Escuela de Matemáticas

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1 Escuela de Matemáticas Universidad de Costa Rica MA-004: Álgebra Lineal Prácticas Sistemas de ecuaciones lineales, Matrices Determinantes MSc Marco Gutiérrez Montenegro 07

2 Sistemas de ecuaciones lineales Considere el sistema de ecuaciones en las variables x, y y z : { ax 3y z = 4a + 6b 3x y + az = a b con a y b IR a) Determine el conjunto solución si a = 9 y b = 0 R/ S = {( 3 t 57 9, t, 9 )} 9 : t IR b) Encuentre los valores de a y b para que (, a b, 3) sea solución del sistema R/ a = y b = Considere el sistema de ecuaciones lineales ( ) ( ) 3p x y 7 = 3 p 7 9 z a) Determine para que valores de p y de b la matriz b 8 es solución del sistema b + 7 R/ p = ; b = 5 b) En el sistema de ecuaciones dado, sustituya p por el valor que encontró en la parte a) y determine el conjunto solución del sistema R/ S = {( t, 6 + t, t) : t IR} 3 Dado el sistema de ecuaciones lineales Determine para que valor o valores de p el sistema: px + x + 3x 3 = px + px + (p + )x 3 = p px + px + (p )x 3 = p a) tiene infinitas soluciones R/ p = b) tiene solución única R/ p 0, p y p 3 c) no tiene solución R/ p = 0 y p = 3 4 Para cualquier sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas siempre se tiene que Rng(A) Rng(A b) Las soluciones de tal sistema se relacionan con el rango de su matriz correspondiente según: a) Si Rng(A) < Rng(A b) entonces el sistema no posee soluciones b) Si Rng(A) = Rng(A b) = n entonces el sistema posee única solución c) Si Rng(A) = Rng(A b) < n entonces el sistema posee infinitas soluciones caracterizadas por n Rng(A) variables libres

3 Considere un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz aumentada está dada por ( ) Determine el conjunto solución de dicho sistema con el análisis del rango de la matriz y de la matriz aumentada 5 Considere la matriz A = ( ) a b c a b c a) Pruebe que A es equivalente por filas a la matriz R/ S = {( t, t, t 3, t, t 3 ) : t, t, t 3 IR} ( ) a 0 c 0 b 0 b) Determine los valores de a, b y c para los cuales el sistema de ecuaciones { ax + by = c ax by = c (i) tiene solución única R/ a {( 0 y b 0 c )} S = a, 0 (ii) tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro {( R/ b = 0 y a 0 c ) } S = a, t : t IR a = 0, b 0 y c = 0 S = {(t, 0) : t IR} (iii) tiene infinitas soluciones que dependen de dos parámetros R/ a = b = c = 0 S = {(s, t) : s IR, t IR} (iv) es inconsistente R/ a = 0 y c 0 6 Dado el sistema de ecuaciones lineales: x + x + 4x 3 = x + 3x + 6x 3 + 5x 4 = 3 kx + kx + kx 3 + (k + 4k)x 4 = a) Determine para qué valor o valores de k el sistema tiene infinitas soluciones con un parámetro R/ k b) Resuelva el sistema para este caso (es decir, cuando tiene infinitas soluciones con un parámetro) {( R/ S = k, k + t, t, )} k k : t IR 3

4 7 Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales: a b + c 0 0 c 0 a) Determine cuáles son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentada del sistema sea R/ a =, b = y c = 0 b) Determine cuáles son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentada del sistema sea 3 R/ a, b y c = 0 8 Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales: 4 7 g h 5 9 k a) Encuentre una ecuación que contenta a los valores reales g, h, k de tal manera que la matriz aumentada anterior corresponda a un sistema consistente R/ h + k + g = 0 b) Determine el conjunto solución del sistema consistente correspondiente a la matriz aumentada anterior {( 3g + 4h R/ S = 3 3 t, h )} 3 t, t : t IR 9 Dado el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales: x + ky + z + w = 0 3x + (k )y z w = 0 x y + 4z + w = 0 x + y + z + w = 0 Determine los valores reales de k para los cuales el sistema de ecuaciones anterior tiene soluciones distintas de la trivial R/ k = 0 Determine el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales: x + y + 3z + 4w = 5 x + 3y + 5z + 7w = x z w = 6 S = Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales m n y C una matriz invertible n n Pruebe que el sistema (CA)x = Cb es equivalente al sistema Ax = b Pruebe que si u y v son soluciones del sistema de ecuaciones lineales no homogéneo AX = b, entonces la diferencia w = v u es solución del sistema homogéneo AX = 0 4

5 3 Estudie el siguiente sistema de ecuaciones según los parámetros dados x + y + z = x y + (b )z = a x ay z = a + 3a 4 R/ S = 4 Considere el sistema de ecuaciones lineales: {( a b, a, )}, si a y b 0 b S = {( + (b )t, bt, t) : t IR}, si a = y b IR x + y z = x + y + z = 3 x + y + (a 5)z = a Utilice el método de Gauss-Jordan para determinar S =, si a y b = 0 a) El valor de a para el cual el sistema no tiene solución R/ a = b) Resuelva el sistema para el valor de a en el que hay infinitas soluciones y encuentre estas soluciones R/ a = ; S = {( + 3t, t, t) : t IR} 5 Considere el sistema de ecuaciones: x + y 3z = 4 3x y + 5z = 4x + y + (a 4)z = a + Utilizando el método de Gauss Jordan encuentre los valores de a para los cuales el sistema posee solución única, y encuentre dicha solución S = R/ a 4, a 4 {( 8 7 a + 4, )} a + 4, a Suponga que u, u,, u n son soluciones del sistema homogéneo AX = 0, pruebe que k u + k u + + k n u n también es solución del sistema homogéneo 7 Considere el sistema : { ax + by = bx + ay = Muestre que tiene un número finito de soluciones para todos los valores de a y b 8 Encuentre tres soluciones particulares del sistema de ecuaciones: { x + 4y 3z + t = 5 z 4t = R/ Una solución particular es (7,,, 0) 5

6 9 Considere el sistema de ecuaciones lineales: Verifique lo siguiente: { ax + by = e cx + dy = f a) si a c b, esto es, si ad bc 0, entonces el sistema tiene la solución única dada d por x = de bf ad bc, af be y = ad bc a) si a c = b d e, entonces el sistema no tiene solución f b) si a c = b d = e, entonces el sistema tiene infinitas soluciones f 0 Determine el conjunto solución para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales x + 3y + z = a) 3x y 4z = 3 R/ S = {(,, )} 5x y z = 4 b) { 3x y + 3z = 5 x + 4y z = R/ S = x y z = c) x + y + z = 7 x + 3y = 3 x y = 5 d) x + 3y = 0 3x 3y = 0 x + y z = 3 e) x + y + z = 4 x 3y + z = 3x + 4x 7x 3 = 3 x f) + 3x 6x 3 = 3 6x 0x + 4x 3 = 3 x + x x 3 = 0 x + y 3z = g) x + 4y 6z = 3x + 6y 9z = 3 Considere el sistema 3 3 : {( t, )} t, t : t IR 6 R/ S = {(9, 7, 5)} R/ Inconsistente R/ S = {(0 + 4t, 7 3t, t) : t IR} R/ S = {(, 3, 5 )} 6 R/ S = {( t + 3t, t, t : t IR)} 6

7 3 x j = i ( i 3) i + j j= Verifique que dicho sistema de ecuaciones tiene solución única Demuestre que si p, q son soluciones del sistema homogéneo AX = 0, entonces αp + βq es una solución de AX = 0, para todo α, β R 3 Verifique que el sistema de ecuaciones lineales: es inconsistente 4 Dado el sistema de ecuaciones lineales x + x x 3 + 3x 4 = 4 x + 3x + 3x 3 x 4 = 3 5x + 7x + 4x 3 + x 4 = 5 x + y 3z s + 4t = x + 5y 8z s + 6t = 4 x + 4y 7z + 5s + t = 8 tiene infinitas soluciones dependiendo de dos variables libres R/ S = {( r + 4r, 7 + r + 8r, r, 3, r ) : r, r IR} 5 Muestre que a, b, c, α, β y γ satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones lineales cx + az = b cy + bz = a bx + ay = c donde x = cos α, y = cos β y z = cos γ Matrices Con E(x) se designa el mayor entero que no es mayor que x Construya la matriz A con A ij = E(j/i) y de orden 4 ( ) 3 4 R/ A = 0 Determine si la matriz P de orden 3 con P ij = E(ij) es simétrica 3 R/ P = 4 6 es simétrica ( ) Considere la matriz M = Cuál es el valor de m 4 + m m 3? 7 R/ 6

8 4 Sea N una matriz diagonal de orden 4 tal que para todo i =,, 3, 4 se cumple n ii = ( ) i Determine los elementos de la diagonal principal R/ n =, n =, n 33 =, n 44 = 5 Sean P, Q y R matrices de orden m p, n m y n p respectivamente Determine el orden de la matriz A = ( 3P 5Q T R ) T R/ p m ( ) ( ) ( ) Sean M =, N = y P = Suponga que la matriz M depende x y 5 3 de N y P ; esto es, existen dos valores α y β tales que M = αn + βp Determine los valores de α y β R/ α = 5; β = 3 7 Dadas las matrices A = 3 4 y B = 5, hallar la matriz D de manera que A + B D = O 0 R/ D = Dadas las matrices A = 0, B = 3 y C = Determine las siguientes matrices: 3 6 a) A + 3C R/ b) AB CB R/ 9 7 c) B T ( A T ) I ( ) 7 5 R/ 3 8 d) C T 3I 3 R/ Sean A una matriz de orden m n, B de orden p n y C de orden n m Demuestre entrada por entrada, que k(ab T ) + (BC) T = ( k A T + C ) T B T con k IR 0 Sean A, B y C tres matrices tales que el producto ABC es una matriz de orden 3 y el producto A C T es una matriz cuadrada Determine el orden de A, B y C 8 R/ A 3 (IR); B 3 (IR) y C 3 (IR)

9 Sea A M n (IR) tal que A = O Pruebe, entrada por entrada, que Dadas las matrices: (I + A) = I A 5 0 a b 0 A = 5 0 y B = c c 0, determine las condiciones que debe cumplir a, b, c para que se verifique AB = BA R/ a = b = c 3 Suponiendo que las inversas indicadas existen, demostrar las siguientes igualdades a) ( C + D ) = C(C + D) D b) (I + CD) C = C(I + DC) c) ( C + DD T ) D = C D(I + D T C D) 4 Sea A una matriz antisimétrica Demuestre que A y A 4 son matrices simétricas 5 Sea B una matriz antisimétrica Pruebe que A 3 y A 5 son matrices antisimétricas 6 Sean A y B las matrices: A = 0 y B = Existe una valor de λ IR tal que la igualdad (A λi 3 ) = B sea verdadera? R/ λ = 7 Se dice que una matriz A es nilpotente deorden n, si verifica que A n = O Hallar el 0 orden de nilpotencia de la matriz Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, es decir AA T = A T A ( ) 6 3 a) Comprobar que la matriz A = es normal 3 6 R/ n = 3 b) Hallar una expresión para todas las matrices normales de orden ( ) ( ) ( ) a b a b a b R/,, b a b a b a 9 Compruebe que toda matriz A cuadrada de orden, verifica la ecuación: A (a + d) A + (ad cb) I = 0 9

10 ( ) a Dada la matriz A =, determine todas las matrices B = b tales que 0 c 0 A T AB = B R/ B = b, b IR 0 Pruebe que si AB = A y BA = B, la matriz A es idempotente Sug: Multiplique por A a la derecha de AB = A Sean A, B y C tres matrices para las cuales las operaciones indicadas a continuación se pueden realizar Utilizando las propiedades de las operaciones, pruebe que ( C + 3B T ) T A = C T A + 6BA 3 Dadas las matrices ( ) ( ) cos x sen x cos y sen y A = ; B =, sen x cos x sen y cos y pruebe que AB = BA 4 Hallar dos matrices A y B que verifiquen: ( ) 5 3A B = 4 5 A + 4B = ( ) R/ A = ( ), B = 0 ( ) Demuestre que: 0 c b a ab ac c 0 a ab b bc = b a 0 ac bc c Una matriz A cuadrada de orden n es ortogonal si A A T = I n, pruebe que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal 7 Sea A una matriz cuadrada de orden n y B una matriz de orden n, probar que la matriz S = A 3 + 3BB T es simétrica 8 Demuestre que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal ( ) x 9 Sean A = y B 3 T = ( y x ) ( ) 6 Si A B =, determine x y y 8 R/ x = 8 9 ; y = 6 9 0

11 30 Calcule (si existe) la matriz inversa para cada una de las siguientes matrices 3 a) A = R/ A = b) B = 3 R/ B = c) C = R/ C = d) D = R/ D = ( ) x y 3 Sea A = una matriz cuadrada de orden arbitraria z w a) Obtener una expresión general para la inversa de A R/ A = 0 0 xw yz ( w y z x b) Determinar la condición necesaria y suficiente para que A sea invertible R/ xw yz 0 3 Calcule la matriz X = A [ I C T ] B para las matrices: A = ( ) 3 B = ( ) 3 C = ( ) 3 4 R/ X = ) ( ) Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A, B y X con A B invertible, tales que XA T = I + (BX T ) T a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de las matrices I, A y B (no use sistemas de ecuaciones) b) Según lo que obtuvo en la parte a) determine X si R/ X = [ (A B) ] T

12 A = ( ) y B = ( ) 5 R/ X = ( ) Sea k IR y considere las matrices reales A y C definidas como: 3 0 k k 0 A = 0 3 C = k Si se sabe que AB T + A = (C) T + B T determine la matriz B que satisface dicha ecuación(usando álgebra matricial y sin resolver sistema de ecuaciones alguno) 4k 3 R/ B = 0 0 k + k k k 3 35 Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A, B, C Y X con A y B invertibles, tales que (AXB) T + C = I (donde I es la matriz identidad) a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de las matrices I, A, B y C (no use sistemas de ecuaciones) R/ X = A [ I C T ] B b) Según lo que obtuvo en a), determine X si 36 Sean A = A = ( ) 3 ( ) 0 0 y B = 0 0 B = ( ) 3 C = ( ) 3 4 R/ X = ( ) a) Determine la siguiente matriz (AB I ) ( R/ (AB I ) = ) b) Utilice solamente álgebra de matrices para encontrar una matriz X tal que ( A T X ) T B ( ) I = X T R/ X = Dada la matriz A = 0 determine el rango de A 0 R/ Rng(A) =

13 38 Sea A una matriz de orden m y B una matriz de orden m n a) De qué orden deben ser las matrices X y D, de modo que la igualdad, tenga sentido? XA T B T = XD T R/ X M n m (IR); D M m (IR) b) Para que la igualdad dada en a) tenga sentido y (A D) T sea invertible, utilice las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en términos de A, B y D R/ X = B T [(A D) T ] c) Determine explícitamente la matriz X si ( ) ( ) 3 3 A = B = Considere la matriz C = parámetro k Demuestre que que la matriz es inversa de sí misma ( ) D = ( ) 3 R/ X = 3 0 k k 0 0 Determine la matriz C en términos del k A = 0 0, k R/ C = 0 0 k k 40 Probar que A ( A T A ) ( + B B T B ) B T = I, para dos matrices A y B cuadradas de orden n Sea A = 3 0 a) Calcular una matriz B escalonada y una matriz C escrita como producto de matrices elementales 3 3, tales que B = CA 3 R/ B = C =

14 b) Lo mismo que en a), pero B es escalonada reducida B = C = E(F 3 + F )E( F 3 + F )E( F + F )E(F, F 3 )E(F, F ) n S n 4 Dada la matriz P = 0 Demostrar por inducción que P n = 0 n donde: n S n = k = n k= 43 Dada la siguiente matriz: 4 0 A = a) Determinar el rango de la matriz A R/ Rng(A) = b) Sin hacer cálculos adicionales, diga si la matriz A es invertible Justifique su respuesta R/ La matriz no es invertible pues Rng(A) < 3 44 Sea M una matriz cuadrada tal que M = M y N es otra matriz cuadrada tal que N = M I Demostrar que N = I, donde I representa la matriz identidad 45 Sea A M n (IR) Demuestre que A + A T siempre es simétrica, pero no A A T 46 Considere las siguientes matrices: A = 0, B = y C = Halle una matriz X tal que XAB T = AB T + XC R/ X = Sea A M n (IR) tal que A T A = y B M n (IR) tal que B = I n AA T a) Demuestre que A es una matriz simétrica b) Demuestre que B = I n c) Proponga un ejemplo de una matriz C M 3 (IR) distinta de la identidad tal que C = C 4

15 48 Sea A M n (IR) tal que A A I = 0 a) Muestre, entrada por entrada, que (A I) = A b) Para la siguiente matriz B calcule B B y utilice el resultado en a) para deducir el valor de B si B = R/ B = Considere un número real a distinto de 0 y de, y además considere las matrices: A = a) Calcule A T (B + C) b) Encuentre (aa + B) ( ) 0, B = ( ) y C = ( ) a a 0 R/ A T (B + C) = R/ (aa + B) = a(a ) ( ) a + a 0 ( a a a c) Hallar el valor de la matriz X que satisface (XB) T = C (axa) T ( ) 0 R/ X = a ( ) 50 Sea A = Hallar una matriz B, de orden, no nula, tal que AB = O, con O 0 0 ( ) a b la matriz nula R/ B = con a, b, IR a b 5 Sea A M m n (IR) tal que A T A M n (IR) es no singular Si B = A ( A T A ) A T demuestre que B B = O m 5 Sean A y B matrices cuadradas n n, con A invertible Pruebe que (A + B)A (A + B) = (A B)A (A + B) 53 Sean A, B M n (IR) tales que A y AB BA son conmutativas con el producto Pruebe por inducción que para todo n IN: A n B BA n = na n (AB BA) 54 Probar que no existe una matriz A, de dimensión, A simétrica, tal que ( A ) [( ) ] T 3 A I = I 5 )

16 55 Halle una matriz B tal que T B = Dada la matriz P = ( ) 0 demostrar que para n N P + P + + P n = n 0 n(n + ) n 3 3 R/ B = Sean B, C M n (IR) tales que: A = B + C, C = O y BC = CB Demuestre por inducción que para todo n IN, se cumple que A n+ = B n [B + (n + )C] 58 Sean A, B, Q M n (IR) tales que A = Q BQ, demostrar que A n = Q B n Q, para todo n IN 59 Sea A una matriz m n y B una matriz n m Una matriz B se llama inversa derecha de A si AB = I m Si AA T es invertible, demostrar que A T ( AA T ) es una inversa derecha de A 60 Demuestre que la matriz A = verifica la relación A n = 3 n A 6 Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tamaño Si A es invertible, con A y B conmutativas, demuestre que A y B también conmutan 6 Una matriz A M n (IR) es involutiva si verifica que A = I n Demostrar que A es involutiva si y solo si (I n A)(I n + A) = 0 63 Sea A M m n (IR) Demuestre que la matriz C = AA T es simétrica 64 Demuestre que si A y B son matrices idempotentes y además, AB = BA, entonces la matriz AB es idempotente 65 Sea A M n (IR) una matriz ortogonal (A T = A ) Demuestre que A es ortogonal 66 Demuestre que si una matriz A satisface la ecuación A 3A + I = O e invertible, entonces, A = 3I A 6

17 67 Si se sabe que A y B son matrices que conmutan, además A es idempotente y B una matriz involutiva, demuestre que (A + B) 3 + (A B) 3 = 8A 68 Demuestre que si Q es una matriz involutiva, entonces P = (Q + I) es una matriz idempotente 69 Demuestre que si una matriz A tiene dos de las siguientes tres propiedades: a) Simétrica b) Ortogonal c) Involutiva entonces cumple con la tercera 70 Probar que si la matriz A es idempotente, también lo es la matriz B = I A Además, pruebe que AB = BA = O 7 Una matriz A M n (IR) es antisimétrica si A T = A Demuestre que para cualquier matriz B M n (IR) se tiene que B B T es antisimétrica 7 Demuestre que para toda A M(n, R), la matriz B = A + AT C = A AT es antisimétrica es simétrica y la matriz 73 Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la igualdad A + B = AB Demuestre que (I B) = B A donde I denota la matriz identidad 74 Suponga que A M m n (IR), B M m n (IR) y C M n m (IR) Demuestre entrada por entrada que A T B (CA) T = A T (B C T ) 75 Si A M(n, R), tal que A = A, demostrar que para todo n N se cumple que (A + I) n = I + ( n )A 76 Sea A M(n, R) con A una matriz invertible, pruebe que: a) Si A es simétrica e involutiva, entonces C = ( In A T ) es idempotente b) Si I A es invertible, entonces A (I A) = ( A I ) Pruebe que A = 3 6 no tiene inversa Además, calcule una matriz E escalonada y exprésela como E = (F k F ) A donde F,, F k son matrices elementales 78 Suponga que una matriz A cuadrada es invertible Qué se puede decir del conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo Ax = 0? R/ Solución trivial 7

18 ( ) a a 79 Demuestre que la matriz a a a = a y a a = a es igual a su propia inversa si A = ±I o si 80 Sea A M n (IR) Si A es una matriz invertible, entonces el sistema de ecuaciones Ax = b tiene solución única dada por x = A b Utilice este resultado para hallar el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales x + 4x + 3x 3 = 6 x x 3 = 4 3x + 5x + 7x 3 = 7 5 R/ A b = Sean A, B M n (IR) y suponga que B y I AB son invertibles Demuestre que B(I AB) B B(I AB) A = I 8 Sea C una matriz columna de tamaño (n ) cuyas entradas son todas igual a, y considere las matrices A de tamaño (n ) tal que A T A = C y B = I n A A T a) Pruebe que la matriz B es simétrica b) Demuestre que B T = B 83 Las matrices A, B M n (IR) son tales que A y (AB BA) son permutables Pruebe usando inducción matemática que: A n B BA n = na n (AB BA), n N, n Sug: Despejar de forma conveniente en la hipótesis de inducción 84 Considere las matrices A, B M n (IR) Demuestre que: (I + AB) = I A (I + BA) B 85 Seana, b, c tres números reales tales que verifican a + b + c = Considere la matriz a ab ac A = ab b bc Demuestre que A es una matriz idempotente ac bc c 86 Demuestre que si A y B son dos matrices permutables (es decir, conmutan en el producto) y C es una matriz ortogonal, entonces las matrices (CAC) T y (CBC) T conmutan 87 Sean A y B matrices simétricas de orden n Demuestre que para que AB sea una matriz simétrica es condición necesaria y suficiente que las matrices A y B sean conmutativas 88 Sea A M n (IR) tal que A es idempotente a) Pruebe que B = I A es idempotente 8

19 b) Demuestre que AB = BA = O 89 Se llama traza de una matriz cuadrada A y se denota T r(a), a la suma de los elementos de la diagonal principal: Si A, B M n (IR) demuestre que: a) T r(a + B) = T r(a) + T r(b) b) T r(ab) = T r(ba) T r(a) = a + a + a a nn = c) Es imposible la igualdad matricial AB BA = I 90 Halle A si se sabe que la matriz A satisface la identidad ( ) A 0 0 T r(a) A + 3I = 0 0 n a kk k= R/ A ( Si se tiene que A = 4 7, calcular el valor de z que cumpla: 4 x A y = z ) R/ z = 9 Sean A, B M n (IR) tales que A es invertible y además, AB = O Pruebe que B = O 93 Sean B M n (IR) y C una matriz simétrica de orden n Además, considere la matriz A definida por: A = C B T B BBT Demuestre, entrada por entrada, que A es una matriz simétrica ( ) 94 Dadas las matrices A = tal que A 0 = A I, calcular A 5 R/ A 5 = ( ) Suponga que A es una matriz ortogonal y B = AP, siendo P una matriz regular Pruebe que la matriz P B es ortogonal 96 Pruebe que si A es una matriz antisimétrica e I + A es regular, entonces la matriz C = (I A)(I + A) es ortogonal 9

20 97 Suponga que A es una matriz ortogonal y además la matriz I +A es regular Demuestre que la matriz B = (I A)(I + A) es antisimétrica a a a 3 98 Sea A = a a a 3 Pruebe que A es ortogonal si y solo si, se verifican las a 3 a 3 a 33 condiciones siguientes: (i) La suma de los productos correspondientes de dos filas distintas es 0 ii) La suma de los cuadrados de los elementos de cualquier fila es 99 Sea C una matriz columna de tamaño n cuyas entradas son todas igual a, y considere las matrices A de tamaño n tal que A T A = C y B = I n A A T a) Pruebe que la matriz B es simétrica b) Demuestre que B T = B 00 B M n (IR) que cumple B T B = B Demuestre que: T r ( (B B T ) T (B B T ) ) = 0 3 Determinantes Demuestre sin calcular los determinantes: + a + b = + a 0 0 b + 0 b + a 0 3 Resolver la ecuación x x = 0 R/ x =, x = 3 Expresar, en forma de producto, el siguiente determinante a b c a b c b + c a + c a + b 4 Demostrar, sin utilizar la Expansión de Laplace, que a ab b a a + b b = (a b)3 R/ (a + b + c)(a b)(b c)(a c) 5 Calcular el valor de un determinante de la matriz A de orden n, cuyos elementos son A ij = i j para todo i, j R/ A = 0 0

21 x y z 6 Demostrar que x + y + z + x + y + z + = 0 7 En cada caso obtenga una matriz C triangular tal que A es equivalente a C por filas y A = C y calcule A 0 y Sean A y B matrices cuadradas, conociendo que: ( ) A C = A B, 0 B R/ 3 y 0 calcule el determinante de las matrices: y Hallar el valor del determinante R/ 5 y 36 R/ 0 Use solo propiedades del determinante para verificar que: a b + c a) b a + c c b + a = 0 a + b b + c c + a b) b + c c + a a + b c + a a + b b + c = a b c b c a c a b + a Demostrar que + a a = a a a n + a n

22 a + b b + c c + a Calcule b + c c + a a + b c + a a + b b + c si a b c b c a c a b = 3 R/ 48 3 Sea A M n (IR) Demuestre que: (i) A es invertible A = A (ii) A = A A = o A = 0 (iii) A T A = I n A = o A = (iv) Rng(A) = n A 0 4 Si B = P AP, con A, B, P matrices en M n (IR) y P invertible, entonces (a) Muestre que det(b) = det(a) (b) Muestre que det(λi B) = det(λi A), con λ IR (c) Si A es invertible y si A = A T, demuestre que det(a) = ± n 5 Calcular las raíces de la ecuación definida por el determinante x x = 0 n x R/ 0,,, 3,, n x x x 3 6 Calcular las soluciones de la ecuación x 4 x 4 x 3 8 3x 9 x 9 x 3 7 = 0 R/ x = 0,,, 3 7 Hallar el valor del determinante de orden n a a a a a Sug: Sumar a la primera columna todas las restantes, luego transformar a una matriz triangular R/ (a + n )(a ) n

23 8 Compruebe que los siguientes determinantes no dependen de a a + 3 (a + )(a + 3) (i) a + 4 (a + 3)(a + 4) R/ a + 5 (a + 4)(a + 5) a + (a + ) (ii) a + 3 (a + 3) 3 R/ a + 4 (a + 4) 9 Sin desarrollar, pruebe que el siguiente determinante es múltiplo de Aplique la propiedad de linealidad para demostrar que la suma de los determinantes es un múltiplo de 3 Demostrar que el determinante cos(x + a) cos(x + b) cos(x + c) sen(x + a) sen(x + b) sen(x + c) sen(b c) sen(c a) sen(a b) no depende del valor de x R/ sen(b c) sen(c b) sen(c a) sen(c a) + sen(a b) sen(b a) Suponga que para dos matrices cuadradas A y B de orden se cumple: Hallar a y b AB = ( ) 7 5, BA = 5 5 ( ) a 8 b Sug: Utilice el hecho de que AB = A B y además, T r(ab) = T r(ba) R/ a = 6, b = 6 3 Demuestre que si D(A) 0, se verifica que D ( A ) = D(A) x + x x 4 Sea A = x x + x Determine todos los valores de x para los cuales A x x x + es invertible R/ x 3 3

24 4 x Sea A = 5 4 x 5 Determine todos los valores de x para los cuales x Rng(A) < 3 Sug: Aplique el siguiente resultado: A = 0 Rng(A) < n, para A M n (IR) R/ x =, x = 4, x = 9 6 Demuestre que la recta que pasa por los puntos P = (a, b) y Q = (c, d) es determinada por la ecuación: x a c y b d = 0 7 Sea A = m 6 m + m m m 9 m m m + 6 3m a) Calcule el determinante de A R/ A = 6 si m = 0; A = (m )( m)(3 m) si m 0 b) De acuerdo con a), para qué valores de m la matriz A es invertible? R/ m =, m = o m = 3 8 Una matriz A M (IR) se llama nilpotente si para algún entero positivo k, A k = 0 Pruebe que si A es nilpotente, entonces D(A) = 0 9 Demuestre que si B es una matriz antisimétrica y n es impar, entonces B no es invertible 30 Sean A, B M 4 (IR), tales que D(A) = y D(B) = Calcule D ( A B T ) R/ 6 a b c 3 Si A = 4 0, donde a, b, c IR y A = 3, calcule el determinante de cada una de las siguientes matrices: a b c a) B = R/ B = 0 a b c b) C = 3a + 4 3b 3c + R/ C = 3 a + b + c + a b c 3 Si el determinante de la matriz A = d e f, donde a, b, c, d, e, f, g, h, i IR, es g h i det(a) = 5, calcule los siguientes determinantes: 4

25 a) det(3a) R/ det(a) = 35 b) det ( A ) a b c R/ det ( A ) = 8 5 c) det g d + e h + f i + R/ 5 d e f 33 Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de Cramer: 34 Dada la siguiente matriz A M 3 (IR): x + y z + w = 4 x + y + z 3w = 6 3x y z + w = 0 x + 3y + z + 4w = 5 cos x sen x 0 A = sen x cos x a) Muestre que la matriz A es invertible para todos los valores de x b) Determine la matriz inversa de A 35 Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x x + x 3 = 3 x + 3x 4 x 5 = 5 x + x + x 3 x 5 = x + x 3 x 4 x 5 = 0 x + x 3 + x 4 + x 5 = 3 a) Calcule el determinante de la matriz del sistema R/ S = {(,, 3, )} R/ D(A) = cos x sen x 0 R/ A = sen x cos x R/ det(a) = 9 b) Sin hacer cálculos, responda: El sistema de ecuaciones anterior tiene solución única? R/ Sí 36 Sean A, B, C M 4 (IR) tales que D(C) = 6 y D(A B) = 3 Calcule D ( (6A 3B) C ) R/ 3 5

26 a a a 3 37 Si det a a a 3 = 8, demuestre: a 3 a 3 a 33 a 3a a 3a a 3 3a 3 det a 3 a 3 a 33 = 6 a a a 3 38 Suponga que A M n (IR) escrita como ( ) A O A = A A ( ) A A o A = O A donde A está escrita como una matriz en bloques, es decir A y A no son números reales sino matrices cuadradas y 0 es una matriz nula Entonces D(A) = D(A )D(A ) De acuerdo a este resultado, demuestre que = Demuestre que P = A C O B = A B, si P es la matriz en bloques Sug: Utilice la Expansión de Laplace para efectuar la demostración a + 40 Sea A = a 0 0 a + Calcule A, sin aplicar la Expansión de Laplace u operaciones 0 0 a elementales R/ A = (a + ) a a 4 Muestre que det A = b b = (a b)(a c)(c b) Utilice este hecho para demostrar c c que la matriz M = 5 4 es invertible Si A = B 0 y C = 4, D = donde A, B, C, D M 5 (IR), calcule A T C B (3D T ) 4CD ( A B ) T R/ det M = 6 6 R/

27 43 Sea A M(n, R) una matriz invertible Pruebe que det (adj(a)) = (det(a)) n d 44 La derivada de A con respecto a la variable x, A, es igual a la suma de los n dx determinantes que resultan al sustituir de todas las maneras posibles los elementos de una fila o columna de A por sus derivadas con respecto a x Demuestre: d x x + 3 dx x x 3 0 x = 5 + 4x x 6x 5 ( ) ( ) a a 45 Sean A = b b y B = Teniendo en cuenta que AB = A B a a b b demostrar: (a + a )(b + b ) = (a b a b ) + (a b + a b ) 46 Sean A, B M n (IR), siendo A invertible y H = A + ib, donde i = Demostrar: H = A I + ( A B ) 3 47 Sea A = 3 Calcule adj(a) R/ adj(a) = Demuestre que si A M (IR), entonces adj(adja) = A 49 Sean A y B matrices de orden Pruebe que, det(a) = det(b) si y sólo si existe X con det(x) = tal que A = XB 50 Dada A M 4 (IR) suponga que la matriz B se obtiene de la matriz A por medio de sumar 5 veces la primera fila a la fila y luego intercambiar las filas 3 y 4 Si A =, calcule 3A B T R/ 8 a b + c 5 Use solamente propiedades del determinante para verificar que b a + c c b + a 0 a c 5 Sea A = b 0 c con a, b, c número reales no nulos Demostrar que A es invertible b A M n (IR) antisimétrica Pruebe que si n es impar, entonces det A = 0 54 Demostrar que ae n = a, E n (f i, f j ) = y E n (af i + f j ) = donde E es una matriz elemental 55 Sean A, B M n (IR) tales que AB = BA Si n es impar demuestre que A o B no es invertible 7

28 56 Si B A = ( ) 4 y B = 5 3 ( ) 3, calcule det(a) 4 R/ det(a) = 4 57 Pruebe haciendo uso de operaciones elementales sobre las filas que 3 x x x x 3 x x x x 3 x = 3(x + )(3 x) x x x 3 58 Demuestre por inducción: Si A M n (IR), entonces det(αa) = α n det(a) ( 59 Si A M 3 (IR), calcule det ( A t A ) ) R/ 8 a b c d 60 Sea A = b a d c c d a b d c b a a) Demuestre que AA T = (a + b + c + d )I 4 b) Usando a) calcule det(a) R/ (a + b + c + d ) 6 Recuerde que si A es invertible, entonces A = Adj(A) Usando este hecho, calcule ( ) A sen x cos x A si A = cos x sen x ( ) sen x cos x R/ A = cosx sen x 3 6 Verifique que la matriz A = no es invertible Sea A M n (IR) tal que A es invertible Pruebe que adj(λa) = (λ n A ) n si λ IR 64 Sean A, B M 4 (IR), tales que D(A) = 5 y D ( B ) = 4 3 Calcule D ( B adja T ) Sug: Aplique el resultado del ejercicio 6 para el caso λ = R/ Sea A M n (IR) tal que A es involutiva (A = I), además la matriz M = (A + I) es invertible e idempotente Pruebe que M = 66 Sin desarrollar los determinantes, demostrar la identidad a a 3 b b 3 c c 3 = bc a a ca b b ab c c 8

29 67 Considere el sistema de ecuaciones: { mx 3y = mx + my = n Determine los valores de m y n para los cuales el sistema: i) Tenga solución única R/ m 6, m 0 ii) No tenga solución R/ m = 0 y n = 0; m = 6 y n = iii) Infinitas soluciones R/ m = 0 y n = 0; m = 6 y n = 68 Demuestre, sin desarrollar ninguno de los determinantes, la identidad siguiente: = Determinar los valores de m para los que el sistema homogéneo admita solución: 70 Para el sistema de ecuaciones lineales: mx + y + z = 0 x + my + z = 0 x + y + mz = 0 x + ay + z = 0 ax z = 0 x + y = 0 R/ Solución única si m, m m = ; x = (y + z) m = ; x = y = z determine el o los valores del parámetro a, para que el sistema tenga infinitas soluciones Indique el conjunto solución 7 Sea A M n (IR) una matriz invertible Pruebe que: A = A R/ a = ; S = {(t, t/, t) : t IR} Considere las matrices A = y B = Calcule D ( A T B ) R/ 9

30 ( ) A B 73 Sean A, B M (IR) y P M 4 (IR) la matriz definida por P = Pruebe que: B A D(P ) = D(A + B)D(A B) 3 74 Dada la matriz A =, calcular A λi tomando λ = Para qué valores de x IR de la matriz A = cuadradas no nulas tal que AB = O? ( ) 3 x R/ 495 pueden existir matrices R/ x = ±6 76 Demostrar que el valor de un determinante de orden n no se altera al cambiar de signo a todos los elementos A ij en los que i + j es par 77 Sean A, B M 4 (IR), tales que A = 4 y B = 5 4 Calcule 3B adj(a) R/ /5 78 Sea A M n (IR) invertible tal que A adj(a) A orden n invertible, entonces = I Pruebe que si B es una matriz de ( adj(b T ) ) T = B B 79 Sea A = ( A A A 3 A 4 ) una matriz 4 4 donde A, A, A 3, A 4 son las columnas de la matriz A y A = Calcule: a) A A A 4 A 3 R/ b) 3A A + A 3 A 3 A 4 R/ 3 80 Sea Q una matriz ortogonal, (Q = Q T ) y B = siendo B M 3 (IR), calcule ( 5BQ ) R/ ± 50 8 Si B = P AP con A, B, P M n (IR) y P es invertible a) Muestre que A = B b) Si A es invertible y si A = A T demuestre que A = n o A = n x 0 x 8 Considere la matriz B = x 3 a) Para qué valores de x la matriz B es equivalente a la identidad? R/ x, x 0, x b) Si x =, cuál es el rango de B? R/ 30

31 0 83 Suponga que a a b = 3 a) Usando únicamente propiedades del determinante calcule: a a b b) Utilizando la Regla de Cramer calcule el valor de y del siguiente sistema x + (a + 7)y + 4z = 0 x + (a + 5)y + 0z = (b + 3)y + 6z = 5 R/ 6 R/ y = 3 ( ) 3 84 Dada la matriz A = se llaman valores propios de A a los números reales λ, tales que A λi = 0 Halle los valores propios de A 85 Determine el valor de z en el siguiente sistema de ecuaciones lineales ax + ay + bz + bw = a + b bx + by + cz + dw = b + c + d bx + ay + dz + ew = a + d + e cx + ay + ez + aw = a + e Si se sabe que el determinante de la matriz de coeficientes es 4 R/ λ =, λ = 4 R/ z = 0 86 Sea A = y b ij = ( ) i+j A ij, donde A ij es la matriz que resulta de 0 4 quitar a A la fila i y la columna j 4 a) Calcule la matriz B = B ij R/ B = 4 4 b) Verifique que AB T = A I 3 4 c) Deduzca cuál es la matriz A R/ A BT = Sea A M n (IR) tal que A = I n Demuestre que A es invertible, que n es par y que A = ± 3

32 88 Sean A, B M n (IR) tal que A = p 0 Sea k IR Calcular A n, ka y [A ] n en función de p y k R/ A n = p n ; ka = k n p; [A ] n = p n 89 Demuestre usando propiedades de los determinantes que la siguiente ecuación es válida a + db + ec a + db + ec a 3 + db 3 + ec 3 b b b 3 c c c 3 = a a a 3 b b b 3 c c c 3 90 Sean A, B M n (IR) tales que AB = I Es válido asegurar que A = 0? 9 Suponque que para una matriz A cuadrada se cumple que det(a) = y det(a) = 6 Cuál es el tamaño de la matriz A? R/ Sea A = 4 9 Suponga que B es la matriz que se obtiene después de realizar 8 7 en A la siguientes transformaciones: Se multiplica A por sí misma Se cambian las filas y 3 de la matriz 3 Se multiplican todos los elementos de la segunda columna por Calcule el determinante de la matriz B R/ Sean f, f y f 3 las filas uno, dos y tres, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3, tal que A = Calcule el valor del determinante que tiene por filas f f y f, f + f 3 94 Determine una matriz simétrica A que cumpla las siguientes condiciones: ( ) 6 i) A = 3 ii) A = 7 ( ) 4 3 ( ) a b 95 A cada matriz A = se le asocia el polinomio característico c d p(x) = x + (a + d)x + det(a) R/ A = R/ 4 ( ) 3 a) Determine la matriz que tenga como polinomio característico p(x) = x + x + ( ) R/ A = 3 3

33 b) Si A es invertible, demuestre que el polinomio característico de A, es Sug: A = A adj(a) p(x) = x a + d x + A A c) Pruebe que las soluciones de la ecuación característica x + (a + d)x + det(a) = 0 son: x = [ (a + d) ± ] (a d) + 4bc 33