Ortogonalidad y Valores Singulares

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1 Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 6 Ortogonalidad y Valores Singulares En este último tema de esta asignatura vamos a estudiar aquellas propiedades de los espacios vectoriales y de las matrices que dependen de la posibilidad de calcular las longitudes de los vectores y las distancias entre pares de puntos. Esas propiedades se llaman las propiedades métricas de los espacios vectoriales y son la clave para la introducción de todos los conceptos de la geometría métrica en los espacios vectoriales y también para la aplicación de los espacios vectoriales a la física y a la geometría. En el caso del plano coordenado o R, sabemos que los vectores se pueden identificar con segmentos orientados y por tanto la posibilidad de calcular las longitudes de vectores es una consecuencia de la medida de longitudes de segmentos. además es muy sencillo dar una fórmula que nos da la longitud de un vector conocidas sus coordenadas respecto a un sistema de coordenadas en el plano. Esto se obtiene gracias al teorema de Pitágoras, según el cual la longitud de un vector v = (x, y) es r = x + y. De esta fórmula se deduce también que un vector v = (x, y, z) del espacio R tiene longitud, módulo o norma dado por: ρ = x + y + z. 6.. Norma y producto interior Longitud, norma o módulo de vectores y distancias entre puntos Generalizando la fórmula pitagórica de la longitud de un vector de R o de R, definimos la norma, longitud o módulo de un vector v = (v,..., v n ) en R n mediante la fórmula v = v + + v n. Análogamente, si v es un vector de C n, la norma, módulo o longitud de v se define mediante la fórmula: v = v + + v n. Como vemos, en el caso complejo es necesario asegurarse de calcular previamente el módulo de cada componente del vector antes de elevarla al cuadrado, de lo contrario podría resultar un radicando negativo o incluso no real que nos impidiese demostrar las propiedades deseadas de la norma. Otra forma de escribir la norma de un vector complejo es: v = v v + + v n v n. Versión de de diciembre de 6, :4 h.

2 6.. Norma y producto interior 6. Ortogonalidad y Valores Singulares En cualquiera de los dos casos, la función norma definida en R n o C n tiene todas las propiedades algebraicas del módulo de un vector del plano o del espacio, a saber: (a) v, siendo v = solamente en el caso v =. (b) cv = c v. (c) u + v u + v (desigualdad triangular). Longitudes de vectores y distancias La posibilidad de calcular longitudes de vectores de un espacio vectorial es equivalente a la de calcular distancias entre pares de puntos de ese espacio vectorial ya que, por un lado, la longitud de un vector es la distancia desde el punto representado por ese vector al origen de coordenadas (toda longitud de un vector es una distancia) y, por otro lado, la distancia entre los puntos representados por dos vectores u, v es igual a la longitud del vector diferencia u v (toda distancia es la longitud de un vector). Así, por el mero hecho de poder calcular la norma de cada vector, podemos definir la distancia entre dos vectores cualesquiera: dist(u, v) = u v. Producto escalar y producto hermítico A continuación vamos a ver que la posibilidad de calcular longitudes de vectores de un espacio vectorial real se puede obtener como consecuencia de poder realizar una operación algebraica con vectores llamada producto escalar, la cual es conocida por los estudiantes de Física para los vectores del plano y del espacio. Empezamos observando que el cuadrado de la norma de un vector de R n, v = v + + v n se puede obtener como resultado de una operación que ya conocemos, a saber: la multiplicación de matrices. Efectivamente, v es igual al producto de la matriz n obtenida a hallar la traspuesta de v (considerado como un vector columna) por el propio vector v (como matriz n ): v T v = (v v n ) v. v n = v + + v n = v. Esta propiedad nos lleva definir la operación de producto escalar de dos vectores de R n me- diante producto escalar producto hermítico conjugado traspuesto v u = u T v = (u u n ) v. v n = u v + + u n v n (6.) Análogamente, definimos la operación de producto interior complejo (o producto hermítico) de dos vectores de C n mediante multiplicación, no por el vector traspuesto, sino por el conjugado traspuesto u = (u) T = u T. En este caso complejo se suele preferir denotar el producto interior de x e y mediante x, y en lugar de usar el punto: v v, u = u v = (u) T v = (u u n ). = u v + + u n v n (6.) v n

3 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.. Norma y producto interior En ambos casos, la norma euclidiana de los vectores se expresa en términos del producto escalar/producto hermítico mediante v = v v o v = v, v. (6.) Propiedades del producto escalar en R n La definición (6.) del producto escalar en R n nos permite demostrar muy fácilmente las siguientes propiedades: (a) (cu) v = c(u v). (b) (u + w) v = u v + w v. (c) u v = v u (conmutatividad o simetría). (d) u u siendo u u = solamente en el caso u = (definida positiva). En vista de la tercera propiedad, las dos primeras son equivalentes a (cada una de) las siguientes: (cu) v = c(u v) y (u + w) v = u v + w v. ( linealidad en la primera variable : la aplicación v definida por x x v es lineal).. u (cv) = c(u v) y u (v + w) = u v + u w. ( linealidad en la segunda variable : la aplicación u definida por x u x es lineal). Al expresar de esta forma las propiedades características del producto escalar en R n, vemos que se puede decir que el producto escalar en R n es una función real de dos variables vectoriales que es bilineal, simétrica y definida positiva. Consecuencia de la propiedad definida positiva : A T A es el mismo que el de A. Si A es una matriz real, el espacio nulo de Por un lado, es evidente que los vectores del espacio nulo de A son también vectores del espacio nulo de A T A ya que si Ax = entonces también A T Ax =. Supongamos ahora que x es un vector del espacio nulo de A T A, es decir, A T Ax =. Entonces x T A T Ax =. Pero esto significa que el vector Ax tiene norma cero porque x T A T Ax = (Ax) T Ax = Ax. Así pues, Ax tiene norma cero y por la propiedad de la norma de ser definida positiva, el propio Ax es el vector cero, lo que significa que x pertenece al espacio nulo de A. Propiedades del producto interior complejo o producto hermítico en C n El producto interior que hemos definido en C n tiene propiedades muy parecidas a las del producto escalar de R n. La diferencia fundamental es que la tercera propiedad toma ahora la forma:. u, v = v, u ( simetría conjugada o simetría hermitiana ). Ésta es justamente la propiedad necesaria para garantizar que la función (6.) definida a partir del producto hermítico tenga todas las propiedades de una norma.

4 6.. Norma y producto interior 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Como consecuencia de esta diferencia entre el producto hermítico y el producto escalar, las dos primeras propiedades (que se pueden describir juntas como linealidad en la primera variable ) ya no tienen como consecuencia la linealidad en la segunda variable, sino una especie de linealidad conjugada que se expresa como: u, cv = c u, v y u, v + w = u, v + u, w. Evidentemente las propiedades del producto escalar de R n son un caso particular de las del producto hermítico de C n y, por tanto, todas las consecuencias de la últimas se cumplen también para las primeras. A partir de este momento, todos los razonamientos y cálculos estarán basados en el producto escalar (en R n ) o el producto hermítico (en C n ) por lo que todos los resultados que obtengamos serán consecuencia de las propiedades características del producto hermítico (de las que las propiedades del producto escalar son, como se acaba de decir, un caso particular) y que se pueden enunciar en forma completamente general como los axiomas de un producto interior en un espacio vectorial (real o complejo), a saber: Si V es un espacio real o complejo, se llama producto interior en V a toda función compleja u, v definida para u, v V y tal que: (a) cu, v = c u, v, u + w, v = u, v + w, v. ( lineal en la primera variable : la aplicación, v definida por x x, v es lineal). (b) u, v = v, u (simetría compleja, conjugada o hermitiana). (c) u, u siendo u, u = solamente en el caso u = (definida positiva). Combinando las dos primeras se deduce que todo producto interior complejo es una aplicación sesquilineal (versión compleja de la propiedad de ser bilineal de producto escalar de R n ):. u, cv = c u, v, u, v + w = u, v + u, w. ( conjugada lineal en la segunda variable : la aplicación u, definida por x u, x es conjugada lineal). forma hermitiana Se llama forma hermitiana a toda forma sesquilineal que tiene simetría conjugada (o simetría hermitiana); por tanto: Un producto interior en un espacio real o complejo es una forma hermitiana definida positiva. En el caso real esto es lo mismo que una forma bilineal simétrica definida positiva. Perpendicularidad y ángulo entre dos vectores La posibilidad de calcular la longitud de los vectores nos permite definir el concepto de perpendicularidad y por lo tanto de angulo recto. Además, la posibilidad de calcular el producto escalar o hermítico de dos vectores cualesquiera nos permite definir también el ángulo que forman dos vectores no nulos cualesquiera. En lo que sigue supondremos implícitamente que los vectores pertenecen a un espacio vectorial real y, más concretamente, a R n. Queda como tarea del estudiante el trasladar todas las definiciones y resultados al caso complejo. Vectores perpendiculares Definición de perpendicularidad u ortogonalidad. Definición: Diremos que dos vectores u, v son perpendiculares u ortogonales si las dos diagonales, u + v y u v, del paralelogramo que forman tienen la misma longitud, y escribiremos u v si y sólo si u + v = u v. 4

5 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.. Norma y producto interior Dado que la norma o longitud de vectores se puede expresar en términos del producto escalar o hermítico, una forma equivalente de expresar la perpendicularidad de vectores es la igualdad de las siguientes dos normas al cuadrado u + v = (u + v) (u + v) = u u + v v + u v (6.4) u v = (u v) (u v) = u u + v v u v (6.5) Por tanto podemos escribir: u v si y sólo si u v =. Así, usando el producto escalar, es muy sencillo saber si dos vectores de R n o de C n son perpendiculares: si su producto escalar es cero lo son, en caso contrario no lo son. El ejemplo fundamental de vectores perpendiculares es el los vectores de la base canónica de R n o de C n, que son las columnas e,..., e n de la matriz identidad n n. Conjuntos ortogonales, vectores unitarios y conjuntos ortonormales Se llama conjunto ortogonal de vectores a todo conjunto de vectores u,..., u k tales que u i u j = siempre que i = j. Una matriz A (que no tiene porqué ser cuadrada) es tal que A T A es una matriz diagonal si y sólo si las columnas de A forman un conjunto ortogonal. Si u,..., u k es un conjunto ortogonal de vectores no nulos y tomamos esos vectores como columnas para definir una matriz A = [u,..., u k ], entonces A tiene la propiedad de que el producto A T A (cuyos elementos son todos los productos escalares u i u j ) es una matriz cuadrada cuyos elementos diagonales son no nulos (es más, son positivos por ser los cuadados de las normas de los vectores no nulos u,..., u k ) y los elementos fuera de la diagonal son cero por ser cada uno un producto escalar de vectores perpendiculares. De lo dicho hasta aquí se deduce la siguiente propiedad: Propiedad: Todo sistema ortogonal de vectores no nulos, u,..., u k, es un conjunto libre. Para comprender el porqué, observamos que, según lo dicho más arriba, si formamos la matriz que tiene esos vectores como columnas, A = [u,..., u k ], entonces A T A = [A T u,..., A T u k ] es una matriz diagonal con elementos diagonales no nulos y por tanto sus columnas son linealmente independientes. Esto implica que los vectores u,..., u k son independientes. De lo contrario, dado que el producto matriz por vector conserva las relaciones de dependencia lineal, cualquier relación de dependencia lineal que hubiera entre los vectores u,..., u k persistiría entre los A T u,..., A T u k. Otra forma de llegar a la misma conclusión es pensar que, al ser A T A una matriz diagonal, su determinante es det(a T A) = Π k i= u i =. Pero también det(a T A) = (det A T )(det A) = (det A) de donde det A = y por tanto las columnas de A son independientes. Vectores unitarios. Un vector de longitud (o norma, o módulo) igual a se llama un vector unitario. Dado que la norma de un vector es un número no negativo, las siguientes ecuaciones son expresiones equivalentes de que u es un vector unitario: u =, u =, u u =. La idea más importante que se debe tener en mente en relación con los vectores unitarios es el hecho de que todo vector no nulo v = se puede reescalar para convertirlo en un vector unitario: 5

6 6.. Norma y producto interior 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Proposición. Para todo vector no nulo v, el vector u = v es un vector unitario. v Sistemas ortonormales. Un sistema ortogonal de vectores, los cuales, además, son unitarios se llama un sistema ortonormal. A partir de un sistema ortogonal cualquiera de vectores no nulos se puede obtener un sistema ortonormal sin más que reescalar cada vector apropiadamente. Las columnas de una matriz real U forman un conjunto ortonormal si y sólo si U T U = I. Matrices Ortogonales. Se llama matriz ortogonal a toda matriz cuadrada real cuyas columnas son vectores unitarios ortogonales dos a dos, es decir una matriz cuadrada real cuyas columnas forman un sistema ortonormal. Cuidado! Una matriz ortogonal no es aquella cuya columnas forman un sistema ortogonal. Es requisito de una matriz ortogonal que, además de ser las columnas un sistema ortogonal, sea una matriz cuadrada y que sus columnas sean vectores unitarios. Caracterización: Si A es una matriz ortogonal, A T A es una matriz identidad y por tanto A T es la inversa de A. Recíprocamente: Si A es una matriz cuadrada tal que A T A = I entonces las columnas de A forman un sistema ortonormal y por tanto A es una matriz ortogonal. Caso complejo: Matrices Unitarias. Se llama matriz unitaria a toda matriz cuadrada compleja cuyas columnas son vectores unitarios ortogonales dos a dos, es decir cuyas columnas forman un sistema ortonormal. Si todos los elementos de una matriz unitaria son números reales (esto es, tienen todos parte imaginaria nula) entonces esa matriz es una matriz ortogonal. Por tanto, el conjunto de las matrices unitarias contie al conjunto de las matrices ortogonales. La caracterización de matrices unitarias se apoya en la operación de traspuesta conjugada o adjunta de una matriz compleja. Si A es una matriz compleja, se llama matriz adjunta de A, y se denota A, a la matriz cuyos elementos son los conjugados de los elementos de la matriz traspuesta de A o, equivalentemente, la traspuesta de aquella cuyos elementos son los conjugados de los elementos de A: Matriz adjunta. A = A T = ( Ā ) T. Propiedades: La operación de calcular la matriz adjunta de una matriz dada tiene las siguientes propiedades: (a) (A ) = A. (b) (A + B) = A + B. (c) (ca) = ca. (d) (AB) = B A. (e) ( A ) = (A ). (f) det A = det A. Caracterización de matrices unitarias: Si A es una matriz unitaria, A A es una matriz identidad y por tanto A es la inversa de A. Recíprocamente: Si A es una matriz cuadrada tal que A A = I entonces las columnas de A forman un sistema ortonormal para el producto hermítico y por tanto A es una matriz unitaria. No confundir con la matriz de adjuntos. 6

7 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.. Norma y producto interior El producto escalar asociado con una norma y el teorema de Pitágoras Cualquiera de las fórmulas (6.4) o (6.5) nos permite dar una fórmula para el producto escalar en términos de la función norma: Despejando en dichas fórmulas el producto escalar u v obtenemos las siguientes fórmulas de polarización : u v = ( u + v u v ) (6.6) u v = ( u + v u v ) (6.7) Cualquiera de esas fórmulas es equivalente al teorema de Pitágoras. Por ejemplo, la primera de ellas, (6.6), implica que si u y v son perpendiculares entonces u v = y por tanto: u + v = u + v Teorema de Pitágoras Componentes longitudinal y transversal de un vector respecto a una dirección dada Se llama proyección ortogonal de un vector v sobre (la recta definida por) un vector no nulo u, proyección ortogonal y se denota por proy u (v), a aquél múltiplo de u que restado de v da como resultado un vector perpendicular a u. Es decir: un múltiplo de u, cu, es la proyección ortogonal de v sobre u si el vector diferencia v cu es perpendicular a u, es decir, si (v cu) u =. De esta ecuación se deduce: c = v u ( v u ) u u y por tanto: proy u (v) = u. (6.8) u u La proyección ortogonal nos permite calcular la descomposición de un vector dado en suma de dos vectores que sean uno de ellos paralelo y el otro perpendicular a una dirección dada. Sea v un vector dado y supongamos dada una dirección (o subespacio vectorial unidimensional) mediante un vector u, Las componentes longitudinal (paralela) y transversal (perpendicular) de v respecto a la dirección de u son dos vectores denotados respectivamente v y v tales que v + v = v, v = cu y v u = En consecuencia, la componente longitudinal es la proyección ortogonal y la componente transversal es la diferencia entre el vector dado y su proyección ortogonal: v = proy u (v), v = v proy u (v). Matriz de la proyección ortogonal Si deseamos hallar la proyección ortogonal de varios vectores v,..., v k sobre un mismo vector u, es conveniente disponer los cálculos de forma que se evite repetir el mismo cálculo varias veces. Observando la fórmula de la proyección ortogonal hallada más arriba, (6.8), vemos que se puede reescribir en términos de productos de matrices de la siguiente forma: proy u (v) = ( v u ) u = u u u u (v u)u = u u u(v u) = u T u u(ut v) = u T u (uut )v = P u v donde hemos denotado P u la matriz cuadrada P u = u T u (u ut ) = u (u ut ). (6.9) 7

8 6.. Norma y producto interior 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Esta matriz se llama la matriz de la proyección ortogonal sobre la recta de u. Por tanto, si queremos hallar las proyecciones ortogonales de varios vectores v,..., v k sobre un mismo vector u, basta calcular una sola vez la matriz P u y luego calcular los productos P u v,..., P u v k. Observación: está dada por: En la fórmula (6.9) de la matriz P u es importante comprender que la matriz u u T uu T = u. u n ( u... u n ) = u u u... u u n u u u... u u n.... u n u u n u... u n Ángulo entre dos vectores y la fórmula del coseno para el producto escalar Sabiendo calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro, es muy sencillo medir el ángulo entre dos vectores no nulos u, v. Para ello basta hallar la proyección ortogonal de uno de ellos sobre el otro: proy u (v) y observar que se obtiene un triángulo rectángulo en el que v es la hipotenusa y las componentes longitudinal y transversal de v son los catetos. Suponiendo v u, el ángulo entre u y v es el que tiene a v = proy u (v) como cateto adyacente, por lo que la definición cateto adyacente partido por la hipotenusa nos dice que su coseno es: cos α = proy u (v) v = v ( v u ) u u u = De aquí se obtiene la conocida fórmula de los libros de Física: v u = v u cos α. v u v u u = v u v u. La desigualdad de Cauchy-Schwartz desigualdad de Cauchy- Schwartz Dado que el coseno de cualquier ángulo tiene un valor absoluto menor o igual que uno, de la fórmula de los físicos del producto interior, v u = v u cos α, se puede deducir otra famosa e importante relación entre el producto escalar y la norma, conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwartz: u v u v. Al apoyar esta desigualdad en la definición del coseno, estamos haciéndola provenir del hecho de que todo cateto en un triángulo rectángulo es menor o igual que la hipotenusa, lo cual a su vez es consecuencia del teorema de Pitágoras. Sin embargo, esta desigualdad se puede deducir directamente de las propiedades del producto interior de la siguiente forma: Comenzamos con la siguiente desigualdad, válida para cualesquiera números reales a y b: au bv. Expandiendo este cuadrado de una norma como producto escalar de au bv por sí mismo, se obtiene: au bv = (au bv) (au bv) = a (u u) + b (v v) ab(u v) = a u + b v ab(u v) Esto tiene un valor no negativo también en el caso particular a = v y b = u, en el cual se reduce a: u v ( u v u v ). La desigualdad de Cauchy-Schwartz es equivalente a decir que este paréntesis es no negativo. 8

9 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.. Ortogonalidad 6.. Ortogonalidad Proyección ortogonal sobre un subespacio Al igual que ocurre con la descomposición de un vector obtenida a partir de su proyección ortogonal sobre un subespacio unidimensional, dado un vector v y un subespacio W de R n o de C n, existe una única descomposición de v en suma de dos vectores: v = v + v tales que el primero sea ortogonal (o perpendicular) a cada vector de W mientras que el segundo pertenece a W. La componente v, perpendicular a cada vector de W, se llama la componente transversal (u ortogonal) de v respecto a W, mientras que la otra componente, v, contenida en el subespacio W, se llama la componente longitudinal (o paralela) de v respecto a W y también la proyección ortogonal de v sobre W. Dada una base {u,..., u r } de W, es posible plantear un sistema de ecuaciones para calcular las coordenadas c i de la proyección ortogonal de un vector cualquiera v sobre W: v = proy W (v) = c u + + c r u r. La condición que necesitamos aplicar para plantear dicho sistema de ecuaciones es que la diferencia v v es perpendicular a cada vector de la base: ( v v ) ui =. Así pues, en el sistema de ecuaciones satisfecho por los coeficientes c i, la ecuación j es: (u u j )c + + (u r u j )c r = v u j Para hallar las coordenadas c,..., c r de la proyección ortogonal es, pues, necesario resolver un sistema de ecuaciones cuya matriz de coeficientes es: u u... u u r u r u... u r u r Caso de una base ortogonal Existe un caso en el que dicha matriz de coeficientes es una matriz diagonal y por tanto la solución del sistema es inmediata. Nos referimos al caso en que todos los productos u i u j fuera de la diagonal son cero; es decir, el caso en el que la base {u,..., u r } de W es una base ortogonal: base ortogonal En este caso, la ecuación j se reduce a: y la solución del sistema es: u i u j = para i = j. (u j u j )c j = v u j c = v u u u,..., c r = v u r u r u r. La fórmula de la proyección ortogonal queda entonces: ( v u ) ( v = proy W (v) = v u ) r u u + + u r. u u r u r 9

10 6.. Ortogonalidad 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Ejemplo: Hallar las componentes longitudinal y transversal del vector v respecto al subespacio W = Gen{u, u } de R donde: v =, u = 5, u =. Solución: Empezamos comprobando que la base dada es ortogonal: calculamos el producto escalar u u = =. Entonces hallamos la componente longitudinal que es la proyección ortogonal de v sobre W: ( v u ) ( v = proy W (v) = v u ) u u + u. u u u Calculando los productos escalares: v u = + = 9, u u = =, v u = + + =, u u = = 6, tenemos: v = = /5, v 6 = v v = /5 = 7/5 = 7. 5 /5 /5 4/5 Propiedades de la proyección ortogonal Proyección de un vector contenido en W Si v pertenece al subespacio W entonces (y sólo entonces) proy W (v) = v. Propiedad de mínimo de la proyección ortogonal Propiedad de mínimo de la proyección ortogonal. La proyección ortogonal de un vector v sobre un subespacio W, proy W (v), es el vector de W que menos dista de v: v proy W (v) = mín v x. (6.) x W En otras palabras: Para cualquier vector x de W distinto de la proyección ortogonal proy W (v), la distancia de x a v es mayor que la distancia de proy W (v) a v: v proy W (v) < v x. (6.) Esta propiedad es una simple consecuencia del teorema de Pitágoras. Para convencerse de ello basta observar que la componente transversal v = v proy W (v) es, por definición, perpendicular a todo vector de W, y es, en particular, perpendicular al vector diferencia proy W (v) x (que por hipótesis es distinto de cero). Por ser perpendiculares, estos dos vectores son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es su suma: ( v proyw (v) ) + ( proy W (v) x ) = v x. Entonces, el teorema de Pitágoras dice: v proy W (v) + proy W (v) x = v x y en consecuencia, la hipótesis x proy W (v) > implica (6.). Como la distancia de un punto a un conjunto se define como el mínimo de las distancias del punto a los puntos del conjunto, la propiedad de mínimo de la proyección ortogonal es equivalente a decir que: La distancia de un vector a un subespacio es igual a la norma o longitud de su componente transversal. dist(v, W) = v.

11 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt 6.. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt El método de ortogonalización de Gram-Schmidt nos permite transformar una base cualquiera {v,..., v r } de un subespacio W de R n o C n una base ortogonal del mismo. Para comprender la idea fundamental de este método basta comprender el caso especial en el que tenemos solamente dos vectores linealmente independientes, v v. En este caso, para obtener un sistema ortogonal a partir de estos vectores basta sustituir v por su componente transversal respecto a v, de manera que pasamos de la base {v, v } a la base ortogonal {u, u } definiendo: u = v, ( v u ) u = v proy u (v ) = v u u. u Esta idea puede repetirse el número de veces que sea necesario para convertir cualquier conjunto libre de vectores en un conjunto ortogonal. En general, un sistema de r vectores independientes {v,..., v r } se transforma en un sistema ortogonal en r pasos en cada uno de los cuales (excepto en el primero) se sustituye un vector v i+ por su componente transversal respecto al subespacio W i = Gen{v,..., v i } = Gen{u,..., u i } generado por los vectores anteriores: u i+ = v i+ proy Wi (v i+ ) = v i+ ( vi+ u ) u u u ( vi+ u ) i u u i. i u i Por ejemplo, si partimos de tres vectores independientes v, v, v, éstos quedarían tranasformados en un conjunto ortogonal en tres pasos: u = v, ( v u ) u = v proy u (v ) = v u u, u u = v proy {u,u } (v ) = v ( v u ) u u u ( v u ) u. u u Cuando se realizan cálculos a mano conviene tener presente que los vectores u i que se van obteniendo paso a paso pueden ser a su vez sustituidos por un múltiplo escalar cualquiera, cu i, con el fin de eliminar denominadores de las fracciones que pudieran haberse obtenido y de esta forma facilitar los cálculos del paso siguiente. Veamos esto con un ejemplo. Ejemplo: Aplicar el proceso de Gram-Schmidt al conjunto libre de vectores de R 4 siguiente: v =, v =, v = Solución: Tomando u = v calculamos /4 ( v u ) u = v u u = u 4 = /4 /4 /4 y eliminando denominadores: Finalmente: ( v u ) ( u = v v u ) u u u = u u u 4 = / / /

12 6.4. Factorización QR 6. Ortogonalidad y Valores Singulares con lo cual hemos obtenido la base ortogonal: u =, u =, u = Ortonormalización base ortonormal En algunos casos, puede ser necesario obtener una base ortonormal, es decir, una base en la que no solo sean los vectores ortogonales dos a dos, sino que además, cada vector de la base sea un vector unitario. Una vez conseguida una base ortogonal, no hay más que normalizar cada uno de los vectores hallados para convertirla en una basa ortonormal haciendo una operación de reescalado con cada vector. Por ejemplo, si después de obtener la base del ejemplo anterior deseamos convertirla en un sistema ortonormal, calculamos la norma de cada vector: u = () + () + () + () =, u = ( ) + () + () + () =, u = () + ( ) + () + () = 6, y dividiendo cada vector por su norma obtenemos la base ortonormal: / / / /, / / / /, / 6 / 6 / Factorización QR Sea A una matriz real m n cuyo rango es igual a n. Esto es equivalente a decir que las n columnas de A, a,..., a n, son vectores linealmente independientes de R m. Si aplicamos el proceso de Gram-Schmidt al sistema formado por las columnas de A, obtendremos una base ortogonal {u,..., u n } del espacio columna de A. Pero además, en cada paso del proceso hemos obtenido una base de la forma {u,..., u k, a k+,..., a n } en la que los vectores u,..., u k generan el mismo subespacio de R m que las primeras k columnas de A, a,..., a k. En otras palabras: cada a k es una combinación lineal de los k primeros vectores de {u,..., u n }:. a k = r k u + + r kk u k + u k+ + + u n = [u... u n ] r kk. r k

13 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.4. Factorización QR y además el coeficiente r kk es distinto de cero (de lo contrario, a k sería linealmente dependiente de las anteriores columnas de A) y puede elegirse el signo de u k de forma que r kk sea positivo. Los coeficientes de esta combinación lineal forman, pues, la columna k-ésima de una matriz inversible triangular superior, r r... r n r... r n R =......,... r nn con los elementos diagonales positivos y que, junto con la matriz Q = [u... u n ] verifica A = QR. (6.) En el caso especial de que en el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt, hemos normalizado el vector obtenido en cada paso (dividiéndolo por su norma de forma que la base obenida, {u,..., u n }, es una base ortonormal de Col A), esta factorización de la matriz A se conoce como la factorización QR. La matriz Q de la factorización QR es una matriz ortogonal, esto es, sus columnas u... u n forman un sistema ortonormal. Debido a que todos los productos escalares u i u j = u T i u j son iguales a cero si i = j e iguales a si i = j, tenemos Q T Q = u T. u T n [u... u n ] = u u... u u n..... u n u... u n u n Esta es la propiedad característica de las matrices ortogonales. = = I n.... La factorización QR de una matriz es la única factorización de A como producto de una matriz ortogonal por una matriz inversible triangular superior con todos los elementos de la diagonal positivos. Debido a la propiedad característica de las matrices ortogonales, la matriz R de la factorización QR de A se puede calcular de forma sencilla a partir de Q y de A ya que de (6.), multiplicando por la izquierda por Q T obtenemos: R = Q T A. Ejemplo: En la sección anterior aplicamos el método de Gram-Schmidt para ortonormalizar las columnas de la matriz A = y obtuvimos: / / Q = / / / 6 / / / 6 / / / 6 En consecuencia, / / / / R = Q T A = / / / / / 6 / 6 / / = / / 6 /. 6

14 6.5. Mínimos cuadrados 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Como todos los elementos de la diagonal son positivos, hemos encontrado la factorización QR. Si alguno de los elementos de la diagonal hubiese resultado negativo, habría que cambiar de signo a todos los elementos de su fila y hacer lo mismo con la correspondiente columna de Q Mínimos cuadrados En esta sección nos planteamos una estrategia para abordar sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solución, es decir, sistemas inconsistentes. Estos sistemas aparecen con mucha frecuencia en las ciencias aplicadas y en la ingeniería, por ejemplo, en la localización de un objeto mediante varias visuales determinadas experimentalmente. Debido, entre otras causas, a los errores experimentales, nos encontramos con frecuencia con una situación análoga a la que tenemos en el plano cuando se dan tres o más rectas y se busca su intersección. Otro ejemplo lo tenemos en los ajustes de funciones a unos datos, donde se buscan los coeficientes de una combinación lineal de un tipo particular de funciones que hacen que esta combinación lineal pase por unos puntos dados. En todos estos casos se suele uno encontrar con un sistema de ecuaciones lineales, Ax = b, que no tiene solución. En estos casos, existe una estrategia para encontrar lo siguiente mejor a una solución, conocida como la solución por mínimos cuadrados del problema dado. En esta estrategia se busca el vector x tal que la distancia Ax a b sea lo menor posible. Para poder poner en práctica esta estrategia, es fundamental saber determinar la noción de distancia entre vectores que se adapta correctamente al problema considerado. En general, una buena noción de distancia entre vectores corresponde a una noción de norma que proviene de un producto interior. Entonces, los métodos para encontrar la solución óptima (al menos en el caso de tratarse de vectores de un espacio vectorial de dimensión finita) serán enteramente análogos a los que veremos a continuación para el caso de R n con el producto interior dado por el producto escalar (o, con más generalidad, para el caso de C n con el producto interior dado por el producto hermítico, caso que engloba al de R n ). En toda esta sección supondremos tácitamente que todas las matrices y vectores considerados son reales y el producto interior de vectores es el producto escalar euclidiano dado por x y = y T x = x T y. Solución del problema general de mínimos cuadrados Supongamos que nos dan un sistema de ecuaciones lineales, Ax = b, que podría no ser compatible. Si en lugar de plantearnos encontrar todos los x que hacen que Ax sea igual a b, nos planteamos encontrar todos los x que hacen que el error ɛ = Ax b sea lo menor posible, (o, equivalentemente que Ax b sea lo menor posible, de donde el nombre de mínimos cuadrados), entonces, debido a la propiedad de mínimo de la proyección ortogonal, lo que estamos buscando son los coeficientes, x, de una combinación lineal de las columnas de A que hagan que esa combinación lineal, Ax, sea igual a la proyección ortogonal de b sobre el espacio columna de A. Por tanto, la solución del problema de mínimos cuadrados asociado al sistema Ax = b es la solución del sistema Ax = b, ( donde b = proy Col A (b) ) (6.) (y su error asociado es ɛ = b b = b ). Esta observación nos permite resolver cualquier problema de mínimos cuadrados mediante los métodos estudiados en las secciones anteriores. Sin embargo vamos a hacer algunas observaciones que nos permitirán encontrar la misma solución de una forma más sencilla. 4

15 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.5. Mínimos cuadrados Ecuaciones normales de un sistema Recordemos que la componente transversal de b respecto al subespacio Col A, b = b b, tiene la propiedad de ser ortogonal a cada vector de Col A y en particular a cada columna de A, así que si los vectores a,..., a n son las columnas de A, entonces, para cada i =,..., n, = a i b = a i (b b ) de donde, a T i (b b ) =, Como los a T i son las filas de la matriz traspuesta A T, estas ecuaciones para los distintos valores de i se resumen en: A T (b b ) =, o A T b = A T b. Por tanto si un vector x es solución de (6.) entonces verifica A T Ax = A T b. Recíprocamente, si x cumple esta ecuación entonces A T (b Ax) =, es decir, b Ax es ortogonal a todas las columnas de A y por tanto a todos los vectores de Col A. Esto quiere decir que Ax es un vector del espacio columna de A que restado de b resulta en un vector ortogonal a Col A. Por el teorema de la proyección ortogonal, esto significa que Ax es igual a proy Col A (b). En conclusión, los sistemas Ax = b y A T Ax = A T b tienen exactamente las mismas soluciones. El sistema de ecuaciones A T Ax = A T b (que tiene tantas ecuaciones como incógnitas) se conoce como las ecuaciones normales del sistema Ax = b. La solución del problema de mínimos cuadrados asociado con un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es el conjunto solución de sus ecuaciones normales. Ecuaciones normales Ejemplo: Resolver el problema de mínimos cuadrados asociado con el sistema Ax = b donde A =, b =. 5 Hallar también el error asociado con la solución por mínimos cuadrados. Solución: Calculamos 6 A T A = = 4 A T b = =

16 6.5. Mínimos cuadrados 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Con lo cual ahora nos queda resolver el sistema A T Ax = A T b, cuya matriz ampliada es: (Observación: Se podría también multiplicar A T por la matriz ampliada del sistema original y luego reducir.) La solución general es: x = 5 + x 4. El error en cualquiera de estas soluciones es el mismo e igual la norma ɛ = Ax b. Para calcularlo podemos coger cualquier solución particular, por ejemplo la que corresponde al valor cero de todos los parámetros. Entonces el error es la norma de 5 luego ɛ = Ax b = 9 =. Ax b = =, 5 Caso de coeficientes con columnas ortogonales Muchos problemas de regresión lineal que necesitamos resolver por mínimos cuadrados dan lugar a una matriz de coeficientes cuyas columnas son ortogonales dos a dos. En esos casos, la solución del problema de mínimos cuadrados del sistema Ax = b se puede obtener de forma sencilla calculando previamente la proyección ortogonal b = proy Col A (b) y luego resolviendo el sistema Ax = b. Por ejemplo: Sean 6 A =, b = 7 6 Se comprueba fácilmente que las columnas de A son ortogonales: a a = =. En consecuencia, la proyección ortogonal de b sobre Col A es fácil de calcular: ( b a ) ( b = proy Col A (b) = b a ) a a + a = 45 a a a 9 a a = + = / 7/ 5/ / y sólo tendríamos que resolver el sistema Ax = b. Pero ni siquiera necesitamos resolverlo porque ya conocemos los coeficientes de la combinación lineal de las columnas de A que es igual a b. Estos coeficientes son 45 9 = y 4 8 =. por tanto la solución por mínimos cuadrados es: / x = 6

17 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.5. Mínimos cuadrados y el error asociado es la norma de o sea, ɛ = b b = Ax b = b b = 5/ / + ( ) + ( ) = 4. = 6, / / TEOREMA 6.5. Si la columnas a,..., a n de A = [a... a n ] son ortogonales entonces una solución del problema de mínimos cuadrados asociado al sistema Ax = b está dado por los coeficientes de la proyección ortogonal de b sobre Col A: { b a,..., b a } n. a a a n a n Unicidad de la solución del problema de mínimos cuadrados Si A es una matriz m n, toda solución de Ax = es, evidentemente solución de A T Ax =, pero, recíprocamente, también toda solución de A T Ax = es solución de la anterior porque A T Ax = implica x T A T Ax =, es decir (Ax) (Ax) =, que implica Ax =. Esto significa que: Las matrices A y A T A tienen el mismo espacio nulo (y por tanto, como tienen el mismo número de columnas, tienen también el mismo rango). Si las coumnas de A son linealmente independientes, entoces el espacio nulo de A es cero y por tanto, según lo anterior, también el espacio nulo de A T A es cero, lo que significa que las columnas de A T A son linealmente independientes y (por ser una matriz cuadrada) A T A es inversible. Recíprocamente, si A T A es inversible, sus columnas, A T a,..., A T a n son independientes y esto implica que las de A, a,..., a n, también lo son (de lo contrario, las de A T A tendrían la misma relación de dependencia lineal). En consecuencia: LEMA 6.5. Las columnas de A son linealmente independientes si y sólo si la matriz A T A es inversible. TEOREMA 6.5. Si las columnas de la matriz de coeficientes de un sistema Ax = b son linealmente independientes, entonces el problema de mínimos cuadrados asociado tiene solución única, independientemente de cuál sea el vector de términos independientes b, y esa solución es: x = (A T A) A T b. (6.4) 7

18 6.5. Mínimos cuadrados 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Aplicación de los mínimos cuadrados al cálculo de la proyección ortogonal Dada una base {u,..., u r } de un subespacio W de R n, hemos visto cómo plantear un sistema de ecuaciones para calcular las coordenadas c i de la proyección ortogonal de un vector cualquiera v sobre W: proy W (v) = c u + + c r u r. En el sistema de ecuaciones satisfecho por las coordenadas c i, la ecuación j es: (u u j )c + + (u r u j )c r = v u j. En términos de la matriz U = [u u r ] cuyas columnas son los vectores de la base de W, la matriz de coeficientes de este sistema es la matriz simétrica U T U: u u... u u r U T U =..... u r u... u r u r y el vector c de coordenadas verifica: La proyección ortogonal de v sobre W es: en consecuencia tenemos lo siguiente: U T Uc = U T v. proy W (v) = c u + + c r u r = Uc, PROPOSICIÓN 6.5. Si {u,..., u r } es una base de un subespacio W de R n, para hallar la proyección ortogonal de v sobre W basta construir la matriz U = [u... u r ] y resolver el problema de mínimos cuadrados Ux = v. Elegida una solución x, la proyección ortogonal es: proy W (v) = Ux. Teniendo en cuenta que los vectores {u,..., u r } son linealmente independientes (por ser base de W) y por tanto, según (6.4), x = ( U T U ) U T v, vemos que y tenemos: proy W v = U(U T U) U T v Si la columnas de U son linealmente independientes, la matriz P U = U ( U T U ) U T es la matriz de proyección sobre el espacio W = Col U. En el caso particular de que la base {u,..., u r } del subespacio W sea una base ortonormal, entonces U T U = I r y P U = UU T, y proy Col U v = P U v = UU T v. Ajuste polinómico mediante mínimos cuadrados El problema de ajuste polinómico consiste en hallar un polinomio de grado fijado de antemano que mejor se ajuste a unos datos dados (x, y ),..., (x k, y k ). Un ejemplo de esto es hallar 8

19 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.5. Mínimos cuadrados la recta (polinomio de grado ) que pase por dos puntos con diferente abscisas, (x, y ), (x, y ), x = x (si las abscisas fuesen iguales la recta que pasa por los puntos no sería la gráfica de ninguna función). En este ejemplo la solución es muy sencilla, ya que el problema es el de hallar una recta de la forma y = ax + b que pase por los dos puntos dados, es decir, que cumpla es decir, x a = x b cuya solución es ( y y ), a = b ax + b = y ax + b = y ( x x ) y y = y x x x x y a = y y, b = x y x y (6.5) x x x x siempre que x = x. Sin embargo, si los datos son tres puntos en lugar de dos, ya no existirá en general ninguna recta y = ax + b que pase por los tres puntos porque éstos pueden no estar alineados. En ese caso, nuestro sistema será de la forma: ax + b = y ax + b = y ax + b = y y lo que todavía podemos hacer es hallar la solución de mínimos cuadrados resolviendo el sistema cuya matriz ampliada es el producto x x x x ( y i x ) i x y i x i i x i y i =. x y i x i i y i Así se llega a las fórmulas de la recta de regresión que se estudian en Estadística. En el problema general de ajuste polinómico se buscan los coeficientes a, a,..., a n del polinomio p(x) = a + a x + + a n x n de grado n que mejor se ajusta a unos datos dados (x, y ),..., (x k, y k ). En este contexto mejor ajuste ocurre cuando el error cuadrático ɛ = ( p(x ) y ) + + ( p(xk ) y k ) tiene el menor valor posible. Claramente, este valor es igual a cero precisamente cuando el polinomio pasa por todos los puntos. Esta suma de cuadrados es el cuadrado de la norma eucídea del vector diferencia p y, donde p es el vector x p(x ) x... x n a x x... x n a p =. = a.... p(x k ) x k xk... xk n. a n Por tanto nuestro problema es minimizar Ax y con x x... x n y x x... x n A =...., y = y.. x k xk... xk n y k Otras variantes de este problema general se obtienen al imponer restricciones adicionales a los coeficientes de p(x). Por ejemplo, en el siguiente ejercicio se busca un polinomio de segundo grado con el término independiente igual a cero, por tanto la parábola está determinada por dos coeficientes: 9

20 6.5. Mínimos cuadrados 6. Ortogonalidad y Valores Singulares Ejercicio: Hallar la curva de ecuación y = ax + bx que mejor se ajusta, en el sentido de los mínimos cuadrados, a los siguientes puntos: (, ), (, ), (, ), (, ). Al resolver este ejercicio conviene observar que al plantear el sistema Ax = b, las dos columnas de la matriz de coeficientes son perpendiculares y por tanto el método de los mínimos cuadrados se puede simplificar según lo dicho en la sección Caso de coeficientes con columnas ortogonales (página 6). Solución: El sistema a resolver es: a + b = a ( ) + b ( ) = a + b = a ( ) + b ( ) = De aquí, las ecuaciones se pueden expresar como a + b = a b = 4a + b = 4a b = o bien:, en la forma matricial Ax = b, a 4 = b 4 Atención: Al plantear un problema de mínimos cuadrados hay que tener cuidado de no realizar opreraciones elementales simplificativas en las ecuaciones del sistema original, pues con ello se podría estar cambiando la solución. Simplificaciones de ese tipo sólo se pueden realizar de forma segura en la ecuaciones normales del sistema. En este ejemplo, si simplificásemos las dos últimas ecuaciones dividiéndolas entre llegaríamos al resultado y = 6 x, que no es la solución correcta (ver más abajo). La solución de mínimos cuadrados de este sistema se puede hallar resolviendo el sistema Ax = b donde b es la proyección ortogonal de b sobre el espacio columna de A. En este caso, como las dos columnas a, a de A son ortogonales, el vector b se halla fácilmente: b = ( b a ) ( b a ) a a + a = 8 a a a La solución de Ax = b nos la dan evidentemente los coeficientes en esta combinación lineal: x = 9 7, es decir, a = 7 9 por tanto la curva pedida es y = 9 7 x.

21 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.6. Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas 6.6. Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas Ejemplo de una diagonalización de una matriz simétrica Matrices hermitianas Los autovalores de las matrices reales simétricas o complejas hermitianas son reales Existe una fórmula que nos permite calcular el autovalor correspondiente a cualquier vector propio de una matriz. Si x un vector propio de una matriz A (real o compleja), entonces la fórmula x Ax = x λ x = λ x, x = λ x implica que el autovalor de x es: λ = x Ax x. (6.6) Esta fórmula tiene una consecuencia especial si A es una matriz hermitiana. Se llama matriz hermitiana a toda matriz A (real o compleja) que es igual a su traspuesta conjugada: A = A. (6.7) Definición de matriz hermitiana Esta propiedad es equivalente a A = A T y en el caso de que A sea real simplemente significa que A es igual a su traspuesta, es decir, que es simétrica: las matrices hermitianas reales son exactamente las matrices reales simétricas. Supongamos que A es una matriz hermitiana. Entonces A = A T y con un simple cálculo se comprueba que el numerador en (6.6) es necesariamente real porque su conjugado es él mismo: x Ax = x A x = x T A T x = ( x T A T x ) T (A = A T por ser hermitiana.) (un número, como matriz, es simétrica.) = x T( A T) T (x T ) T = x Ax. De esto se deduce que λ es un número real y por tanto llegamos a la siguiente conclusión: TEOREMA 6.6. Para cualquier matriz compleja hermitiana (o real simétrica) de tamaño n n sus n autovalores son reales. Matrices ortogonalmente diagonalizables Se dice que una matriz real A es ortogonalmente diagonalizable si existe una diagonalización A = QDQ donde la matriz Q de autovectores es una matriz ortogonal, es decir Q = Q T. Esto es lo mismo que decir que A admite un sistema ortonormal de vectores propios. Toda matriz real ortogonalmente diagonalizable es simétrica porque Si A = QDQ T entonces A T = ( QDQ T) T = ( Q T ) T D T Q T = QDQ T = A. La situación análoga en el caso complejo (y que engloba a la anterior del caso real) es la de una matriz unitariamente diagonalizable. Una matriz compleja tiene esta propiedad si admite una diagonalización A = UDU en la que U es una matriz unitaria, es decir que cumple

22 6.6. Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas 6. Ortogonalidad y Valores Singulares U = U. Un razonamiento similar al anterior demuestra que toda matriz unitariamente diagonalizable es hermitiana. Supongamos que A es una matriz hermitiana y que x es un vector propio de A con autovalor λ y x es otro vector propio con autovalor λ, es decir: Ax = λ x, x = Ax = λ x, x =. Entonces si el producto escalar de x y x se multiplica por λ el resultado es el mismo que si se multiplica por λ : λ x, x = λ x, x = Ax, x = x Ax = x A x = (Ax ) x = x, Ax = x, λ x = λ x, x = λ x, x. donde hemos tenido en cuenta que λ = λ porque los autovalores de una matriz hermitiana son reales. En consecuencia, si λ = λ entonces x, x =, es decir: Para cualquier matriz hermitiana, los vectores propios correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales. Y también: Para cualquier matriz hermitiana, los espacios propios correspondientes a autovalores diferentes son ortogonales: Si λ = λ, entonces E λ E λ. En particular esto es cierto para cualquier matriz hermitiana real, es decir para cualquier matriz real simétrica. Corolario: Para toda matriz A hermitiana n n que sea diagonalizable existe una base ortogonal de C n formada por vectores propios de A. Y, en particular, Para toda matriz A real simétrica n n que sea diagonalizable existe una base ortogonal de R n formada por vectores propios de A. Si existe una base ortogonal de R n (o de C n en el caso no real) formada por vectores propios de A, podemos normalizar cada vector de esa base y obtener una base ortonormal. Entonces, la matriz de diagonalización correspondiente es una matriz en la que el producto escalar de dos columnas cualesquiera es cero si son distintas y si son la misma. Esto significa que en esa diagonalización de A, A = UD U U verifica U U = I (lo que en el caso real significa: U T U = I). Toda matriz que cumpla esta propiedad se llama una matriz unitaria (evidentemente, las matrices unitarias reales son lo mismo que las matrices ortogonales que ya encontramos en el tema anterior). Toda matriz que admita una diagonalización mediante una matriz unitaria se dice que es unitariamente diagonalizable. Así, el corolario anterior es equivalente a decir que toda matriz hermitiana diagonalizable es unitariamente diagonalizable. Y en el caso de las matrices reales: toda matriz real simétrica diagonalizable es ortogonalmente diagonalizable.

23 6. Ortogonalidad y Valores Singulares 6.6. Diagonalización de matrices simétricas o hermitianas El teorema de Schur Los resultados anteriores los hemos demostrado con razonamientos muy sencillos y observaciones muy simples. En realidad se puede demostrar mucho más con algo más de esfuerzo: lo verdaderamente sorprendente de las matrices hermitianas/reales simétricas es que en los anteriores resultados (y, en particular, en los del último párrafo) sobra la hipótesis de que la matriz sea diagonalizable, pues toda matriz hermitiana es diagonalizable y toda matriz real simétrica es diagonalizable. Esto es consecuencia de un teorema conocido como teorema de Schur según el cual absolutamente todas las matrices cuadradas admiten una factorización de Schur. DEFINICIÓN 6.6. Una factorización de Schur de una matriz A es una factorización de la forma: donde U es una matriz unitaria y R es una matriz triangular superior. A = UR U (6.8) factorización de Schur TEOREMA 6.6. Teorema de Schur Toda matriz cuadrada admite una factorización de Schur. Si A es una matriz real, una factorización real de Schur de A es una factorización de Schur factorización real de Schur en la que la matriz U también es real (y por tanto es una matriz ortogonal). El teorema de Schur para matrices reales dice: TEOREMA 6.6. Teorema de Schur para matrices reales Para que una matriz real admita una factorización real de Schur es condición necesaria y suficiente que todos sus autovalores sean reales. Más abajo se indican las ideas principales en que se basa la demostración de este teorema, pero antes de eso vamos a establecer la siguiente consecuencia importante: Corolario: Toda matriz real simétrica es diagonalizable. Para demostrarlo, supongamos que A es una matriz real simétrica. Según vimos antes (pág.??) todos los autovalores de A son reales y por tanto, según el teorema de Schur, A admite una factorización real de Schur: A = UR U. Entonces R = U T A U y R T = (U T A U) T = U T A T (U T ) T = U T A U = R luego R es simétrica y triangular, lo que implica que es diagonal y la factorización de Schur de A es realmente una diagonalización (ortogonal) de A. En la demostración del teorema de Schur se usa el siguiente cálculo de matrices por bloques: Ejercicio: Si a R, v R n y A, B, C son tres matrices n n, con C inversible, se cumple: ( ) ( a v T C ) ( ) a v T =. (6.9) A B C ABC