Inversa de una matriz usando la adjunta Álgebra Lineal Primavera 2018

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María Antonia Fernández Villalba
hace 5 años
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1 Inversa de una matriz usando la adjunta Álgebra Lineal Primavera 208 Genaro Luna Carreto 9 de Marzo pm.

2 Una matriz A de tamaño n n, se dice que es invertible si existe otra matriz B de igual tamaño tal que AB = BA = I, donde I es la matriz identidad de tamaño n n. No hay mucha dificultad en mostrar la matriz B es única, de manera se una notación especial para ella: A. Entonces tenemos AA = I. Hay diversas maneras de como obtener inversas mariciales. Aquí explicaré un de ellas, que es a través del uso de cofactores. 0.. Definición de cofactor y adjunta Es buena idea escribir el Teorema donde se halla la fórmula que vamos a usar y explicar cada una de sus partes. Posteriormente, hacer un ejemplo particular. Ya en una segunda parte demostraremos el Teorema. Teorema 0... Si A es una matriz invertible entonces A = adj(a) () det(a) Bueno, la demostración del teorema la agregaremos al final de documento. Ahora explicaremos las partes de la fórmula. En realidad la adjunta de A, denotada por adj(a), es una matriz que se entenderá una vez recordado el concepto de determinante. No hay duda de que det(a) se refiere al determinante de A. Recordemos cómo se expresa el determinante, en términos del renglón i-ésimo: a 2 a a 2n a i.. a in = a i ( ) i+ M i +a i2 ( ) i+2 M i2 + +a in ( ) i+n M in a n.. a nn (2) donde cada M ij es conocido como menor y es el subdeterminante que resulta de eliminar el renglón i-ésimo y la columna j-ésima. En forma análoga, es posible escribir el determinante usando una columna. Genaro Lunca Carreto Primavera 208

3 Por otro lado, la definición (2), es común escribirla en forma más compacta. Veamos. Sea C ij = ( ) i+j M ij. Cada C ij es conocido como cofactor. a 2 a a 2n a i.. a in a n.. a nn = a i C i + a i2 C i2 + + a in C in (3) Observe que cada posición en el determinante tiene asociado un cofactor. Ejemplo 0... Sea A = Calcule el cofactor asociada entrada de la matriz A. (4) Son nueve cofactores, uno para cada entrada. C = ( ) = 5 2 = 7 C 2 = ( ) = ( 20 8) = 38 C = ( ) = 4 27 = 23 C 2 = ( ) = (5 0) = 5 C 22 = ( ) = ( 0 0) = 0 C 23 = ( ) = (2 + 9) = C 3 = ( ) = ( 2) = 2 Genaro Lunca Carreto 2 Primavera 208

4 C 32 = ( ) = (4 0) = 4 C 33 = ( ) = (6 + 4) = 0 En el ejemplo (0..), de una mariz 3 3 se obtuvieron 9 cofactores. Formemos la matriz de cofactores: cof(a) = 5 0 (5) Precisamente la adjunta de una matriz, se define como la traspuesta de la matriz de cofactores: adj(a) = (6) 23 0 Note que para obtener la traspuesta, cada renglón de cof(a) se ha transformado en columna. Ya se ha calculado la adj(a). Si observa con cuidado la fórmula contendida en el teorema (0..), sólo resta obtener el determinante de la matriz A para con ello, formar la inversa. det(a) = = (7) En el paso anterior, se hizo una operación entre las segunda y la primera columna. La segunda se multiplicó por 2 y se sumó a la primera. Ahora desarrollamos el determinante usando el primer renglón: Finalmente, = ( )( ) (8) = 72 (9) Genaro Lunca Carreto 3 Primavera 208

5 A = det(a) adj(a) = 72 = (0) () Problema. Realiza la multiplicación de las siguientes matrices, para verificar que son inversas , Problema 2. Usa la fórmula (0..) y apóyate en el texto para calcular la inversa de Resp: Demostración de que A = det(a) adj(a) Ahora hagamos lor preprarativos para mostrar el teorema (0..). Según se definió: a 2 a a 2n a i.. a in a n.. a nn = a i C i + a i2 C i2 + + a in C in (2) Genaro Lunca Carreto 4 Primavera 208

6 Cada posición del determinante tiene asociado un cofactor. El valor del cofactor, por ejemplo C ij no depende de los números ubicados en las columnas i y j, pues ellos son eliminados durante su cálculo., no pierda de vista ello, pues es importante. Observe con cuidado el siguiente determinante: a i a i2... a in det(a) = = a a i.. a in i C i + a i2 C i2 + + a in C in () a n.. a nn El segundo renglón ha sido sustituido por el renglón i-ésimo. Así que el determinante vale cero, pues tiene dos renglones repetidos. Si desarrollamos por el segundo renglón entonces: det(a) = a i C 2 + a i2 C a in C 2n = 0 (4) Esto ocurre no sólo con el segundo renglón si no con cualquier otro. De manera que la expresión satisface lo siguiente: a i C j + a i2 C j2 + + a in C jn a i C j + a i2 C j2 + + a in C jn = { det(a), i = j 0, i j (5) Demostración. Teorema (0..): Multipliquemos A por su adjunta: A adj(a) = a 2 a a 2n a i.. a in a n.. a nn C C 2... C n C 2 C C n2 C i.. C ni C n C 2n... C nn (6) Genaro Lunca Carreto 5 Primavera 208

7 El elemento genérico de la mltiplicación es: a i C j + a i2 C j2... a in C jn (7) que según la expresión (2) es det(a) si i = j, pero cero cuando i j. Aquí por ejemplo, es claro que los índices son iguales exactamente en la diagonal principal, por ende el producto de A adj(a) tiene ceros fuera de la diagonal principal y el determinante de A en la diagonal principal. A adj(a) = En forma equivalente det(a) det(a) det(a) A adj(a) = det(a) En consecuencia A adj(a) = det(a) I. Si det(a) 0, entonces [ ] A det(a) adj(a) = I lo cual indica que A = det(a) adj(a) (8) (9) Genaro Lunca Carreto 6 Primavera 208

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