ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3

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1 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular inferior. (Primer parcial, febrero 2000) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal. (Examen final, junio 2002) 3. Si A, B, X M n n (IR) son matrices inversibles, hallar X en función de A y B sabiendo que: (A 1 X) 1 = A(B 2 A) 1. Probar además que signo(det(a)) = signo(det(x)). (Examen parcial, octubre 2014) 4. Sean A, B M 2 2 (IR). Razonar la falsedad o veracidad de las siguientes afirmaciones: (i) AB = 0 A = 0 ó B = 0. (ii) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2. (iii) Si C es inversible y AB = C entonces A, B son inversibles. (Examen final, enero 2016) 5. Sea A M n n (IR) una matriz cuadrada cumpliendo A 2 + A + Id = 0. (i) Demostar que A es inversible. (ii) Probar que A 1 = (A + Id) = A 2. (iii) Cuánto vale A 3? Y A 2013?. (Examen octubre, 2013) 6. Calcular la potencia n-ésima de la matriz: A =

2 7. Dada la matriz: A = x x + 1 x + 2 x + 3 x + 2 x + 1 x + 2 x x + 4 (i) Hallar x para que det(a) = 0. (ii) Estudiar el rango de A en función de los valores de x. (Examen final, julio 2015) 8. Dadas A, B M n n (IR), con A simétrica y B hemisimétrica, razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) AB es hemisimétrica. (b) A + B es simétrica. (c) (A B)(A + B) es simétrica. (Examen final, 2011) 9. Sean A, B M 2 2 (IR). Razonar la falsedad o veracidad de las siguientes afirmaciones: (i) Si rango(a) = 1 entonces rango(ab) 1. (ii) Si rango(a) = rango(b) entonces rango(ab) = rango(a). (iii) rango(a) + rango(b) = rango(a + B). (iv) rango(a) + rango(b) > rango(a + B). (Examen final, enero 2017) 10. Sean A, B, C M 6 6 (IR) matrices verificando ABA t = CA + A, det(b) = 1, A inversible. Sabiendo que C es una matriz diagonal con c ii = i, calcular det(a). (Examen final, enero 2016) 11. Calcular razonadamente los siguientes determinantes: , , Si A = a b c p q r y det(a) = 3, calcular det(2c 1 ) donde C = u v w 2p a + u 3u 2q b + v 3v. 2r c + w 3w

3 (Examen final, enero 2014) 13. Dados los números a 1, a 2,..., a n IR se define la matriz A M n n (IR) como: { a i si i j a ij = a i (1 + x) si i = j (i) Escribir la matriz A para n = 4. (ii) Calcular det(a) para n = 3. (iii) Calcular det(a) para cualquier valor de n. determinante?. (Examen final, 2013) Para qué valores de x se anula el 14. Para cualquier n 2 se define la matriz A M n n (IR) como: a ij = i 2 + j 2, i, j = 1, 2,..., n. (i) Probar que A es simétrica. n (ii) Sabiendo que k 2 n(n + 1)(2n + 1) = calcular traza(a). 6 k=1 (iii) Para n = 4 hallar det(a) y rango(a). (iv) En general, hallar det(a) y rango(a) en función de n. (Examen final, 2012) 15. Calcular el siguiente determimante: 0 x 1 x 2... x n x x x n Para qué valores reales de x 1, x 2,..., x n se anula?. (Examen final, 2011) 16. Sea n > 2 y A M n n (IR), una matriz inversible. Sea adj(a) su matriz adjunta. Probar que: (a) det(adj(a)) = det(a) n 1. (b) adj(adj(a)) = det(a) n 2 A. (Primer parcial, enero 2010)

4 ÁLGEBRA LINEAL I Problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. (Primer parcial, febrero 2000) II. Calcular las potencias n-ésimas de las siguientes matrices: A = ( ) , B =, C = 0 a b, D = a2 ab ac ab b bc c 0 0 ac bc c 2 III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares, (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (3) las matrices ortogonales. IV. Sea A una matriz columna de orden n 1 tal que A t A = 1 y B = Id n 2AA t. Demostrar que: a) B es simétrica b) B 1 = B t (Primer parcial, enero 2008) V. (a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos son a ij = máx {i, j}, i, j {1,..., n} Calcular el determinante de A. (b) Lo mismo siendo a ij = i j. VI. Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales. Sea k un número par. Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par.

5 VII. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n A = n + 1 n n 1 2n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. (Examen final, septiembre 2005) VIII. Dados x R, x 0 y la matriz calcular det(a 3 ) y det(a 1 ). (Examen final, septiembre 2010) x x A =, 1 x 0 x 1 x x 0 IX. Dados n IN y a, b IR se considera la matriz A M n n (IR): A = a + b a a... a a a a + b a... a a a a a + b... a a a a a... a + b a a a a... a a + b (i) Hallar det(a) en función de a, b, n. (ii) Hallar rango(a) en función de a, b, n. (Examen parcial, ocutbre 2014) X. Hallar el siguiente determinante para n 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 + y 3 x 1 + y n x 2 + y 1 x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y 1 x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y 1 x n + y 2 x n + y 3 x n + y n (Primer parcial, febrero 2003)

6 XI. Calcular en función de x el siguiente determinante: det Para qué valores reales de x se anula?. (Examen final, 2011) 1 x x 2 1 x x x x 1 1 x x 2 XII. Para cada número natural n se define una matriz cuadrada A M n n (IR) como: a ij = i 2 + j, i, j = 1, 2,..., n (i) Escribir la matriz A para n = 4 y calcular su determinante. (ii) Calcular el rango y el determinante de A para cualquier natural n. (Examen julio, 2016)