6.6. Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas. Ejemplo de una diagonalización de una matriz simétrica

Transcripción

1 6.6 Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas Ejemplo de una diagonalización de una matriz simétrica Matrices hermitianas Los autovalores de las matrices reales simétricas o complejas hermitianas son reales Existe una fórmula que nos permite calcular el autovalor correspondiente a cualquier vector propio de una matriz. Si x un vector propio de una matriz A real o compleja, entonces la fórmula x Ax = x λ x = λ x, x = λ x implica que el autovalor de x es: λ = x Ax x. Esta fórmula tiene una consecuencia especial si A es una matriz hermitiana. Se llama matriz hermitiana a toda matriz A real o compleja que es igual a su traspuesta conjugada: A = A. Definición de matriz hermitiana Esta propiedad es equivalente a A = A T y en el caso de que A sea real simplemente significa que A es igual a su traspuesta, es decir, que es simétrica: las matrices hermitianas reales son exactamente las matrices reales simétricas. Supongamos que A es una matriz hermitiana. Entonces A = A T y con un simple cálculo se comprueba que el numerador en es necesariamente real porque su conjugado es él mismo: x Ax = x A x = x T A T x = x T A T x T A = A T por ser hermitiana. un número, como matriz, es simétrica. = x T A T T x T T = x Ax. De esto se deduce que λ es un número real y por tanto llegamos a la siguiente conclusión: TEOREMA 6.6. Para cualquier matriz compleja hermitiana o real simétrica de tamaño n n sus n autovalores son reales. Matrices ortogonalmente diagonalizables Se dice que una matriz real A es ortogonalmente diagonalizable si existe una diagonalización A = QDQ donde la matriz Q de autovectores es una matriz ortogonal, es decir Q = Q T. Esto es lo mismo que decir que A admite un sistema ortonormal de vectores propios. Versión de de diciembre de 06, :05 h.

2 Toda matriz real ortogonalmente diagonalizable es simétrica porque Si A = QDQ T entonces A T = QDQ T T = Q T T D T Q T = QDQ T = A. La situación análoga en el caso complejo y que engloba a la anterior del caso real es la de una matriz unitariamente diagonalizable. Una matriz compleja tiene esta propiedad si admite una diagonalización A = UDU en la que U es una matriz unitaria, es decir que cumple U = U. Un razonamiento similar al anterior demuestra que toda matriz unitariamente diagonalizable es hermitiana. Supongamos que A es una matriz hermitiana y que x es un vector propio de A con autovalor λ y x es otro vector propio con autovalor λ, es decir: Ax = λ x, x = 0 Ax = λ x, x = 0. Entonces si el producto escalar de x y x se multiplica por λ el resultado es el mismo que si se multiplica por λ : λ x, x = λ x, x = Ax, x = x Ax = x A x = Ax x = x, Ax = x, λ x = λ x, x = λ x, x. donde hemos tenido en cuenta que λ = λ porque los autovalores de una matriz hermitiana son reales. En consecuencia, si λ = λ entonces x, x = 0, es decir: Para cualquier matriz hermitiana, los vectores propios correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales. Y también: Para cualquier matriz hermitiana, los espacios propios correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales: Si λ = λ, entonces E λ E λ. En particular esto es cierto para cualquier matriz hermitiana real, es decir para cualquier matriz real simétrica. Corolario: Para toda matriz A hermitiana n n que sea diagonalizable existe una base ortogonal de C n formada por vectores propios de A. Y, en particular, Para toda matriz A real simétrica n n que sea diagonalizable existe una base ortogonal de R n formada por vectores propios de A. Si existe una base ortogonal de R n o de C n en el caso no real formada por vectores propios de A, podemos normalizar cada vector de esa base y obtener una base ortonormal. Entonces, la matriz de diagonalización correspondiente es una matriz en la que el producto escalar de dos columnas cualesquiera es cero si son distintas y si son la misma. Esto significa que en esa diagonalización de A, A = UD U U verifica U U = I lo que en el caso real significa: U T U = I. Toda matriz que cumpla esta propiedad se llama una matriz unitaria evidentemente, las matrices unitarias reales son lo mismo que las matrices ortogonales que ya encontramos en el tema anterior.

3 Toda matriz que admita una diagonalización mediante una matriz unitaria se dice que es unitariamente diagonalizable. Así, el corolario anterior es equivalente a decir que toda matriz hermitiana diagonalizable es unitariamente diagonalizable. Y en el caso de las matrices reales: toda matriz real simétrica diagonalizable es ortogonalmente diagonalizable. El teorema de Schur Los resultados anteriores los hemos demostrado con razonamientos muy sencillos y observaciones muy simples. En realidad se puede demostrar mucho más con algo más de esfuerzo: lo verdaderamente sorprendente de las matrices hermitianas/reales simétricas es que en los anteriores resultados y, en particular, en los del último párrafo sobra la hipótesis de que la matriz sea diagonalizable, pues toda matriz hermitiana es diagonalizable y toda matriz real simétrica es diagonalizable. Esto es consecuencia de un teorema conocido como teorema de Schur según el cual absolutamente todas las matrices cuadradas admiten una factorización de Schur. DEFINICIÓN 6.6. Una factorización de Schur de una matriz A es una factorización de la forma: factorización de Schur donde U es una matriz unitaria y R es una matriz triangular superior. A = UR U 3 TEOREMA 6.6. Teorema de Schur Toda matriz cuadrada admite una factorización de Schur. Si A es una matriz real, una factorización real de Schur de A es una factorización de Schur en la que la matriz U también es real y por tanto es una matriz ortogonal. El teorema de Schur para matrices reales dice: factorización real de Schur TEOREMA Teorema de Schur para matrices reales Para que una matriz real admita una factorización real de Schur es condición necesaria y suficiente que todos sus autovalores sean reales. Más abajo se indican las ideas principales en que se basa la demostración de este teorema, pero antes de eso vamos a establecer la siguiente consecuencia importante: Corolario: Toda matriz real simétrica es diagonalizable. Para demostrarlo, supongamos que A es una matriz real simétrica. Según vimos antes pág.?? todos los autovalores de A son reales y por tanto, según el teorema de Schur, A admite una factorización real de Schur: A = UR U. Entonces R = U T A U y R T = U T A U T = U T A T U T T = U T A U = R luego R es simétrica y triangular, lo que implica que es diagonal y la factorización de Schur de A es realmente una diagonalización ortogonal de A. 3

4 En la demostración del teorema de Schur se usa el siguiente cálculo de matrices por bloques: Ejercicio: Si a R, v R n y A, B, C son tres matrices n n, con C inversible, se cumple: 0 a v T C 0 a v T =. 4 0 A 0 B 0 C 0 ABC Demostración del teorema de Schur para matrices reales Que la condición todos los autovalores de A son reales es necesaria es evidente porque la factorización 3 implica que A y R tienen los mismos autovalores y por tanto los autovalores de A son reales por ser los elementos diagonales de R que es real por ser producto de matrices reales: R = U T A U. La parte más interesante consiste en demostrar que la condición de autovalores reales es también suficiente: Supongamos que A es una matriz real n n con n autovalores reales. Sea λ un autovalor de A y sea u un autovector unitario del autovalor λ o sea que Au = λ. Sean ahora u,..., u n otros vectores unitarios ortogonales a u y tales que {u, u,..., u n } es una base ortonormal de R n. Entonces la matriz U = [u u... u n ] cuyas columnas son los vectores de esta base es una matriz cuadrada ortogonal: U T U = I y U = U T. Consideremos ahora la matriz U A U. Su primera columna es el producto de la matriz U A multiplicada por la primera columna de U, es decir U Au = U λ u = λ U u = λ e donde e es la primera columna de la matriz identidad. Vemos entonces que U A U es de la forma U A U = λ v T y por tanto λ v T A = U U donde A es una matriz n n. El resto de la demostración es simplemente ver que los autovalores de A son los restantes autovalores de A, λ,..., λ n, y por tanto A también admite una factorización análoga a la de A; entonces por la propiedad 4 tenemos que A es: v T λ v T 0 A A = U λ λ v T 0 U U U 0 = U λ v T U 0 U U U y continuando de esta manera se llega a una factorización de Schur de A. Sólo falta una cuestión: Por qué los autovalores de A son los restantes autovalores de A? Una forma sencilla de ver esto consiste en observar que los autovalores de A son los mismos que los autovalores de U A U, los cuales son las raices del polinomio λ v T det 0 λ λ v T λ = det = λ 0 I n λi λ deta λi n, n de aquí que los autovalores de A son λ junto con los autovalores de A. Caracterización de matrices ortogonalmente/unitariamente diagonalizables Del teorema de Schur hemos deducido que las matrices reales simétricas son diagonalizables, lo cual, junto con los resultados anteriores, nos permite llegar al siguiente TEOREMA Caracterización de las matrices reales ortogonalmente diagonalizables Las matrices reales ortogonalmente diagonalizables son precisamente las matrices reales simétricas. 4

5 El caso de las matrices complejas es un poco diferente porque de una diagonalización unitaria no se deduce que la matriz sea hermitiana. Se deduce solamente que la matriz es normal y además es fácil establecer el siguiente TEOREMA Caracterización de las matrices unitariamente diagonalizables Las matrices unitariamente diagonalizables son precisamente las matrices normales. Qué es una matriz normal?. Es aquella que conmuta con su conjugada traspuesta: AA = A A lo que en el caso real significa: AA T = A T A. Definición de matriz normal. Esta propiedad es justamente la propiedad que, si la posee una matriz triangular, implica que es diagonal. En otras palabras: El conjunto de las matrices diagonales es la intersección del conjunto de las matrices normales y el conjunto de las matrices triangulares. Veamos el porqué de esto antes de demostrar el teorema de caracterización: Toda matriz triangular y normal es una matriz diagonal. Demostración: Esta es una típica demostración por el método del descenso. Veremos que toda matriz A que sea triangular y normal es de la forma a 0 A = 5 donde A es también triangular y normal. Se deduce entonces por descenso que A es diagonal. Para ver que A es de la forma indicada basta comparar el elemento en posición, de AA con el de A A. Sean a,..., a n los elementos de la primera fila de A, que supondremos triangular superior. El primer elemento de AA es a + + a n, mientras que el de A A es simplemente a porque los elementos de la primera fila de A son a, 0,..., 0 y los de la primera columna de A son a, 0,..., 0. Igualando, a + + a n = a deducimos que a + + a n = 0, lo cual implica a = 0,..., a n = 0 y por tanto A es de la forma 5, donde evidentemente A es triangular del mismo tipo que A. Pero además, A es una matriz normal porque al serlo A, tenemos: AA a 0 a 0 a = 0 A = 0 A, y por otro lado: A a 0 A = 0 A a 0 a = 0 0 A A, así que el ser A normal implica que también A lo es. Demostración del teorema de caracterización La demostración del teorema de caracterización de matrices unitariamente diagonalizables tiene dos partes: En la primera parte se demuestra que toda matriz unitariamente diagonalizable es normal y en la segunda se demuestra que toda matriz normal es unitariamente diagonalizable. 5

6 Primera parte: Toda matriz unitariamente diagonalizable es normal. Para demostrar esto supongamos que A es unitariamente diagonalizable; entonces su conjugada traspuesta es A = UDU = U D U = UD U y la demostración de que A es una matriz normal es un simple cálculo que sólo usa la conmutatividad de las matrices diagonales y que U es la inversa de U. A A = UD U UDU = UD DU = UDD U = UDU UD U = AA. Segunda parte: Toda matriz normal es unitariamente diagonalizable. En esta parte es donde usamos la propiedad de que toda matriz triangular y normal es diagonal. La clave es demostrar que la matriz R de la factorización de Schur de una matriz normal también es normal con lo cual, al ser triangular y normal, es diagonal. Esto es de nuevo un simple cálculo: Si A es una matriz normal y A = URU es su factorización de Schur, entonces R = U AU, R = U A U y R R = U A U U AU = U A AU = U AA U = U AU U A U = RR En consecuencia, R es diagonal y la factorización de Schur de una matriz normal es en realidad una diagonalización ortogonal. Con esto queda demostrado el teorema de caracterización. Ejercicio: Demostrar que la matriz A = 0 0 es normal y hallar una diagonalización unitaria de ella. Admite una diagonalización ortogonal? Solución: A = i i i 0 0 i i i. A No tiene diagonalización ortogonal porque no es simétrica. 6