ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3

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1 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular inferior. (Primer parcial, febrero 2000) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar que cualquier matriz n n que conmute con A ha de ser diagonal. (Examen final, junio 2002) 3. Se define la traza de una matriz cuadrada como la suma de los elementos de su diagonal principal. Sean A, B, C M n n (K) (C regular), demostrar: (a) tr(a + B) =tra+trb (b) tr(αa) = αtra. (c) tr(ab) =tr(ba) (d) tr(c 1 AC) =tr(a) 4. Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales. Sea k un número par. Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par. 5. Sean X = ( x 1 x 2... x n ), Y = ( y 1 y 2... y n ) M 1 n (IR). Construimos la matriz A = X t Y. (i) Qué relación tienen que cumplir X, Y para que A sea simétrica? Y para que sea antisimétrica?. (ii) Probar que XAY t 0. (Examen final, enero 2013) 6. Calcular la potencia n-ésima de la matriz: A =

2 7. Decidir si la familia de matrices hemisimétricas regulares de M n n (K) verifica alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. 8. Dadas A, B M n n (IR), con A simétrica y B hemisimétrica, razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (a) AB es hemisimétrica. (b) A + B es simétrica. (c) (A B)(A + B) es simétrica. (Examen final, 2011) 9. Sean A, B M 2 2 (IR) dos matrices cuadradas reales verficando AB = Ω, donde Ω es la matriz nula. Decidir razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: (i) A = Ω ó B = Ω. (ii) rango(a) < 2. (iii) rango(a) + Rango(B) < 3. (iv) BA = Ω. (Examen final, 2012) 10. Calcular razonadamente el siguiente determinante: (Examen extraordinario, septiembre 2006) 11. Dados los números a 1, a 2,..., a n IR se define la matriz A M n n (IR) como: { a i si i j a ij = a i (1 + x) si i = j (i) Escribir la matriz A para n = 4. (ii) Calcular det(a) para n = 3. (iii) Calcular det(a) para cualquier valor de n. determinante?. (Examen final, 2013) Para qué valores de x se anula el

3 12. Para cualquier n 2 se define la matriz A M n n (IR) como: a ij = i 2 + j 2, i, j = 1, 2,..., n. (i) Probar que A es simétrica. n (ii) Sabiendo que k 2 n(n + 1)(2n + 1) = calcular traza(a). 6 k=1 (iii) Para n = 4 hallar det(a) y rango(a). (iv) En general, hallar det(a) y rango(a) en función de n. (Examen final, 2012) 13. Calcular el siguiente determimante: 0 x 1 x 2... x n x x x n Para qué valores reales de x 1, x 2,..., x n se anula?. (Examen final, 2011) 14. Sea n > 2 y A M n n (IR), una matriz inversible. Sea adj(a) su matriz adjunta. Probar que: (a) det(adj(a)) = det(a) n 1. (b) adj(adj(a)) = det(a) n 2 A. (Primer parcial, enero 2010)

4 ÁLGEBRA LINEAL I Problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω. (Primer parcial, febrero 2000) II. Calcular las potencias n-ésimas de las siguientes matrices: A = , B = ( ), C = 0 a b, D = c 0 0 a2 ab ac ab b 2 bc ac bc c 2. III. Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia. (1) las matrices simétricas regulares, (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (3) las matrices ortogonales. IV. Sea A una matriz columna de orden n 1 tal que A t A = 1 y B = Id n 2AA t. Demostrar que: a) B es simétrica b) B 1 = B t (Primer parcial, enero 2008) V. (a) Sea n un número natural. Se considera la matriz A de dimensión n y cuyos elementos son Calcular el determinante de A. (b) Lo mismo siendo a ij = i j. a ij = máx {i, j}, i, j {1,..., n}

5 VI. Dada la matriz m n con m, n > 1, n 1 n A = n + 1 n n 1 2n (m 1)n + 1 (m 1)n mn 1 mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango. (Examen final, septiembre 2005) VII. Dados x R, x 0 y la matriz calcular det(a 3 ) y det(a 1 ). (Examen final, septiembre 2010) x x A =, 1 x 0 x 1 x x 0 VIII. Dado a R y para cada n entero positivo definimos las matrices A n M n n (R): 3 a a... a a a 3 a... a a A n = a a 3... a a a a a... 3 a a a a... a 3 (a) Calcular en función de a, det(a 4 ). (b) Calcular en función de a y n, det(a n ). (Examen final, diciembre 2008) IX. Hallar el siguiente determinante para n 2 x 1 + y 1 x 1 + y 2 x 1 + y 3 x 1 + y n x 2 + y 1 x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y 1 x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y 1 x n + y 2 x n + y 3 x n + y n (Primer parcial, febrero 2003)

6 X. Calcular en función de x el siguiente determinante: det Para qué valores reales de x se anula?. (Examen final, 2011) 1 x x 2 1 x x x x 1 1 x x 2