Breve introducción a Matrices

Transcripción

1 Matriz inversa Breve introducción a Matrices En el apartado anterior vimos el producto de matrices y si en particular nos dedicamos a las matrices cuadradas de orden n es decir el anillo unitario (M nxn,+,., sabemos que en él existe un elemento neutro que representábamos como I n. A partir de lo anterior podemos preguntarnos si dada una matriz A M nxn existe otra matriz B M nxn de forma que se verifique: A.B = B.A = I n Si tal matriz B existe, diremos que es la matriz inversa de A y la representaremos como A. Veamos mediante ( un ejemplo cómo calcular la matriz inversa de una dada a partir de la definición: ( 2 a b Sea A =, si existiera su matriz inversa, debería tener el siguiente aspecto B = c d con a,b,c,d R y de acuerdo a la definición debería cumplirse ( ( ( ( ( 2 a b a b 2 0. =. = c d c d lo que es equivalente a resolver el siguiente sistema a +2c = 2a +8c = 0 que acepta como conjunto solución S = { (2, b +2d = 0 2, 2, }. 2b +8d = De lo anterior deducimos que la matriz B = ( es la matriz inversa de la matriz A. Como vemos, para investigar aplicando la definición si una matriz cuadrada admite inversa nos conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, cosa que será más o menos tediosa pero para lo cual tenemos métodos. Veamos ahora cómo calcular la matriz inversa de una matriz A (en el caso de que exista, mediante el método de Gauss-Jordan. Este método nos permite encontrar la matriz inversa efectuando transformaciones elementales 2, esquemáticamente consiste en partir de una matriz formada por A y de una matriz identidad 3, que llamaremos matriz ampliada y que representaremos por (A I : (A I = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Si una matriz cuadrada admite inversa diremos que es no singular 2 Las mismas que vimos en la escalerización de sistemas 3 Del mismo orden que A

2 207 luego aplicamos las transformaciones elementales adecuadas hasta llegar a una matriz (B I, del tipo: b b 2 b n b 2 b 22 b 2n b n b n2 b nn la matriz B resultante, será la matriz A. Veamos un ejemplo de aplicación del método de Gauss-Jordan para la determinación de la inversa de una matriz A. Consideremos como A la misma matriz utilizada en el ejemplo anterior, con lo que la matriz ampliada (A I será: (A I = 0 hagamos que el elemento que ocupa la posición a 2 sea 0, para lo cual cambiaremos la segunda fila por ella menos la primera multiplicada por dos: 0 F 2 F 2 2F ahora haremos que el coeficiente a 22 sea uno, para lo cual dividiremos la segunda fila por : F 2 F finalmente solo queda hacer que el coeficiente a 2 sea cero, para lograrlo cambiaremos la primer fila por ella menos la segunda por dos: 2 0 F F 2F 2 ( Qué pasaría si una o más filas de la matriz (B I fuese nula?

3 207 ( 2 con lo que tenemos que la matriz inversa de A es la matriz B = 2 2 Teorema 5. Sean A y B matrices no sigulares de igual orden, entonces: i ( A = A ii A.B es no singular y se cumple que (A.B = B.A. Demostración La parte i surge inmediatamente de la definición de matriz inversa, veamos la demostración de ii. Supongamos que X = B.A se trata de probar que (A.B.X = I, pero como tenemos que: (A.B. ( B.A = A. ( B.B.A = A.I.A = A.A = I queda probado que X es la matriz inversa de A.B. 6 - Rango de una matriz Como se supone que ya hemos trabajado con sistemas de ecuaciones lineales y trabajamos también con el método de Gauss-Jordan, sabemos entonces escalerizar un sistema, a partir de ahí, definiremos matriz escalonada y será justamente para este tipo de matrices que definiremos en primera instancia el concepto de rango para luego ampliarlo a una matriz cualquiera. Def. 6. Una matriz escalonada es una matriz tal que: i si una fila es nula, las siguientes lo son, ii si el primer término no nulo de la fila i está en la columna j entonces el primer término no nulo (si existe de la fila i + está en la columna j + o en una posterior. Def. 6.2 El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Usaremos la notación rang(a. Def. 6.3 El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada obtenida de la primera mediante transformaciones elementales.

4 207 Ejercicios Cuando sea posible, halla la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: a 3 d b c c Hemos visto que no toda matriz cuadrada admite inversa, pero en caso de admitir será única?. 3 Comprueba si para la matriz siguiente se cumple que (A t = (A t : ( Encuentra la matriz X que verifica: A.X + B = C siendo: A = ( 2 B = ( 2 C = ( Considera las matrices siguientes: ( 2 A = B = ( 2 C = ( Calcula la matriz X para que se cumpla: A 2.X B = C 6 Halla X para que se cumpla que A.X.A = I siendo 2 0 A = 0 0

5 207 7 Halla la matriz X tal que X = A.X + B donde 0 0 A = 0 0 y B = Justifica que si una matriz cuadrada tiene una columna (fila formada por ceros entonces es singular. 9 Calcula el rango de las matrices siguientes: A = B = C = Calcular el rango de la matriz A en función del parámetro α R 3 A = α 6 0