzo 208. 8 pm. Una matriz A de tamaño n n, se dice que es invertible si existe otra matriz B de igual tamaño
Más detallesProblemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás
Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás 6 de julio de 2016 2 Índice general 1. Álgebra 5 1.1. Año 2000............................. 5 1.2. Año 2001.............................
Más detallesTEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE
TEMA 2: EL INTERÉS SIMPLE 1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE 1.1.- CÁLCULO DEL INTERÉS: Recibe el nombre de capitalización simple la ley financiera según la cual los intereses de cada periodo de capitalización
Más detallesEL LENGUAJE ALGEBRAICO
LENGUAJE ALGEBRAICO Guillermo Ruiz Varela - PT EL LENGUAJE ALGEBRAICO Hasta ahora siempre hemos trabajado en matemáticas con números y signos, es lo que se llama lenguaje numérico. A partir de ahora, vamos
Más detallesEl interés y el dinero
El interés y el dinero El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco,
Más detallesEcuaciones de primer grado
Ecuaciones de primer grado º ESO - º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detallesAnexo. Aplicaciones de los Determinantes
Anexo. Aplicaciones de los Determinantes 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Cálculo del rango usando determinantes... 3 1.1 Ejemplo: Estudio del Rango de la matriz
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES EJERCICIOS RESUELTOS
Índice Presentación... 3 Operaciones con matrices... 4 Potencias de una matriz... 5 Productos notables de matrices... 6 Determinantes de una matriz... 7 Rango de matriz... 8 Inversa de una matriz... 10
Más detallesSistemas de ecuaciones
CUADERNO Nº 6 NOMBRE: FECHA: / / Sistemas de ecuaciones Contenidos 1. Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas 2. Métodos
Más detallesUNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Departamento de Economía Tema 1: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Empezaremos por recordar conceptos ya conocidos de álgebra lineal como las matrices, determinantes,
Más detallesDeterminante de una matriz
25 Matemáticas I : Preliminares Tema 3 Determinante de una matriz 31 Determinante de una matriz cuadrada Definición 67- Sea A una matriz cuadrada de orden n Llamaremos producto elemental en A al producto
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar
Más detallesDesarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue:
Método simplex modificado Los pasos iterativos del método simplex modificado o revisado son exactamente a los que seguimos con la tabla. La principal diferencia esá en que en este método se usa el algebra
Más detallesÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L
ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L JUNIO 2004 1. Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son
Más detallesLección 13: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 1: Resolución algebraica de sistemas de ecuaciones En la lección anterior hemos visto cómo resolver gráficamente un sistema de ecuaciones. Si bien ese método es relativamente
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detalles