Inversa de una matriz

Transcripción

1 Capítulo 2 Álgebra matricial 2.1. Inversa de una matriz Inversa de una matriz Para una matriz cuadrada A n n, la matriz B n n que verifica las condiciones AB = I n y B A=I n se denomina inversa de A, y la notaremos por B = A 1. No todas la matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz con inversa se denomina no singular o regular y una matriz cuadrada sin inversa se llama singular. Aunque no todas las matrices tienen inversa, cuando existe, es única. Supongamos que X 1 y X 2 son inversas de una matriz no singular A. Entonces X 1 = X 1 I = X 1 (AX 2 =(X 1 AX 2 = I X 2 = X 2. 59

2 Ecuaciones matriciales Si A es una matriz no singular, entonces existe una única solución para X en la ecuación matricial A n n X n p = B n p, que es X = A 1 B. Un sistema de n ecuaciones y n incógnitas se puede escribir como una ecuación matricial A n n x n 1 =b n 1. Por lo anterior, si A es no singular, el sistema tiene solución única igual ax= A 1 b. Sin embargo, debemos hacer hincapié en que la representación de la solución como x = A 1 b es conveniente desde el punto de vista teórico o de notación. En la práctica, un sistema no singular Ax=b nunca se resuelve calculando A 1 y entonces el producto A 1 b. Se realizan más operaciones así que aplicando las técnicas de eliminación descritas en el tema anterior. Como no todas las matrices cuadradas tienen inversa, se necesitan métodos para distinguir entre matrices singulares y no singulares. Los más importantes son los que siguen. Existencia de inversa Sea A una matriz cuadrada de orden n. Son equivalentes: 1. A 1 existe (A es no singular. 2. Ax=0 implica quex=0. 3. rango(a = n. 4. A G-J I n. PRUEBA: (1 (2. Si Ax=0, multiplicamos por la izquierda por A 1, que existe por hipótesis, y tenemos quex=0. (2 (3. La hipótesis nos dice que el sistema lineal homogéneo Ax = 0 tiene solución única, que es equivalente a rango(a=n (pág. 50. (3 (4. Si rango(a=n, la forma escalonada reducida por filas E A es una matriz diagonal cuadrada de orden n, con n pivotes. La única forma posible es E A = I n. El recíproco es inmediato. 60 Álgebra Lineal y Geometría

3 (4 (1. Si rango(a = n, entonces cada sistema Ax = I j es compatible, porque rango([a I j ]=n= rango(a. Además, la solución es única, por lo que la ecuación matricial AX = I tiene una única solución. Nos gustaría decir ya que X = A 1, pero nos hace falta primero probar que X A=I. Como A(X A I = AX A A=IA A=O, se sigue que cada columna de X A I es una solución del sistema homogéneo Ax=0. La última condición nos dice que la única solución es la trivial, por lo que todas las columnas de X A I son nulas, esto es, X A I =O, y X A= AX = I. Nota A partir del resultado anterior, podemos analizar lo que ocurre cuando tenemos una inversa lateral de una matriz cuadrada. Supongamos que para una matriz cuadrada A n n existe una matriz X n n con X A = I n. Entonces el sistema Ax = 0 lo podemos multiplicar por X a ambos lados, lo que nos da que X Ax =0, de donde x =0 es la única solución. Entonces, por el teorema anterior, A tiene inversa A 1, de donde (X AA 1 = I A 1, luego X = A 1. Supongamos ahora que existe Y n n tal que AY = I n. Si aplicamos lo anterior a la matriz Y, tenemos que A= Y 1, de donde Y A= Y Y 1 = I n y concluimos que Y = A 1. Aunque evitaremos el cálculo de la inversa de una matriz, hay veces que debemos hacerlo. Para construir un algoritmo que nos devuelva A 1 cuando A n n es no singular, recordemos que determinar A 1 es equivalente a resolver la ecuación matricial AX = I, que es lo mismo que resolver los n sistemas de ecuaciones definidos por Ax= I j, j = 1,2,...,n. En otras palabras, si X 1, X 2,..., X n son las respectivas soluciones, entonces X = ( X 1 X 2... X n resuelve la ecuación AX = I y de aquí X = A 1. Si A es no singular, el método de Gauss-Jordan reduce la matriz ampliada [A I j ] a [I X j ], y sabemos que X j es la única solución de Ax= I j. En otras palabras, [A I j ] Gauss-Jordan [I [A 1 ] j ]. Álgebra Lineal y Geometría 61

4 Pero mejor que resolver cada sistema Ax = I j de forma independiente, podemos resolverlos simultáneamente aprovechando que todos tienen la misma matriz de coeficientes. En otras palabras, si aplicamos Gauss-Jordan a la matriz ampliada [A I 1 I 2... I n ] obtenemos [A I 1 I 2... I n ] Gauss-Jordan [I [A 1 ] 1 [A 1 ] 2... [A 1 ] n ], o de manera más compacta [A I ] Gauss-Jordan [I A 1 ]. Qué ocurre si intentamos invertir una matriz singular con este procedimiento? El resultado anterior nos indica que una matriz singular A no puede ser reducida mediante Gauss-Jordan a la matriz I porque una fila de ceros aparecerá en algún momento en la zona correspondiente a la matriz A. Por ello, no tenemos que saber a priori si la matriz que tenemos es o no singular, pues resultará evidente en el proceso de cálculo. Cálculo de la inversa La eliminación de Gauss-Jordan se puede usar para el cálculo de la inversa de una matriz A mediante la reducción [A I ] Gauss-Jordan [I A 1 ]. La única posibilidad de que este método falle es porque aparezca una fila de ceros en el lado izquierdo de la matriz ampliada, y esto ocurre si y solamente si la matriz A es singular. Ejemplo Calculemos, si existe, la inversa de la matriz A= Álgebra Lineal y Geometría.

5 Aplicamos el método de Gauss-Jordan para obtener [A I ]= Por tanto, la matriz es no singular y A 1 = Propiedades de la inversión de matrices Para matrices no singulares A y B, se verifica que (A 1 1 = A. El producto AB es no singular y (AB 1 = B 1 A 1. (A 1 t = (A t 1 y (A 1 = (A 1. PRUEBA: La primera es inmediata. Las dos partes de la segunda se prueban simultáneamente. Sea X = B 1 A 1. Entonces (ABX = I, y como son matrices cuadradas, tenemos que X = (AB 1. La última propiedad tiene un tratamiento similar. Sea X = (A 1 t, que sabemos que existe (observemos que todavía no podemos garantizar el carácter no singular de A t. Entonces A t X = A t (A 1 t = (A 1 A t = I t = I, de donde A t es no singular y (A t 1 = (A 1 t. La prueba de la segunda parte es similar. Álgebra Lineal y Geometría 63

6 2.2. Matrices elementales y equivalencia Nota OPERACIONES ELEMENTALES POR COLUMNAS. Es evidente que las mismas operaciones elementales por filas descritas en el tema anterior pueden realizarse por columnas. Tenemos entonces tres tipos de operaciones análogas a las operaciones elementales por filas: Tipo I. Intercambiar las columnas i y j. Tipo II. Reemplazar la columna i por un múltiplo no nulo de ella misma. Tipo III. Reemplazar la columna j por la suma de ella misma con un múltiplo de la columna j. Análogamente a lo visto para las filas existen unas matrices especiales llamadas formas escalonadas por columnas y formas escalonadas reducidas por columnas. La trasposición de matrices nos permite definir rápidamente estos conceptos: Una matriz se dice que es una forma escalonada por columnas si su traspuesta es una forma escalonada por filas. Una matriz se dice que es una forma escalonada reducida por columnas si su traspuesta es una forma escalonada reducida por filas. Igualmente se puede comprobar que toda matriz puede ser transformada. mediante operaciones por columnas en una forma escalonada por columnas y en una forma escalonada reducida por columnas. Por último, dos matrices se dicen equivalentes por columnas si puede transformarse una en otra mediante operaciones elementales por columnas. Obsérvese que las operaciones elementales por columnas no transforman la matriz de un sistema lineal en la matriz de otro sistema lineal equivalente. Si A m n es una matriz arbitraria, sabemos que la matriz A t es equivalente por filas a una única forma escalonada reducida por filas, por lo que A es equivalente por columnas a una única forma escalonada reducida por columnas. Nota Sean los vectores columnae i, de orden m 1, que tienen todas sus entradas nulas salvo un 1 en la posición i, con i = 1,...,m. Observemos que la multiplicación de una matriz A m n por un vector columnae j resulta Ae j = A j, la columna j -ésima de la matriz A. Análogamente, si ahorae i es de orden n 1, la multiplicación del traspuesto de éste con la matriz A resultae t i A= A i, la fila i-ésima de la matriz A. La matriz identidad tiene por columnas a estose j y por filas ae t i. 64 Álgebra Lineal y Geometría

7 Vamos a ver que las operaciones elementales que usamos para la eliminación gaussiana pueden interpretarse como productos por ciertas matrices de estructura muy sencilla. Matriz elemental de tipo I Decimos que una matriz cuadrada E i j es elemental de tipo I si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo I. Es decir, si E i j se obtiene de I n al intercambiar las filas i y j. En este caso todas las entradas de la matriz E i j son nulas, salvo [E i j ] kk = 1, para k i, j,[e i j ] i j = 1,[E i j ] j i = 1. Si atendemos a las filas de E observamos que [E i j ] k =e t k si k i, j,[e i j ] i =e t j,[e i j ] j =e t i. Ejemplo Si n= 3, entonces las matrices E 13 = 0 1 0,E 23 = son matrices elementales de tipo I. Propiedades de una matriz elemental de tipo I La multiplicación de una matriz elemental de tipo I a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo I. La multiplicación de una matriz elemental de tipo I a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo I. Si E es una matriz elemental de tipo I entonces E es no singular y su inversa es ella misma. Es decir, E E = I. Álgebra Lineal y Geometría 65

8 PRUEBA: Basta probar el primer punto, pues el segundo, además de ser análogo, se deduce del primero por trasposición de matrices. Sean entonces A m n y E m m la matriz obtenida de la identidad al intercambiar las filas i y j. Vamos a describir la multiplicación E A por filas, es decir, [E A] k = E k A, k = 1,...m. Si k i, j sabemos que E k =e t, de donde calculamos la fila k ésima de E A: k [E A] k = E k A=e t k A= A k, con k i, j. Además E i =e t j y E j =e t. Luego las filas i ésima y j ésima de E A son i [E A] i = E i A=e t j A= A j y [E A] j = E j A=e t i A= A i. Es decir, la matriz E A es la que se obtiene de A al intercambiar las filas i y j. La demostración de la última proposición es consecuencia del resultado anterior. Si E es la matriz que se obtiene de la identidad al intercambiar las filas i y j, el producto a la izquierda de E por ella misma vuelve a intercambiar las filas i y j, obteniendo E E = I. Matriz elemental de tipo II Decimos que una matriz cuadrada E i (α es elemental de tipo II si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo II. Es decir, si E i (α se obtiene de I n al sustituir la fila i por un múltiplo no nulo de ella (α 0. En este caso todas las entradas de la matriz E i (α son nulas, salvo [E i (α] kk = 1, k i,[e i (α] i i =α, conα 0. Si atendemos a las filas de E observamos que [E i (α] k =e t k si k i,[e i (α] i =αe t i conα Álgebra Lineal y Geometría

9 Ejemplo Si n= 3, entonces las matrices E 1 ( 3= son matrices elementales de tipo II.,E 3 ( 1 2 = Propiedades de una matriz elemental de tipo II La multiplicación de una matriz elemental de tipo II a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo II. La multiplicación de una matriz elemental de tipo II a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo II. Si E es una matriz elemental de tipo II entonces E es no singular y su inversa es otra matriz elemental tipo II. PRUEBA: La primera parte es similar a la proposición correspondiente de las matrices elementales de tipo I. Es fácil comprobar que si E es la matriz que se obtiene de la identidad al multiplicar la fila i porα 0 entonces E 1 es la matriz que se obtiene de la identidad al multiplicar por 1/α la fila i. Matriz elemental de tipo III Decimos que una matriz cuadrada E i j (α es elemental de tipo III si se obtiene a partir de la matriz identidad I n mediante una operación elemental por filas de tipo III. Es decir, si E i j (α se obtiene de I n al sustituir la fila i por la suma de ella misma con un múltiplo de la fila j. En este caso todas las entradas de la matriz E i j (α son nulas, salvo [E i j (α] i i = 1 para todo i = 1,...n,[E i j (α] i j =α. Álgebra Lineal y Geometría 67

10 Si atendemos a las filas de E i j (α observamos que [E i j (α] k =e t k si k i,[e i j (α] i =e t i +αet j. Ejemplo Si n= 3, las matrices E 12 ( 4= son matrices elementales de tipo III.,E 31 ( 7= Propiedades de una matriz elemental de tipo III La multiplicación de una matriz elemental de tipo III a la izquierda de una matriz produce en ésta una operación elemental por filas de tipo III. La multiplicación de una matriz elemental de tipo III a la derecha de una matriz produce en ésta una operación elemental por columnas de tipo III. Si E es una matriz elemental de tipo III entonces E es no singular y su inversa es otra matriz elemental tipo III. PRUEBA: La parte correspondiente a multiplicar a la izquierda es sencilla. Al multiplicar por la derecha, el resultado es una transformación de tipo III, pero intercambiando el papel de las columnas correspondientes. Es fácil comprobar que la inversa de E i j (α es E i j ( α. Aunque no hemos hablado de dimensiones, lo anterior es válido para matrices generales de orden m n. 68 Álgebra Lineal y Geometría

11 Ejemplo Consideremos la sucesión de operaciones para reducir A= a su forma escalonada reducida por filas E A. A= F F 2 2F 1 F 3 3F 1 F 1 4F =E A La reducción se puede ver como una sucesión de multiplicaciones a izquierda por la matrices elementales correspondientes A= E A Producto de matrices elementales Una matriz A es no singular si y solamente si A es el producto de matrices elementales de tipos I, II, o III. PRUEBA: Si A es no singular, el método de Gauss-Jordan reduce A a la matriz I mediante operaciones por fila. Si G 1,G 2,...,G k son las correspondientes matrices elementales, entonces G k G 2 G 1 A=I, o bien A= G 1 1 G 1 2 G 1 k. Como la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental, esto prueba que A se puede expresar como producto de matrices elementales. Recíprocamente, si A= E 1 E 2 E k es un producto de matrices elementales, entonces A es no singular, pues es el producto de matrices no singulares. Álgebra Lineal y Geometría 69

12 Ejemplo Expresemos ( 2 3 A= 1 0 como producto de matrices elementales. Mediante la reducción a su forma escalonada reducida por filas, comprobaremos que A es no singular, y la expresaremos como dicho producto. En efecto, A 1 2 F 1 F 2 F F 2 F F 2 ( 1 3/2 1 0 ( 1 3/2 0 3/2 ( 1 3/2 0 1 ( Entonces ( de donde ( ( 2 0 A= 0 1 ( ( 1 3/2 A= 1 0 ( ( ( /2 1 3/2 = /2 ( ( ( /2 1 3/2 0 2 = 3 0 3/2 0 1 ( 1 3 ( ( 1 3/ = ( ( ( ( A=I 2, ( Equivalencia de matrices Cuando una matriz B se obtiene de una matriz A mediante operaciones elementales de filas y columnas, escribiremos A B y diremos que A y B son matrices equivalentes. Otra forma de expresarlo es que A B si y solamente si B = PAQ para matrices no singulares P y Q. 70 Álgebra Lineal y Geometría

13 Ejemplo Las matrices A= y B = son equivalentes porque PAQ = B para las matrices no singulares P = ,Q = Equivalencia por filas y columnas Decimos que dos matrices A,B de la misma dimensión m n son equivalentes por filas si existe una matriz P de orden m no singular tal que PA= B. Lo notamos como A f B. Decimos que dos matrices A,B de la misma dimensión m n son equivalentes por columnas si existe una matriz Q de orden n no singular tal que AQ = B. Lo notamos como A c B. Estas relaciones son de equivalencia. Ejemplo Toda matriz A es equivalente por filas a su forma escalonada reducida por filas E A. La matriz B = es equivalente por columnas a la matriz B = Álgebra Lineal y Geometría 71

14 Relaciones entre filas y columnas Si A f B, entonces las relaciones que existen entre las columnas de A también se tienen entre las columnas de B. Esto es, B k = n α j B j si y solamente si A k = j=1 n α j A j. j=1 Si A c B, entonces las relaciones que existen entre las filas de A también se tienen entre las filas de B. En particular, las relaciones entre columnas en A y E A deben ser las mismas, por lo que las columnas no básicas de A son combinación lineal de las básicas. PRUEBA: Si A f B, entonces PA = B, para una matriz P no singular. Tal como vimos en el producto de matrices, B j = (PA j = PA j. Por tanto, si A k = n j=1 α j A j, la multiplicación a la izquierda por P produce B k = n j=1 α j B j. El recíproco se obtiene con P 1. El resultado para las columnas se deduce inmediatamente a partir de lo anterior aplicado a A t y B t. Nota Sea A m n una matriz de rango r y E una matriz elemental de orden m m. Por la unicidad de la forma escalonada reducida por filas, la aplicación de Gauss-Jordan a A y E A nos lleva a la misma matriz, por lo que rango(a = rango(e A. Entonces, si P es una matriz no singular de orden m m, sabemos que P es producto de matrices elementales, por lo que lo anterior nos dice que rango(p A = rango(a. Podemos extender el resultado anterior para probar la invariancia del rango por el producto de matrices no singulares. 72 Álgebra Lineal y Geometría

15 Invariancia del rango para matrices equivalentes Sea A m n una matriz, y P m m,q n n matrices no singulares. Entonces rango(a = rango(p AQ. PRUEBA: Por la nota anterior, sabemos que rango(a = rango(p A para cualquier matriz no singular P m m. Por tanto, rango(p AQ = rango(aq, y basta probar que rango(aq = rango(a. Podemos transformar la matriz B = AQ, mediante producto por matrices elementales a la izquierda, a la matriz E A Q. Sea r = rango(a. Entonces E A tiene r filas no nulas y m r filas nulas al final. Esto implica que la matriz E A Q tiene m r filas nulas al final, de donde rango(aq=rango(e A Q r = rango(a. Si aplicamos esta conclusión al producto (AQQ 1, obtenemos que rango(a=rango(aqq 1 =rango((aqq 1 rango(aq y concluimos que rango(aq = rango(a Forma normal del rango La forma escalonada reducida por filas E A es lo más lejos que podemos llegar mediante transformaciones por filas. Sin embargo, si permitimos además el uso de transformaciones por columnas, la reducción es mucho mayor. Forma normal de rango Si A es una matriz de orden m n y rango(a=r, entonces ( Ir O A N r = O O N r se denomina forma normal de rango de A.. Álgebra Lineal y Geometría 73

16 PRUEBA: Como A f E A, existe una matriz no singular P tal que PA = E A. Si rango(a=r, entonces las columnas básicas de E A son las r columnas unitarias. Mediante intercambio de columnas aplicados a E A, podemos poner estas r columnas en la parte superior izquierda. Si Q 1 es el producto de las matrices elementales que hacen estos intercambios, entonces ( Ir J PAQ 1 = E A Q 1 = O O Ahora multiplicamos a la derecha ambos lados de esta expresión por la matriz no singular ( Ir J Q 2 =, O I. y nos queda Entonces A N r. PAQ 1 Q 2 = ( Ir O O O. Ejemplo Veamos que ( A O rango O B = rango(a+rango(b. Si rango(a=r y rango(b= s, entonces A N r y B N s, y ( A O O B ( Nr O O N s, de donde ( A O rango O B = r + s. Dadas matrices A y B, cómo decidimos si A B, A f B o A c B? 74 Álgebra Lineal y Geometría

17 Test de equivalencia Sean A y B matrices de orden m n. Entonces A B si y solamente si rango(a=rango(b. A f B si y solamente si E A = E B. A c B si y solamente si E A t = E B t. En consecuencia, el producto por matrices no singulares no altera el rango. PRUEBA: Si rango(a=rango(b, entonces A N r y B N r, de donde A N r B. Recíprocamente, si A B, entonces B = PAQ con P y Q no singulares, de donde rango(b = rango(a. Supongamos ahora que A f B. Como B f E B, entonces A f E B, y dado que la forma escalonada reducida por filas es única, se sigue que E B = E A. Recíprocamente, si E A = E B, entonces A f E A = E B f B. Para las columnas, basta considerar que A c B si y solamente si A t f B t. Rango y trasposición rango(a=rango(a t y rango(a=rango(a. PRUEBA: Sea rango(a = r, y sean P y Q matrices no singulares tales que ( I r O r (n r PAQ = N r =. O (m r r O (m r (n r Entonces Nr t = Q t A t P t. Como Q t y P t son no singulares, se sigue que A t Nr t, y entonces ( rango(a t =rango(nr t =rango I r O r (m r = r = rango(a. O (n r r O (n r (m r Álgebra Lineal y Geometría 75

18 De forma análoga, Nr Como = Q A P, donde Q,P son matrices no singulares. N r = ( I r O r (m r O (n r r O (n r (m r se tiene que rango(nr =r, y como rango(a =rango(nr por equivalencia de matrices, tenemos que rango(a =r = rango(a., 2.4. * Producto directo de matrices Producto directo o de Kronecker Sean A m n,b p q matrices. El producto directo o de Kronecker de A y B es la matriz C mp nq definida como C = A B = a i j B,i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n. Ejemplo El producto de Kronecker de las matrices ( 1 2 A= 3 4,B = es A B = y B A= Álgebra Lineal y Geometría

19 Propiedades del producto de Kronecker 1. Sean A y B matrices del mismo tamaño. Entonces (A+ B C = A C + B C y C (A+ B= C A+C B. 2. Si A,C y B,D son parejas de matrices ajustadas para el producto, entonces (A B(C D= AC BD. 3. Si A y B son matrices no singulares, entonces (A B 1 = A 1 B (A B t = A t B t. Álgebra Lineal y Geometría 77

20 78 Álgebra Lineal y Geometría