ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

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1 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso ) 6 Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales Sea k un número par Probar que si X k = Id, entonces n es también un número par Si se cumple que X k = Id, aplicando determinantes obtenemos que det(x k ) = det( Id) Pero det(x k ) = det(x) k y det( Id) = ( ) n Por tanto: det(x) k = ( ) n Como k es par, det(x) k es positivo; entonces ( ) n ha de ser positivo y en consecuencia n tiene que ser un número par 8 Decidir si la familia de matrices hemisimétricas regulares de M n n (K) verifica alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia (a) CIERTO Una matriz hemisimétrica es aquella que es igual a su traspuesta con el signo opuesto Basta razonar como antes pero para matrices hemisimétricas: (A ) t = (A t ) pero por ser A hemisimétrica A t = A, luego (A ) t = A y por tanto la inversa es hemisimétrica (b) FALSO Como antes dadas A, B hemisimétricas, veamos si AB lo es De nuevo, (AB) t = B t A t ; por ser A, B hemisimétricas, (AB) t = ( B)( A) = BA De aquí no se de deduce que AB sea hemisimétrica Ejemplo: A = 0, B = 0 0, AB = Dadas A, B M n n (IR), con A simétrica y B hemisimétrica, razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: Observamos que por ser A simétrica A = A t y por ser B hemisimétrica B t = B (a) AB es hemisimétrica Tenemos que: (AB) t = B t A t = BA Si fuese hemisimétrica tendría que cumplirse (AB) t = AB Pero por ejemplo si A = 0, B = ( 0 ) 0 Se tiene A = A t, B = B t pero: y BA = AB = ( 0 ) 2 0 AB 0

2 (b) A + B es simétrica Es falso Basta tomar como ejemplo las matrices del apartado anterior (c) (A B)(A + B) es simétrica Se tiene que: ((A B)(A + B)) t = (A + B) t (A B) t = (A t + B t )(A t B t ) = (A B)(A + B), por tanto si es simétrica Sea n > 2 y A M n n (IR), una matriz inversible Sea adj(a) su matriz adjunta Probar que: (a) det(adj(a)) = det(a) n Sabemos que: A = det(a) adj(a) De donde: adj(a) = det(a) A Aplicando determinantes queda: det(adj(a)) = det(det(a) A ) = det(a) n det(a ) = det(a)n det(a) = det(a)n (b) adj(adj(a)) = det(a) n 2 A Como antes sabemos que: adj(a) = det(a) A Entonces: adj(adj(a)) = det(adj(a)) adj(a) = det(a) n (det(a) A ) = det(a) n det(a) A = det(a) n 2 A 2 Calcular en función de x el siguiente determinante: det x x 2 x x 2 x 2 x x x 2 Para qué valores reales de x se anula? Hacemos operaciones elementales para simplificar el determinante Comenzamos sumando todas las

3 fila a la primera: det 2 + x + x x + x x + x x + x 2 x x 2 x 2 x x x 2 = (2 + x + x 2 )det x x 2 x 2 x x x 2 = = = (2 + x + x 2 x x )det 2 x x x x 2 x 2 x 2 x x 2 = 0 x x 2 = (2 + x + x 2 )det x2 x x x x 2 x 2 x x 2 = 0 x x 2 x = (2 + x + x 2 )(x ) 3 det x x x = 0 x = (2 + x + x 2 )(x ) 3 det x x 2 x = x 2 + x x x + = (2 + x + x 2 )(x ) 3 x x 2 det x 2 = (2 + x + x 2 )(x ) 3 x(x 2 + 2x + 2) + x x El determimante se anula en las raíces de cada factor: 2 + x + x 2 = 0 x = ± 4 2 IR x = 0 x = Es decir se anula para x = 0 ó x = x = 0 x 2 + 2x + 2 = 0 x = ± 2 IR

4 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a los problemas adicionales Matrices y determinantes (Curso ) I En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que si AA T = Ω, entonces A = Ω Llamemos B = A T Entonces por definición de traspuesta, b ij = a ji Ahora por hipotésis Ω = AA t = AB Haciendo el producto vemos que para cualquier i, j con, i, j n: En particular, si i = j: 0 = 0 = n a ik b kj = k=0 n a ik a ik = k=0 n a ik a jk Por ser A una matriz con coeficientes reales, los cuadrados a 2 ik son siempre números no negativos Si su suma es cero, todos ellos han de ser cero, y deducimos que a ik = 0 para cualquier i, k con, i, k n Por tanto A = Ω (Primer parcial, febrero 2000) k=0 n k=0 a 2 ik II Calcular las potencias n-simas de las siguientes matrices: El método ( de momento!) más usual es hacer a mano las primeras potencias y luego encontrar una regla general: (a) A = Calculamos las primeras potencias A 2 = , A 3 = , A 4 = , Parece razonable pensar que, en general: A n = n 0 2n 0 Hay que comprobarlo Se hace por inducción Para ello: - Vemos que se cumple para A - Comprobamos que, si suponemos cierta la fórmula para n, entonces se cumple para n, es decir: A n = A A n = A n 0 = n 0 2(n ) 0 2n 0 (b) B = ( )

5 Calculamos las primeras potencias: B 2 =, B 3 = 2 0 Ahora es fácil continuar porque: ( ), B 4 = 4 0 = ( 4)Id 0 4 B 5 = B B 4 = ( 4)B; B 6 = ( 4)B 2 ; B 7 = ( 4)B 3 ; B 8 = ( 4) 2 Id; En general, el exponente n siempre lo podemos escribir como n = 4d + r donde r es el resto de dividir n entre 4 y por tanto es un número entero comprendido entre 0 y 3 Tendremos: B n = B 4d+r = (B 4 ) d B r = ( 4) d Id B r = ( 4) d B r En definitiva escribimos el resultado dependiendo de los 4 posibles valores de r: B n = ( 4) d 0, si n = 4d; 0 B n = ( 4) d B n = ( 4) d, si n = 4d + ;, si n = 4d + 2; 2 0 B n = ( 4) d 2 2, si n = 4d + 3; 2 2 (c) C = 0 a b c 0 0 Hacemos las primeras potencias: C 2 = 0 0 ab bc 0 0, C 3 = abc abc 0 = abc ac abc 0 0 Paramos en la tercera potencia Nos fijamos que C 3 = abcid Ahora es muy fácil multiplicar por C 3 Podemos en general hacer lo siguiente Dado n > 0, sabemos que n = 3q + r, donde q es el cociente y r < 3 es el resto de dividir n por 3 Por tanto: C n = C 3q+r = (C 3 ) q C r = (abci) q C r = a q b q c q C r y, C n = aq b q c q a q b q c q a q b q c q, si n = 3q; 0 a q+ b q c q 0 C n = 0 0 a q + b q+ c q, si n = 3q + ; a q b q c q a q+ b q+ c q C n = a q b q+ c q+ 0 0, si n = 3q a q+ b q c q+ 0

6 (d) D = a2 ab ac ab b 2 bc Hacemos las primeras potencias: ac bc c 2 D 2 = a4 + a 2 b 2 + a 2 c 2 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 3 b + ab 3 + abc 2 a 2 b 2 + b 4 + b 2 c 2 a 2 bc + b 3 c + bc 3 a 3 c + ab 2 c + ac 3 a 2 bc + b 3 c + bc 3 a 2 c 2 + b 2 c 2 + c 4 Ahora es fácil seguir haciendo las potencias de D, porque: En general vemos que; D 3 = D 2 D = (a 2 + b 2 + c 2 )D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D D 4 = D 3 D = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 D 2 = (a 2 + b 2 + c 2 ) 3 D De nuevo hay que comprobarlo por inducción: D n = (a 2 + b 2 + c 2 ) n D - Para n = es cierto, ya que D = (a 2 + b 2 + c 2 ) D = D - Lo suponemos cierto para n y lo probamos para n: = (a 2 + b 2 + c 2 )D D n = D n D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 D 2 = = (a 2 + b 2 + c 2 ) n 2 (a 2 + b 2 + c 2 )D = (a 2 + b 2 + c 2 ) n D III Para las siguientes familias de matrices no singulares de M n n (K), decidir si verifican alguna de las dos condiciones: (a) dada una matriz de la familia, su inversa también pertenece a la familia; (b) dadas dos matrices de la familia, su producto también pertenece a la familia () las matrices simétricas regulares, (a) CIERTO Que sea regular simplemente significa que tiene inversa Y una matriz simétrica es aquella que coincide con su traspuesta Hay que probar que si una matriz es simétrica su inversa es también simétrica Basta usar las propiedades de la trasposición: (A ) t = (A t ) pero por ser A simétrica A t = A, luego (A ) t = A y por tanto la inversa es simétrica (b) FALSO Dadas A, B simétricas, veamos si lo es AB Tenemos (AB) t = B t A t ; por ser A, B simétricas deducimos que (AB) t = BA Teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo, en general BA AB y por tanto AB no tiene porque ser simétrica Veamos un ejemplo del de dos matrices simétricas cuyo prdoducto NO lo es: A = 0, B = 0 0, AB = 0 (2) las matrices regulares que conmutan con una matriz dada A M n n (K), (a) CIERTO Supongamos que una matriz regular B conmuta con A Veamos que también conmuta su inversa Por conmutar A yb se tiene AB = BA Multiplicando ambos términos, por la derecha y por la izquierda por B tenemos, B ABB = B BAB Y como BB = B B = I queda, B A = AB (b) CIERTO Supongamos que B y C conmutan con A Veamos que entonces BC también conmuta con A: (BC)A = B(CA) = B(AC) = (BA)C = A(BC)

7 (3) las matrices ortogonales Una matriz ortogonal es aquella cuya inversa es igual a su traspuesta (a) CIERTO Sea A ortogonal (A t = A ) Veamos que A es ortogonal: (A ) t = (A t ) = (A ) Vemos que su traspuesta coincide con su inversa y es ortogonal (b) CIERTO Sean A, B ortogonales Veamos que AB es ortogonal (AB) t = B t A t = B A = (AB) Luego vemos que su inversa coincide con su traspuesta VI Dada la matriz m n con m, n >, 2 n n n + n + 2 2n 2n A = (m )n + (m )n + 2 mn mn expresar a ij en función de i y j, y calcular su rango El término a ij es de la forma: a ij = j + (i ) n Para hallar el rango hacemos operaciones fila y columna sobre la matriz A Le restamos la primera fila a todas las demás: 2 n n n n n n (m )n (m )n (m )n (m )n Ahora le restamos la primera columna a todas las demás: n 2 n n (m )n Vemos que las filas 3,, m son proporcionales a la segunda Por tanto el rango es a lo sumo 2 Para ver que el rango es exactamente 2 basta mostrar un menor 2 2 de determinante no nulo: n 0 = n VII Dados x R, x 0 y la matriz calcular det(a 3 ) y det(a ) Por las propiedades del determinante: 0 0 x x A =, x 0 x x x 0 det(a 3 ) = det(a) 3 det(a ) = det(a)

8 por lo que nuestro problema se reduce a calcular el det(a): 0 0 x x det(a) = det = det x x 0 = 0 x x 0 x 0 x 0 x 0 x = det 0 0 x 2x x 2x x = det = (4x 2 x 2 ) = 3x 2 x 2x x x 2x y en definitiva: det(a 3 ) = ( 3x 2 ) 3 = 27x 6, det(a ) = 3x 2 VIII Dado a R y para cada n entero positivo definimos las matrices A n M n n (R): (a) Calcular en función de a, det(a 4 ) (b) Calcular en función de a y n, det(a n ) 3 a a a a a 3 a a a a a 3 a a A n = a a a 3 a a a a a 3 Calculemos en general el det(a n ) Si sumamos todas las filas a la primera queda: 3 + (n )a 3 + (n )a 3 + (n )a 3 + (n )a 3 + (n )a a 3 a a a a a 3 a a det(a n ) = = a a a 3 a a a a a 3 a 3 a a a a a 3 a a = (3 + (n )a) a a a 3 a a a a a 3 Ahora le restamos la primera fila multiplicada por a a todas las demás: 0 3 a a 0 0 det(a n ) = (3 + (n )a) = (3 + (n )a)(3 a) n a a En particular: det(a 4 ) = (3 + 3a)(3 a) 3 = 3( + a)(3 a) 3

9 IX Hallar el siguiente determinante para n 2 x + y x + y 2 x + y 3 x + y n x 2 + y x 2 + y 2 x 2 + y 3 x 2 + y n A n = x 3 + y x 3 + y 2 x 3 + y 3 x 3 + y n x n + y x n + y 2 x n + y 3 x n + y n Restamos a las filas 2, 3,, n la primera fila Queda: x + y x + y 2 x x x x x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x A n = x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x x n x x n x x n x x n x Vemos que en cada fila 2, 3,, n los términos son iguales podemos sacarlos fuera: Por las propiedades del determinante, x + y x + y 2 x x x x A n = (x 2 x )(x 3 x ) (x n x ) Entonces si n > 2, hay dos o más filas iguales y por tanto el determinante es 0 Si n = 2 queda: (Primer parcial, febrero 2003) A 2 = (x 2 x ) x + y x + y 2 = (x 2 x )(y y 2 )