6.7. Clasificación de formas cuadráticas

Transcripción

1 6.7 Clasificación de s s 1.1. Definición de s s en R n El concepto básico que sirve para definir una es el de polinomio homogéneo de segundo grado en varias variables. En toda esta sección sobreentenderemos que los coeficientes de esos polinomios son números reales y por tanto hablaremos solamente de s s reales. Por ejemplo, el polinomio x 2 + y 2 define una en las dos variables x, y. La definida por dicho polinomio es la función q : R 2 R que a cada vector x = (x, y) de R 2 le asigna el número real q(x) = x 2 + y 2. Formalmente: Una es una función q : R n R definida mediante un polinomio homogéneo de segundo grado en las n coordenadas de los vectores de R n. Otra de definir una es mediante una matriz cuadrada real, A, como q(x) = x T Ax. Si se desarrolla este producto de matrices se comprobará que el resultado es un polinomio homogéneo de segundo grado en las coordenadas de x. Recíprocamente, cualquier polinomio homogéneo de segundo grado en n variables se puede expresar en la x T Ax donde A es una matriz n n y x R n. Por tanto, una en R n también se puede definir así: DEFINICIÓN Una es una función q : R n R definida mediante q(x) = x T A x para alguna matriz cuadrada A. Según esta definición a toda matriz real n n, A, le corresponde una en R n : la asociada a A es la función q A : R n R, definida por: q A (x) = x T A x. definición l de. la asociada a A 1 Ejercicio de tarea. Escribir el polinomio homogéneo correspondiente a las s s en R 3 definidas por las matrices: 1 0 0, 1 0 0, , , Propiedades de las s s Es fácil escribir el polinomio homogéneo de la definida por una matriz cuadrada, pero si se plantea el problema inverso habrá en general muchas soluciones porque, por ejemplo, una matriz y su traspuesta determinan el mismo polinomio. Esta es la primera propiedad de las s s. Además, la correspondencia entre matrices y s s es lineal, de que se cumplen las siguientes propiedades: 1 Versión de 11 de diciembre de 2016, 13:42 h.

2 1.3 Clasificación de s s (a) q A T = q A. Esto es: para todo x R n se cumple x T A T x = x T A x. (b) q λa = λq A. Esto es: para todo x R n se cumple x T (λa)x = λ(x T A x). (c) q A+B = q A + q B. Esto es: para todo x R n se cumple x T (A + B)x = (x T A x) + (x T B x). Parte simétrica y parte antisimétrica de una matriz Sea A una matriz cuadrada cualquiera y supongamos que B y C son dos matrices con las siguientes propiedades: (a) B es una matriz simétrica (es decir B T = B). (b) C es una matriz antisimétrica (es decir C T = C). (c) A = B + C. Entonces, por las propiedades de la matriz traspuesta, A T = B T + C T = B C y en consecuencia A + A T = 2B y A A T = 2C. De lo anterior se deduce que toda matriz cuadrada admite una descomposición única como suma de una matriz simétrica (llamada la parte simétrica de A y denotada A + ) y una matriz antisimétrica (llamada la parte antisimétrica de A y denotada A ): siendo A + = A + AT 2 A = A + + A, A = A AT. 2 Teniendo en cuenta esta descomposición y las tres propiedades de las s s, se deduce que la asociada a cualquier matriz (cuadrada) es la misma que la asociada a la parte simétrica de esa matriz y por tanto la definida por una matriz está completamente determinada por la parte simétrica de la matriz. Por otra parte, la asociada a cualquier matriz antisimétrica es la nula: (a) q A+ = q A. (b) q A = 0. PROPOSICIÓN Dos matrices cuadradas definen la misma si y sólo si ambas tienen la misma parte simétrica Clasificación de s s El prototipo de es la función cuadrado de la norma asociada a un producto interior: q(x) = x 2 = x, x El caso más conocido es el de la norma euclídea definida por el producto escalar de R n, que es precisamente la definida por la matriz identidad: q(x) = x 2 = x x2 n = x x = x T x = x T Ix. 2

3 1.3 Clasificación de s s Debido a esto, parte del interés del estudio de las s s proviene de la cuestión de en qué medida una puede servir para definir una norma o medida de la longitud de los vectores del espacio en el que está definida. Por ello, la primera clasificación de las s s se hace pensando hasta qué punto q(x) puede servir para definir (el cuadrado de) una norma de x. Así, lo primero que nos preguntamos de una es si cumple la propiedad: q(x) > 0 para todo x = 0. Una con esta propiedad se llama una definida positiva. Hablando estrictamente, las propiedades de ser positiva y de ser definida son dos propiedades independientes. Se dice que una q(x) es definida si todos los valores de q(x) para x = 0 (son distintos de cero y) tienen el mismo signo. Por el contrario, si para algunos vectores es q(x) positivo y para otros negativo, es decir, si existe algún vector x tal que q(x) > 0 y existe algún vector y tal que q(y) < 0 entonces se dice que q(x) es indefinida. Una versión débil de la propiedad de ser definida es que todos los valores no nulos de q(x) tengan el mismo signo. Una que cumple esto se llama una semidefinida. En este caso se admite la posibilidad de que pueda ser q(x) = 0 sin ser x el vector cero. Cuando esto ocurre se dice que la es degenerada. Así, q(x) es una degenerada si existe x = 0 tal que q(x) = 0. En caso contrario (q(x) = 0 sólo si x = 0) q es no degenerada. Entonces, una es definida positiva si y sólo si es semidefinida positiva y no degenerada. definida positiva. definida indefinida semidefinida degenerada Ejemplo de clasificación de una dada El problema de clasificar una es trivial si la está definida mediante un polinomio que no tiene términos cruzados, es decir, que no tiene términos en los que aparezca el producto de dos variables distintas. Por ejemplo, la de R 3 3x x2 2 5x2 3 no tiene términos cruzados (que en este caso serían los de la x 1 x 2, x 1 x 3 o x 2 x 3 ). Sólo tiene términos que contienen cuadrados de las variables. En estos casos sólo hay que mirar los signos de los coeficientes para saber si es definida positiva o no: Si todos los signos de los coeficientes son positivos la es definida positiva. Si hay los dos tipos de signos es indefinida. En el ejemplo es indefinida. Si una está dada mediante su matriz simétrica, el que no tenga términos cruzados es equivalente a que la matriz sea diagonal. En este caso, para clasificarla basta mirar los signos de los elementos de la diagonal. El problema de la clasificación se complica cuando en la aparecen términos cruzados (matriz no diagonal), los cuales pueden dificultar la clasificación. Por ejemplo, en las siguientes s s de R 3, x 2 1 2x 1x 2 + x x2 3, 2x2 1 4x 1x 2 + 3x x 2x 3, (1) es difícil decir a simple vista si hay algún vector no nulo x = (x 1, x 2, x 3 ) en el que se anulen o en el que tomen un valor negativo. Observando con atención la primera de ellas se puede ver que se puede reescribir en la x 2 1 2x 1x 2 + x x2 3 = (x 1 x 2 ) 2 + 3x 2 3 = y y2 3, (2) donde y 1 = x 1 x 2, y 2 = x 2, y 3 = x 3. Entonces resulta claro que la es semidefinida positiva y que además es degenerada porque se anula en los vectores de la (x 1, x 1, 0). Sin embargo, para la segunda de las (1) no resulta tan sencillo decir si es definida o no o si es degenerada o no. 3

4 1.4. Clasificación por diagonalización Sería sencillo clasificar una q(x) = x T Ax definida por una matriz A si se pudiese reescribir q(x) como un polinomio de segundo grado sin términos cruzados como en (2). Esto se conoce como diagonalización de la ya que es equivalente a hallar una matriz diagonal D = diag(d 1,..., d n ) y una matriz inversible P tales que A = PDP T. Por supuesto, esto requiere que A sea la matriz simétrica de la. Una descomposición de A de este tipo hace que el cambio de variable y = P T x nos permita escribir q(x) = x T Ax = x T PDP T x = (P T x) T DP T x = y T Dy = d 1 y d ny 2 n. Por ejemplo, escribir la ecuación (2) es equivalente a dar la siguiente descomposición de la matriz que define la : = Es muy importante que la matriz P sea inversible para que el cambio y = P T x se pueda deshacer : x = ( P T) 1 y. Esto garantizará que las dos s s x T Ax e y T Dy tomen los mismos valores porque para cada x existirá un y tal que y T Ay = x T Dx y para cada y existirá un x tal que x T Ax = y T Dy. Al tomar los mismos valores, las dos s s son del mismo tipo. Hay varias s de hallar una diagonalización de una. Las más importantes son la diagonalización ortogonal y la diagonalización por congruencia que veremos a continuación. Clasificación mediante la diagonalización ortogonal Dado que toda matriz simétrica admite una diagonalización ortogonal y toda q está definida por una matriz simétrica, toda q(x) = x T Ax (A T = A) se puede diagonalizar, A = PDP T, con una P que sea una matriz ortogonal. Supongamos que se ha hallado una diagonalización ortogonal de A, A = PDP T. Entonces el cambio de variable y = P T x nos permite reescribir la como un polinomio de segundo grado sin términos cruzados: q(x) = x T A x = x T (PDP T )x = (x T P)D(P T x) = (P T x) T D(P T x) = y T Dy donde p(y) = y T Dy es una nueva cuyo polinomio no tiene términos cruzados ya que al estar definida por una matriz diagonal D = diag(d 1,..., d n ), p(y) = y T Dy = λ 1 y λ ny 2 n. Este resultado se conoce como el teorema de los ejes principales: TEOREMA Teorema de los ejes principales Para toda matriz real simétrica A n n existe una matriz ortogonal P tal que el cambio de variable x = Py trans la x T Ax en una diagonal y T Dy. Los subespacios unidimensionales de R n determinados por las columnas de A se conocen como los ejes principales de la x T Ax. 4

5 Dado que toda matriz inversible P es la matriz de cambio de base de la base da por sus columnas a la base canónica y P T es la inversa de P, el vector y = P T x es el vector de coordenadas de x relativas a la base de R n da por las columnas de P. Así, llegamos a la conclusión de que la clase a la que pertenece una está determinada por los signos de los autovalores de la matriz simétrica que la define. Y, para cualquier matriz simétrica A, tenemos: (a) Si todos los autovalores de A son no negativos, la q A es semidefinida positiva. Si, además, todos son positivos es definida positiva. (b) Si ningún autovalor de A es positivo, la q A es semidefinida negativa. Si, además, todos son negativos es definida negativa. (c) Si algún autovalor de A es positivo y algún otro autovalor de A es negativo, entonces la q A es indefinida. (d) Si algún autovalor de A es cero, la q A es degenerada. Si ninguno es cero, es no degenerada. Clasificación mediante diagonalización por congruencia La diagonalización ortogonal de una matriz simétrica A puede requerir gran cantidad de cálculos. Afortunadamente, existe otra de diagonalizar una. Si partimos de la matriz simétrica, A, de q(x), se puede realizar de muy sencilla una diagonalización de q(x) realizando operaciones elementales de filas y columnas sobre la matriz A siempre que cada operación elemental realizada sobre las filas vaya seguida de la misma operación elemental realizada sobre las columnas. Al proceder de esta, en cada paso (doble) de realizar una operación elemental sobre las filas y acto seguido la misma operación sobre las columnas, se conserva la simetría de la matriz. Así, al llegar a una escalonada, habremos obtenido en realidad una diagonal D que cumple A = PDP T. Este método se conoce como diagonalización de una por congruencia. Pero cuidado! Ni lo que se obtiene así es una diagonalización de A en el sentido de los autovalores y autovectores ni los elementos de la diagonal de D tienen porqué ser autovalores de A. Lo único que los elementos de la diagonal de D comparten con los autovalores de D es el hecho de que alguno sea cero, que alguno sea positivo y que alguno sea negativo; es decir las características de la clasificación de la. Ejemplo: Supongamos que nos piden clasificar la siguiente en R 3 : 2x 2 1 4x 1x 2 + 3x x 2x 3. Primeramente escribimos su matriz simétrica: A = Esto se consigue poniendo en la diagonal los coeficientes de x1 2, x2 2 y x2 3, y luego en cada posición (i, j) con i = j la mitad del coeficiente de x i x j. Ahora realizamos una operación elemental de filas encaminada a escalonar la matriz A e inmediatamente realizamos la misma operación sobre las columnas: F 2+F C 2+C

6 Repitiendo la misma estrategia con la matriz resultante, F 3 F C 3 C , procediendo de esta acabamos obteniendo una matriz diagonal. En nuestro caso, la matriz diagonal obtenida significa que nuestra se puede escribir de la : 2x 2 1 4x 1x 2 + 3x x 2x 3 = 2y y2 2 y2 3 donde y 1, y 2, y 3 son las coordenadas de un vector y que está relacionado con x mediante una ecuación de la y = P T x donde P es una matriz inversible. En consecuencia, viendo los signos de los nuevos coeficientes deducimos que la dada es una indefinida. Si queremos hacer explícita la relación entre x e y (es decir, entre las variables x 1, x 2, x 3 y las y 1, y 2, y 3 ), no hay más que tener en cuenta que P T es justamente el producto de las inversas de las matrices elementales correspondientes a las operaciones de columnas que hemos realizado en el proceso anterior, es decir: P T = E C3 +C 2 E C2 C 1 = = (no hace falta multiplicar matrices para obtener el resultado, sólo hay que realizar la operación C 2 C 1 sobre la matriz E C3 +C 2 ). Entonces, de la ecuación y = P T x obtenemos: y 1 y 2 = x 1 = x 1 x 2 y y por tanto: x 2 x 3 x 2 + x 3 x 3 2y y2 2 y2 3 = 2(x 1 x 2 ) 2 + (x 2 + x 3 ) 2 x 2 3. Expandiendo la última expresión y comparando con la expresión original nos puede servir de comprobación de que no nos hemos equivocado en los cálculos. Otro método de clasificación Si la matriz (simétrica) A de la es diagonal o si se conocen sus autovalores, podemos clasificarla sin dificultad. Sin embargo, no es necesario conocer los autovalores de A; basta con conocer sus signos. Y los signos de los autovalores se pueden deducir de los signos de los menores principales de A porque éstos son iguales que los signos de los menores principales de D. En consecuencia tenemos el siguiente método de clasificación cuya aplicación es excesivamente engorrosa para dimensiones altas, pero que tiene cierta utilidad práctica en el caso de s s de dos o tres variables: TEOREMA Clasificación de s s por los signos de los menores principales Sea A una matriz simétrica, sean m 1,..., m n los valores de sus menores principales y sea q la definida por A, q(x) = x T Ax. (a) Si todos los signos de los m 1,..., m n son positivos la q A es definida positiva. (b) Si el signo de m 1 es negativo y los demás van alternando (m 2 positivo, m 3 negativo, etc.), la q A es definida negativa. (c) Si algún m i es cero, la q A es degenerada. Si ninguno es cero, es no degenerada. 6

7 Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1. 7