Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones (Curso ) 1. Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz:

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1 ÁLGEBRA Práctica 4 Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Curso Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz: Obtener mediante transformaciones elementales el rango, la forma canónica B respecto de la equivalencia y matrices no singulares P y Q que cumplan B = P AQ, siendo A la matriz del problema anterior. 3. Decidir si las matrices A y B son equivalentes por filas y/o equivalentes por columnas. Si alguna respuesta es afirmativa, hallar la correspondiente matriz de paso: A =, B = Se consideran la matrices: A = M = m m 1 m m m 1 1 m 0 Determinar m para que las matrices A y M sean equivalentes. Examen extraordinario, diciembre Obtener la forma canónica de la siguiente matriz respecto de la congruencia sobre el cuerpo IR y sobre el cuerpo IC, así como las matrices de paso: / /

2 6. Decidir si las matrices 0 1 A = 1 0, B =, C = , D = pertenecen o no a la misma clase de equivalencia respecto de las siguientes relaciones, y en caso afirmativo, indicar la matriz o matrices de paso de una a otra: a equivalencia por filas, b equivalencia, c congruencia en IR, d congruencia en IC. 7. Obtener mediante transformaciones elementales las inversas de las siguientes matrices: , Discutir y, en su caso, resolver, en función del parámetro o parámetros correspondientes, los siguientes sistemas de ecuaciones: ax + y + z = 1 ax + ay = b x + ay + z = a bx + ay = a x + y + az = a 2 abx + aby = 1 9. Encontrar un sistema de ecuaciones cuya solución sea la siguiente: x 1 = 2λ µ x 2 = λ 2µ + δ x 3 = λ + µ 2δ x 4 = λ + 2δ λ, µ, δ IR 10. Sea la matriz A = Hallar en cada caso y cuando sea posible, una matriz inversible X verificando: a XA =

3 b XA = c XA = Primer parcial, enero Consideramos las matrices X = ; Y = 2 4 a 1 1 b a Calcular todos los valores de a y b para los cuales ambas matrices son equivalentes por filas. b Calcular todos los valores de a y b para los cuales ambas matrices son equivalentes por columnas. c Calcular todos los valores de a y b para los cuales ambas matrices son equivalentes. Primer parcial, enero Existen dos matrices de igual dimensión que tengan el mismo rango pero no sean ni equivalentes por filas ni equivalentes por columnas?. En caso afirmativo dar un ejemplo. Examen de junio de Encontrar la única respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: 1 1 a De las matrices congruentes con, 0 1 ninguna es simétrica. alguna es singular. alguna es diagonal. todas son triangulares. Primer parcial, febrero 2001 b Sea A M n n IR. Denotamos por CA, EA, SA las clases de equivalencia de A según las relaciones de congruencia, equivalencia y semejanza de matrices, respectivamente. Se puede afirmar que: EA SA. SA EA CA. CA SA. CA EA y SA EA.

4 Primer parcial, enero 1998 c Dos matrices con el mismo determinante cumplen: Son semejantes. Son equivalentes por filas. Tienen el mismo rango. Ninguna de las anteriores afirmaciones es correcta. Primer parcial, enero 2006

5 ÁLGEBRA Problemas adicionales Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones Curso I. Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz: II. Obtener mediante transformaciones elementales el rango, la forma canónica B respecto de la equivalencia y matrices no singulares P y Q que cumplan B = P AQ, siendo A la matriz del problema anterior. III. Obtener la forma canónica de la siguiente matriz respecto de la congruencia sobre el cuerpo IR y sobre el cuerpo IC, así como las matrices de paso: IV. Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de la matriz: V. Discutir y, en su caso, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y 3z = 5 2x + 3y z = 7 4x + 5y 2z = 10 3x 4y + 6z = 7 5x + 2y 4z = 5 x + 3y 5z = 3 x + y + z = 3 x + y z = 1 x y + z = 1 x y z = 1 x + y + z + t = 2 x + 2y + z 3t = 1 2x + 3y + 2z 2t = 3

6 VI. Discutir y, en su caso, resolver, en función de los parámetros correspondientes, el sistema de ecuaciones: ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x 2y + bz = 3 VII. Sean las matrices real es: A = ; B = 1 3 ; 1 1 Es posible encontrar una matriz X M 2 2 IR tal que AX = B?. Y una matriz Y M 3 3 IR tal que Y A = B?. Razona las respuestas. Examen final, junio 2004 VIII. Consideramos las matrices reales: A = 2 1 ; B = Calcular los valores de a para los cuales: a A y B son equivalentes por filas. b A y B son equivalentes. c A y B son congruentes. d A y B son semejantes. Examen septiembre a, a IR. a 3 IX. Encontrar la única respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: a Las matrices y son equivalentes por filas. son equivalentes por columnas. son semejantes. no son equivalentes. Primer parcial, febrero 2001

7 b Sea A M n n IR. Indicar la afirmación falsa: Si A es simétrica y no singular, entonces es congruente con I n. Si A es no singular, entonces es equivalente por columnas a I n. Todas las matrices de M n n IR con el mismo rango que A son equivalentes a A. Si A es semejante a I n entonces A = I n. Primer parcial, enero 1998 c Sean A, B, C y D matrices regulares n n, tales que la matriz A es semejante a B y C es semejante a D, se cumple que: AC siempre es semejante a BD. CA nunca es semejante a DB. AC nunca es equivalente a BD. CA siempre es equivalente a DB. Primer parcial, enero 2004 d Si dos matrices cuadradas regulares de dimensión 2 2 tienen la misma traza y el mismo determinante, entonces son semejantes. son equivalentes. son congruentes. no tienen porque ser ni equivalentes ni semejantes. Primer parcial, enero 2004