ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 4

Transcripción

1 ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 4 Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones (Curso ) 3. Decidir si las matrices A y B son equivalentes por filas y/o equivalentes por columnas. Si alguna respuesta es afirmativa, hallar la correspondiente matriz de paso: A =, B = Veamos primero si son equivalentes por filas. Primero hallamos la forma reducida de A: H 21 ( 2) H 12 ( 1) H 31 ( 3) H 32 ( 1) H 41 ( 4) 2 H 42 ( 1) 2 A = Ahora la de B: H 21 ( 2) 0 H 31 ( 3) 2 H 41 ( 4) B = H 32 ( 1) H 42 ( 1) 0 Vemos que las formas reducidas por filas no son iguales, luego A y B no son equivalentes por filas. (Observación: Como todos los elementos de la primera columna de B son cero y los de la A no, de aquí ya se deduce que no pueden ser equivalentes por filas. Esto es debido a que la primera columna de B seguirá siendo nula bajo cualquier transformación por filas, mientras que la primera columna de A siempre tendrá algún término no nulo). Ahora estudiamos la equivalencia por columnas. Primero reducimos la matriz A: Luego la matriz B: ν 21 ( 1) ν 31 ( 1) A = ν 12 ( 2) ν 32 ( 2) B = ν 13 2 ν 12( 2)

2 Vemos que coinciden las formas reducidas, luego son matrices equivalentes por columnas. Para hallar la matriz Q de paso de A a B, tomamos la matriz identidad del orden el número de columnas, y realizamos primero las transformaciones por columna que le hemos hecho a A y luego la inversa de la transformaciones por columna hechas a B (en orden inverso): ν 21 ( 1) ν 31 ( 1) 0 0 ν 12 (2) ν = Q 0 ν 12 ( 2) ν 32 ( 2) Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de la siguiente matriz: (a) Para hallar la inversa hacemos la reducción por filas hasta llegar a la identidad; la matriz inversa se obtiene realizando las mismas operaciones sobre la matriz identidad. Podemos hacer ambos procesos al mismo tiempo: H 21 ( 1) H ( 1) /2 1/2 1/2 0 H 12( 1) 3/2 1/2 0 1/3 /3 0 H 13 ( 3/2) H 23 (1/2) 1 1/2 1/2 1/3 1/2 1/6 0 1/3 /3 H 2 ( 1/2) H 3 (1/3) 1/2 1/2 0 1/2 1/2 0 1/3 /3 Por tanto: /2 1/ = 1/3 1/2 1/ /3 /3 7. Discutir y, en su caso, resolver, en función del parámetro o parámetros correspondientes, los siguientes sistemas de ecuaciones: ax + y + z = 1 ax + ay = b x + ay + z = a bx + ay = a x + y + az = a 2 abx + aby = 1

3 (a) Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada: A = a a 1 A = a a 1 a 1 1 a a 2 Entonces A = a 3 3a + 2 = (a 1) 2 (a + 2). Por tanto: - Si a 2 y a 1 el rango de A es 3 y coincide con el rango de A y con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. La solución es: x = a 1 a + 2 ; y = 1 (a + 1)2 ; z = a + 2 a + 2. Si a = 2 ó a = 1 estudiamos el rango de la matriz ampliada. En particular: - Si a = 1 vemos que las tres ecuaciones son en realidad la misma. Es decir el rango de A y de A es 1. El sistema es compatible indeterminado. La solución depende de dos parámetros: x = 1 λ µ; y = λ; z = µ - Si a = 2, vemos que el rango de A es 3, ya que el menor formado por las columnas 2, 3, 4 tiene determinante no nulo. Por tanto, como A es en este caso tiene rango 2, el sistema es incomptaible. (b) Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada: A = a b ab a a A = a a b b a a ab ab ab 1 El rango de la matriz A, a lo sumo es 2. El de A puede ser 3 si su determinate no se anula. Veamos cuando ocurre esto. Tenemos que A = a(b a)(b 1)(b + 1). Por tanto: - Si a 0, a b, b 1 y b 1 entonces el determinate de A es 3 y el sistema es incompatible. - Si a = 0, en la última ecuación queda 0 = 1 y por tanto el sistema es incompatible. - Si a = b, a 0, la primera y segunda ecuación coinciden. Tenemos ahora el sistema: { ax + ay = a a 2 x + a 2 y = 1 Ahora la matriz asociada al nuevo sistema tiene rango 1. Será compatible cuando coindida con el de la ampliada; en este caso cuando a 2 = 1. Así si a = 1 o a = 1 el sistema tiene solución dependiente de un parámetro x = 1 λ; y = λ. Mientras que en otro caso el sistema no es compatible.

4 - Si b = 1, a 0, a 1 la primera y tercera ecuación coinciden. Tenemos el sistema: { ax + ay = 1 x + ay = a Ahora el sistema es compatible determinado. La solución es x = 1; y = 1 + a a. - Si b = 1, a 0, a 1, de nuevo la primera y tercera ecuación coinciden. Queda: { ax + ay = 1 x + ay = a El sistema es compatible determinado. La solución es x = a 1 a + 1 ; y = a2 1 a 2 + a

5 ÁLGEBRA Problemas adicionales Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones (Curso ) I. Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz: H 13 1 H 41( 1) H 42 ( 1) 1 H 32( 1) II. Obtener mediante transformaciones elementales el rango, la forma canónica B respecto de la equivalencia y matrices no singulares P y Q que cumplan B = P AQ, siendo A la matriz del problema anterior. Partiendo de la forma reducida equivalente por filas, para calcular la canónica B sólo tenemos que operar por columnas: ν 31( 1) 1 ν Vemos que el rango de la matriz es 2. Para obtener la matriz de paso P, sólo hay que hacer las mismas operaciones por filas que hemos hecho sobre la matriz inicial, pero ahora sobre la matriz identidad I H 13 H 32 ( 1) 0 H 41( 1) 0 H 42( 1) = P Análogamente, para calcular Q hay que hacer las operaciones por columna que que hicimos antes, sobre la identidad. Haciendo esto obtenemos: 1 I ν 31( 1) 0 ν 24 1 = Q

6 III. Obtener la forma canónica de la siguiente matriz respecto de la congruencia sobre el cuerpo IR y sobre el cuerpo IC, así como las matrices de paso: Como es una matriz simétrica, para reducir por congruencia, las operaciones que hagamos por filas las hacemos también a las columnas: A = H 12(1) ν 12(1) H 31( 2) ν 31( 2) H 32 ( 1) ν 32( 1) H 2( 1/ (2)) ν 2( 1/ (2)) = C Esta es la forma canónica por congruencia sobre IR. En este caso coincide con la forma canónica compleja, porque todos los términos de la diagonal son no negativos (1 ó 0). Serían diferente si apareciese algún 1 en la forma canónica en IR. Para calcular la matriz P de paso de manera que A = P CP t, basta hacer las operaciones por fila que le hemos hecho a A sobre la identidad. De esta forma obtenemos: P = 1 / (2) IV. Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de la matriz: Sumamos ahora la primera fila dividida por dos a la segunda; luego la segunda dividida por dos a la tercera y así sucesivamente. Suponiendo que es una matriz n n, queda: / /4 1/ /(2 n 2 ) 1/(2 n 3 ) 1/(2 n 4 )... 1/(2 n 1 ) 1/(2 n 2 ) 1/(2 n 3 )... 1/2 1

7 y ahora dividiendo cada fila por 2: / /4 1/ /8 1/4 1/ /(2 n 1 ) 1/(2 n 2 ) 1/(2 n 3 )... 1/ /(2 n ) 1/(2 n 1 ) 1/(2 n 2 )... 1/4 1/2 V. Discutir y, en su caso, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: y 3z = 5 3x 4y + 6z = 7 2x + 3y z = 7 5x + 2y 4z = 5 4x + 5y 2z = 10 x + 3y 5z = 3 x + y + z = 3 x + y z = 1 x y + z = 1 x y z = 1 x + y + z + t = 2 x + 2y + z 3t = 1 2x + 3y + 2z 2t = 3 Para discutir el sistema calculamos el rango de la matriz asociada y de la matriz ampliada. El sistema tiene solución sólamente si ambos rangos coinciden. Si además este rango coincide con el número de incógnitas la solución es única. En otro caso la solución depende de tantos parámetros como sea la diferencia entre el rango y el número de incógnitas. Una forma de calcular el rango y tratar de resolver el sistema al mismo tiempo, puede ser utilizar la reducción bajo equivalencia por filas. También se puede resolver por la regla de Kramer. (a) La matriz del sistema y su ampliada son: A = A = Vemos que A = 6 0, luego rango(a) = rango(a) = 3, y el sistema tiene solución única (compatible determinado). Lo resolvemos, por ejemplo, por Kramer: x = / A = 1; y = / A = 4; z = / A = 3 (b) Ahora, la matriz del sistema y su ampliada son: A = A =

8 Vemos que A = 0, y además el menor formado por las dos primeras filas y columnas tiene determinante no nulo. Por tanto rango(a) = 2. Sin embargo el rango de A es 3, porque el menor formado por las columnas 1, 2, 4 tiene determinante no nulo. Por tanto el sistema no tiene solución (incompatible). (c) Resolveremos este haciendo la redución por filas. ampliada, distinguiendo los coeficientes: H 13 ( 1) 1 H 43 (2) H 21 ( 1) H 31 ( 1) H 41 ( 1) Trabajamos sobre la matriz H 3( 1/2) H H 12 ( 1) 1 2( 1/2) 0 1 H 42 (2) Vemos que el rango de la matriz del sistema es 3 y coincide con el de la ampliada y con el número de incógnitas (sistema compatible determinado). Además obtenemos que la solución es: x = 1; y = 1; z = 1. (d) De nuevo utilizamos reducción por filas: H 2 21 ( 1) H ( 2) H 12 ( 1) H 32 ( 1) Vemos que el rango de la matriz del sistema es 2 y coincide con el de la matriz ampliada. Sin embargo hay 4 incógnitas. Por tanto la solución depende de 4 2 = 2 parámetros (sistema compatible indeterminado): x = 3 λ 5µ; y = 1 + 4µ; z = λ; t = µ; VI. Discutir y, en su caso, resolver, en función de los parámetros correspondientes, el sistema de ecuaciones: ax + 2z = 2 5x + 2y = 1 x 2y + bz = 3 Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada: A = a A = a x 2 b x 2 b 3

9 Estudiamos los rangos en función de a y b. Tenemos A = 2(12 ab). Luego: - Si ab 12, entonces rango(a) = rango(a) = 3. Coincide con el número de incógintas por lo que el sistema es compatible determinado. Resolviéndolo por Kramer se obtiene: x = 2(b 4) 12 ab ab 10b + 28 ; y = ; z = 24 2ab 4(a 3) 12 ab. Si ab = 12, el rango de A es 2, porque el menor formado por las dos primeras filas y columnas siempre tiene determinante no nulo. El rango de A, sin embargo, puede ser 3, si hay algún menor de orden 3 que tenga determinante nulo. Vemos que esto ocurre exactamente si a 3. Es decir: - Si ab = 12 pero a 3, entonces el sistema es incompatible. - Si a = 3 y b = 4, el sistema es compatible indeterminado. De las dos primeras ecuaciones se obtiene: x = 2(1 λ) ; y = λ ; z = λ. 6 VII. Sean las matrices reales: A = ; B = ; Es posible encontrar una matriz inversible X M 2 2 (IR) tal que AX = B?. Multiplicar la matriz A por la derecha por una matriz inversible X consiste en hacer operaciones elementales columna. Por tanto la cuestión es si A y B son equivalentes por columnas. Tenemos: A ν y por otra parte: B ν 21( 2) ν 21( 2) ν 2(1/5) ν 12(1) 1 1 ν 12( 1) 0 1 ν 2( 1) Luego A y B no son equivalentes por columnas. 1 1 Y una matriz inversible Y M 3 3 (IR) tal que Y A = B?. Razonar las respuestas. Ahora hay que ver si son equivalentes por filas: A = H 13 (2) H 23 (3) H 1 (1/5) H 2 (1/5) H 3 ( 1) 1 2 H 12 ( 1) H 32 (2) 0 0 H

10 y para la otra matriz: B = H 21 (1) H 31 ( 1) Luego vemos que son equivalentes filas. H 12 (2) H 32 ( 1) H 2( 1) 0 0 VIII. Consideramos las matrices reales: ( 1 2 A = 2 1 ) ; B = Calcular los valores de a para los cuales: (a) A y B son equivalentes por filas. 1 a, a IR. a 3 Simplificamos ambas matrices mediante operaciones fila: 1 2 h21 ( 2) 1 2 h2 ( 1/3) 1 2 h12 ( 2) A = y B = 1 a h21 ( a) 1 a a a 2.. Ahora si 3 a 2 = 0, entonces rango(b) = 1 rango(a). Por tanto NO SON EQUIVALENTES POR FILA. Si 3 a 2 0, podemos seguir: 1 a h2 (1/(3 a 2 )) 1 a h12 ( a) 0 3 a 2. Vemos que: - Si a 3, 3 son equivalentes por filas. - Si a = 3, 3 NO son equivalentes por filas. (b) A y B son equivalentes. Dos matrices de la misma dimensión son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango. En este caso rango(a) = 2 y vimos antes que rango(b) = 2 excepto si 3 a 2 = 0. Concluimos que: - Si a 3, 3 son equivalentes. - Si a = 3, 3 NO son equivalentes. (c) A y B son congruentes. Dos matrices simétricas son congruentes si tienen el mismo rango y la misma signatura. De nuevo sabemos que los rangos coinciden si 3 a 2 0. Además, diagonalizando por congruencia tenemos: A = 1 2 h21 ( 2) ν 21( 2)

11 es decir, la signatura de A es (1, 1). Por otra parte, para B y suponiendo que a 3, 3: 1 a h21 ( a) = ν 21( a) a a 2 La signatura de B es (1, 1) si y sólo si 3 a 2 < 0. Concluimos: - Si a < 3 ó a > 3, entonces A y B son congruentes. - Si 3 a 3, entonces A y B NO son congruentes. (d) A y B son semejantes. Dos matrices semejantes tienen la misma traza. Pero traza(a) = = 2 y traza(b) = = 4. Por tanto A y B nunca son semejantes. IX. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (a) Las matrices 1 y 1 0 son equivalentes por filas. FALSO. No pueden ser equivalentes por filas, porque la primera de ellas, a diferencia de la segunda, tiene una columna formada totalmente por ceros, y no se va a modificar en ninguna transfomación elemental por filas. De hecho las respectivas formas reducidas por filas son: 1 H 23 H 12 1 H 21( 1) 0 1 H 23 H 12 1 son equivalentes por columnas. VERDADERO. Vemos que coincide la forma reducida por columnas: 1 ν 23 H 12 1 H 21( 1) 1 H 12 1 H 31( 1) son semejantes. FALSO. Basta tener en cuenta que dos matrices semejantes tienen la misma traza.

12 no son equivalentes. FALSO. Si que son equivalentes. De hecho incluso son equivalentes por columnas, como hemos visto. Además ambas tienen igual rango 2, con lo cual inmediatamente deducimos que son equivalentes. (b) Sea A M n n (IR). Indicar la afirmación falsa: Si A es simétrica y no singular, entonces es congruente con I n. FALSO. Por ejemplo, la matriz: ( ) 0 1 es simétrica y no singular. Sin embargo no es congruente con I 2. La afirmación sería cierta si estudiamos la congruencia en IC. Si A es no singular, entonces es equivalente por columnas a I n. VERDADERO. Toda matriz cuadrada no singular es equivalente tanto por filas como por columnas a la matriz identidad. Todas las matrices de M n n (IR) con el mismo rango que A son equivalentes a A. VERDADERO. Dos matrices de la misma dimensión son equivalentes precisamente si tienen el mismo rango. Si A es semejante a I n entonces A = I n. VERDADERO. Por definición de semejanza, si A es semejante a I n, significa que existe una matriz P regular tal que, P AP 1 = I n. Pero multiplicando a la izquierda por P 1 y a la derecha por P obtenemos: A = P 1 I n P = P 1 P = I n. (c) Sean A, B, C y D matrices regulares n n, tales que la matriz A es semejante a B y C es semejante a D, se cumple que: AC siempre es semejante a BD. FALSO. Ejemplo: A = 2 0 ; B = ; C = ; D = 2 0 ; Pero, entonces AC = 4 0 ; BC = 2 0 ; 0 2 y estas no son semejantes ya que no tienen los mismos autovalores. CA nunca es semejante a DB. FALSO. Ejemplo: A = B = C = D = Id. AC nunca es equivalente a BD. FALSO. Ejemplo A = B = C = D = Id.

13 CA siempre es equivalente a DB. VERDADERO. Dos matrices de dimensión n n regulares siempre son equivalentes. Si A, B, C, D son regulares, entonces también CA ydb lo son. (d) Si dos matrices cuadradas regulares de dimensión 2 2 tienen la misma traza y el mismo determinante, entonces son semejantes. FALSO. Ejemplo: 2 0 ; ; 1 2 son equivalentes. VERDADERO. Dos matrices 2 2 son equivalentes si tienen el mismo rango. Si son regulares automáticamente tienen el mismo rango. son congruentes. FALSO. Nos sirve el mismo ejemplo que en el caso de ser semejantes, porque una es diagonal y la otra no es simétrica y por lo tanto no son congruentes. no tienen porque ser ni equivalentes ni semejantes. FALSO.