Sistemas Lineales y Matrices

Transcripción

1 Profesores Hernán Giraldo y Omar Saldarriaga Instituto de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia

2 Ejemplo Solución de sistemas de ecuaciones lineales, usaremos este ejemplo para introducir el método de solución conocido como reducción Gauss-Jordan en matrices Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas: x + 3y = 4 (1) 4x + 6y = 10 (2) Existen varios métodos para resolver este sistema, por la similitud con el método que expondremos en esta sección destacamos el de eliminación

3 Ejemplo Al sistema lineal [ ] x + 2y = 3 le corresponde la matriz de coeficientes 4x + 5y = 6 A un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas, a 11x a 1nx n = b 1 a m1x a mnx n = b m, se le asocia la matriz de tamaño m (n + 1) a 11 a 1n b 1 a mn a 1n b m llamada la matriz de coeficientes o matriz asociada

4 Ejemplo Al sistema lineal [ ] x + 2y = 3 le corresponde la matriz de coeficientes 4x + 5y = 6 A un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas, a 11x a 1nx n = b 1 a m1x a mnx n = b m, se le asocia la matriz de tamaño m (n + 1) a 11 a 1n b 1 a mn a 1n b m llamada la matriz de coeficientes o matriz asociada

5 Definición Una matriz real es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n columnas a 11 a 1n ; a m1 a mn donde a ij es un número real para i = 1,, m y j = 1,, n A esta matriz se le llama una matriz de tamaño m n

6 Ejemplo [ ] 1 1 A = es una matriz de tamaño 2 2 Esta matriz la definimos en 2 0 MatLab de la siguiente forma: >> A = [1, 1; 2, 0] y MatLab guardaría la matriz como el arreglo rectangular A =

7 Teorema Sean A, B y C matrices de tamaños m n, α y β escalares, entonces tenemos 1 (A + B) + C = A + (B + C) 3 A + ( 1A) = 1A + A = O 5 α(a + B) = αa + αb 7 (αβ)a = α(βa) 2 A + O mn = O mn + A = A 4 A + B = B + A 6 (α + β)a = αa + βa 8 1A = A

8 Teorema Sean A y C matrices de tamaños m n y n q respectivamente, entonces se tiene lo siguiente: 1 I ma = A y AI n = A En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AI n = I na = A 2 O km A = O kn y AO nk = O mk para cualquier k = 1, 2, 3, En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AO nn = O nna = O nn 3 (A + B)C = AC + BC, donde B es una matriz de tamaño m n 4 A(B + C) = AB + AC, donde B es una matriz de tamaño n q

9 Lema Sean A = A 1 A m una matriz de tamaño m n donde A 1,, A m son las filas de A, B = [ ] B 1 B q de tamaño n q donde B1,, B q son las columnas de B y x = x 1 x q un vector columna, entonces 1 Las columnas del producto AB son los vectores columna AB1,, AB q, es decir AB = [ AB 1 AB q ] 2 Las filas del producto AB son los vectores fila A 1 B,, A m B, esto es, A 1 B AB = A m B 3 El producto Bx es el vector x1b x qb q Es decir, el vector Bx es una combinacion lineal de las columnas de B con coeficientes tomados de x

10 Definición (Inversa de una Matriz) Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, decimos que A es invertible si existe una matriz B de tamaño n n tal que AB = BA = I n Teorema Toda matriz se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida Mas concretamente, si A es una matriz de tamaño m n, existen matrices elementales E 1,, E k todas de tamaño m m y una matriz escalonada reducida A tal que A = E 1 E k A

11 Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 A tiene inversa a la derecha 2 El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m 3 rango(a) = m = número de filas de A 4 La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva

12 Teorema Sea A una matriz de tamaño m n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 A tiene inversa a la izquierda 2 El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R m 3 La función T A : R n R m definida por T A(x) = Ax es inyectiva 4 El sistema Ax = θ m tiene solución única 5 rango(a) = n = número de columnas de A

13 Teorema (Caracterización de una matriz invertible) Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1 A es invertible 2 A tiene inversa a la izquierda 3 El sistema Ax = b tiene a lo sumo una solución para cada b R n 4 La función T A : R n R n definida por T A(x) = Ax es inyectiva 5 El sistema Ax = θ n tiene solución única 6 rango(a) = n = número de columnas de A = número de filas dea 7 A tiene inversa a la derecha 8 El sistema Ax = b tiene solución para cada b R m 9 La función T A : R n R n definida por T A(x) = Ax es sobreyectiva 10 La función T A : R n R n definida por T A(x) = Ax es biyectiva 11 A t es invertible 12 A es un producto de matrices elementales