c-inversa o inversa generalizada de Rao

Transcripción

1 c-inversa o inversa generalizada de Rao Definición.- Sea A m n. Se dice que una matriz A c de orden n m es una c-inversa o inversa generalizada en el sentido de Rao si y sólo si se verifica AA c A = A. Teorema.- Sea A m n con m n y rg(a = r m. Entonces la c-inversa de A siempre existe y no es única. Demostración Consideremos distintas situaciones: 1. Si rg(a = m entonces podemos, sin pérdida de generalidad, particionar A en la forma A = (A 1 A 2 donde A 1 es una matriz cuadrada de orden m tal que A 1 = 0. Así es inmediato comprobar que la matriz ( A A c = (n m m es una c-inversa para A. 2. Sea ahora rg(a = r < m y consideremos la siguiente partición en bloques A11 A A = 12 A 21 A 22 donde A 11 es una matriz cuadrada de orden r y no singular. Consideremos A 1 A c = 11 0 r (m r. 0 (n r r 0 (n r (m r Entonces A11 A AA c A = 12 A 21 A 21 A 1 11 A 12.

2 Ahora bien, como rg(a = r, entonces debe existir P (m r r tal que (A 21 A 22 = P(A 11 A 12, de donde A 21 = PA 11 P = A 21 A 1 11 A 22 = PA 12 A 22 = A 21 A 1 11 A 12 con lo cual AA c A = A y así A c es c-inversa para A. 3. En el caso general, si A 11 es singular, entonces, puesto que el rango de A es r, deben existir matrices de permutación (y por lo tanto ortogonales R y S tales que B11 B RAS = B = 12 B 21 B 22 y tal que B 11 sea no singular. Por el apartado anterior, B 1 B c = 11 0 r (m r 0 (n r r 0 (n r (m r es una c-inversa para B. Por lo tanto podemos comprobar que A c = SB c R es una c-inversa para A. En efecto, como R y S son ortogonales se tiene que A = R BS y con ello AA c A = R BS SB c RR BS = R BB c BS = R BS = A. Para comprobar la no unicidad sea B n m. Entonces, tomando C = A c + B A c ABAA c se tiene ACA = A(A c + B A c ABAA c A = AA c A + ABA AA c ABAA c A = A + ABA ABA = A

3 por lo que C también es una c-inversa para A. Además, si C es una c-inversa para A, debe ser necesariamente de la forma anterior con B = C A c. En efecto, A c + C A c A c A(C A c AA c = A c + C A c A c ACAA c + A c AA c AA c = A c + C A c A c AA c + A c AA c = C. El teorema anterior es constructivo en el sentido de que nos proporciona una forma para calcular la c-inversa de Rao. No obstante en la práctica conviene tener algún procedimiento más mecánico que permita un cálculo más sencillo. El siguiente algoritmo (que puede ser consultado en Searle, 1971 puede ser de bastante utilidad. Encontrar en A un menor de orden r, que llamaremos M. Invertir M y transponerla. Reemplazar en A cada elemento de M por el correspondiente de (M 1. Reemplazar los elementos restantes de A por ceros. Transponer la matriz resultante. Dicha matriz será una c-inversa para A.

4 Ejemplos de cálculo de c-inversas Ejemplo 1 ( Sea A = ( se tiene A c = ( 0 1/ /2 1 A c = Ejemplo 2. Considerando el menor M =, mientras que tomando M = ( ( Sea N = N N I y consideremos la matriz (I + 1 (I + 1- dimensional N N 1 N 2... N I N 1 N X = N 2 0 N N I N I Esta matriz es de rango I y por lo tanto singular. El menor de orden I que tomaremos será cuya inversa es resultando así M = M 1 = X c = N N N I 1/N /N /N I /N /N /N I,,

5 g-inversa o inversa generalizada de Moore-Penrose Definición.- Sea A m n. Se dice que una matriz A g de orden n m es la g-inversa o inversa generalizada de Moore- Penrose si y sólo si se verifica AA g A = A, A g AA g = A g y además tanto AA g como A g A son simétricas. Teorema.- Sea A m n. Entonces la g-inversa existe y es única. Demostración Evidentemente, si A = 0 entonces A g = 0. En el caso en que rg(a = r > 0 sabemos que existen dos matrices C 1 y C 2 de dimensiones respectivas m r y r n y de rango r tales que A = C 1 C 2. Entonces A g = C 2 (C 2C 2 1 (C 1 C 1 1 C 1 es una g-inversa para A (comprobar los cuatro apartados de la definición. Para ver la unicidad supongamos que tenemos dos g- inversas, A g y B g. Entonces AA g A = A por lo que AA g AB g = AB g y B g AA g A = B g A. Ahora bien AB g = (AB g = (AA g AB g = (AB g (AA g = AB g AA g = AA g. B g A = (B g A = (B g AA g A = (A g A (B g A = A g AB g A = A g A. Por lo tanto B g = B g AB g = A g AB g = A g AA g = A g y ello prueba la unicidad.

6 El resultado siguiente nos proporciona una forma algo más fácil para calcular la g-inversa, sobre todo en algunas situaciones concretas. Teorema.- Sea A m n. Entonces 1. Si m n y rg(a = n, A g = (A A 1 A y A g A = I n. 2. Si m n y rg(a = m, A g = A (AA 1 y AA g = I m. 3. Si rg(a = r Min{m, n}, A g = C g B g, donde B g y C g son las g-inversas de las matrices, de rango r, B m r y C r n tales que A = BC. Demostración 1. Como rg(a = n entonces A A tiene rango n y existe su inversa. Basta comprobar que A g verifica las condiciones de g-inversa: AA g A = A(A A 1 A A = A. A g AA g = (A A 1 A A(A A 1 A = (A A 1 A = A g. AA g = A(A A 1 A, que es simétrica. A g A = (A A 1 A A = I n. 2. Se demuestra de forma similar al apartado anterior. 3. Por los apartados anteriores se tiene B g = (B B 1 B y C g = C (CC 1 y a partir de ahí se verifica A g = C (CC 1 (B B 1 B. Dicha matriz es la g-inversa de A sin más que tener en cuenta la demostración del teorema anterior.

7 El siguiente resultado facilita el cálculo de la g-inversa en el caso de matrices simétricas. Teorema.- Sea A n n una matriz simétrica de rango r n. Sea D r una matriz diagonal de orden r cuyos elementos no nulos son los autovalores de A distintos de cero y sea P r una matriz de orden n r cuyas columnas son los autovectores unitarios y ortogonales dos a dos de A correspondientes a sus autovalores no nulos. Entonces A g = P r D 1 r P r. Demostración Por ser A real y( simétrica, existe una matriz P ortogonal Dr 0 tal que A = P P 0 0. Escribamos P = (P r P n r, de donde A = P r D r P r. Ahora bien 1. AA g A = P r D r P rp r D 1 r P rp r D r P r = P rd r P r = A. 2. A g AA g = P r D 1 r 3. AA g = P r D r P rp r D 1 r P r = I n. 4. A g A = P r D 1 r P rp r D r P r = I n. P rp r D r P rp r D 1 r P r = P rd 1 r P r = A g.

8 Ejemplos de cálculo de g-inversas Sea C =, de rango 2. CC =, 1 2 (CC 1 = 1 2 1, de donde se verifica que C g = C (CC 1 = Sea A = que puede expresarse como A = BC, con B y C lasmatrices anteriores. Así se verifica A g = C g B g = Sea E = Los autovalores son λ 1 = , λ 2 = 2, λ 3 = 4. Los autovectores asociados a los autovalores no nulos son v 2 = (1/ 2, 1/ 2, 0 y v 3 = (1/ 2, 1/ 2, 0. P r = D r = ( Así E g = P r D 1 r P r = 1 8 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 0,

9 Método basado en el teorema de Cayley-Hamilton La inversa viene dada por A g = TA, donde la matriz T se calcula como sigue (ver Searle, 1971: Consideremos la matriz A A que, evidentemente, es cuadrada. Por el Teorema de Cayley-Hamilton debe existir un entero t y unos escalares λ 1,..., λ t (no todos nulos tales que λ 1 (A A + λ 2 (A A λ t (A A t = 0. Si λ r es el primer escalar de la expresión anterior que es no nulo, entonces la matriz T viene dada por T = 1 λ r [ λr+1 I n + λ r+2 (A A λ t (A A t r 1]. Veamos un ejemplo. Sea la matriz X = de donde X X = El polinomio característico asociado a dicha matriz es p(λ = λ λ 2 66λ, por lo que, aplicando el Teorema de Cayley-Hamilton se verificará 66(X X 17(X X 2 + (X X 3 = 0 y con ello la matriz T será T = 1 ( 17I3 + X X = y con ello X g = TX =

10 Propiedades de las g-inversas Teorema.- Sea A m n y A g su g-inversa. Entonces 1. Si k 0 entonces (ka g = 1 k A g. 2. (A g g = A. 3. A = 0 A g = (A g = A g. 5. Si m = n, A g = A 1 siempre y cuando A sea no singular. 6. rg(a = rg(a g = rg(aa g = rg(a g A. 7. Si A es simétrica e idempotente, entonces A g = A. 8. (A A g = A g A g ; (AA g = A ga g ; (AA g g = AA g ; A g = (A A g A = A (AA g. 9. Si A es simétrica, entonces (A 2 g = (A g Para cualquier B r s y si B g es su g-inversa, entonces (A B g = A g B g. 11. A g A, AA g, I n A g A e I m AA g son simétricas e idempotentes. 12. (I m AA g A = 0; (I m AA g AA g = AA g (I m AA g = 0; A g (I m AA g = 0; (I n A g AA g A = A g A(I n A g A = 0.

11 B 0 Bg Si A =, entonces A 0 C g =, con 0 C g B g y C g las g-inversas de B y C respectivamente. 14. Si A = ( B C, con BC = 0, entonces A g = (B g C g. 15. Si A = DE donde D y E son diagonales con g-inversas D g y E g, entonces A g = E g D g. 16. Si P m m y Q n n son ortogonales, entonces (PAQ g = Q A g P. 17. A g B = 0 A B = AB = 0 B g A g = 0.

12 Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones Teorema.- Sea A m n y Ax = b un sistema de ecuaciones. 1. Ax = b es compatible si y sólo sí AA c b = b, para alguna c-inversa de A. 2. Si Ax = b es compatible, entonces x 0 = A c b + (I n A c Az es una solución del sistema, z R n. Recíprocamente, si x 0 es una solución del sistema, entonces existe un vector z R n tal que x 0 puede escribirse de la forma anterior. 3. Si Ax = b es compatible, entonces la solución es única si y sólo sí A g A = I n. Demostración 1. Si AA c b = b, el sistema es compatible con x 0 = A c b. Recíprocamente, si x 0 es una solución, Ax 0 = b de donde AA c Ax 0 = AA c b y con ello Ax 0 = b = AA c b. 2. Como el sistema es compatible, entonces AA c b = b. Ahora bien, z R n se tiene A [A c b + (I n A c Az] = AA c b + A(I n A c Az = AA c b + (A AA c Az = AA c b = b. Recíprocamente, si x 0 es una solución entonces Ax 0 = b, de donde A c Ax 0 = A c b y con ello x 0 = A c b + x 0 A c Ax 0 = A c b + (I n A c A x 0 y basta tomar z = x 0.

13 3. Si la solución es única, m n y rg(a = n. Por lo tanto A g = (A A 1 A y A g A = I n. Recíprocamente, como el sistema es compatible se tiene, razonando igual que en los dos primeros apartados, x 0 = A g b + (I n A g Az, z R n y como A g es única y A g A = I n, entonces la solución es única y es x = A g b. Ejemplo.- Sea el sistema de ecuaciones Ax = y en forma desarrollada x x x = x 4 2 Por el método de Rao podemos encontrar que una inversa generalizada para A es A c = con lo que la solución general del sistema es, para z = (z 1, z 2, z 3, z 4 arbitrario, = x = A c y + (I 4 A c Az = I = 6 + z z 4 8 2z 3 47z 4 z 3 z 4. z 1 z 2 z 3 z 4