ÁLGEBRA LINEAL CON EL USO DE MATLAB AUTORES

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1 ÁLGEBRA LINEAL CON EL USO DE MATLAB AUTORES Omar Saldarriaga PhD, State University of New York at Binghamton Profesor Asociado Instituto de Matemáticas Universidad de Antioquia Hernán Giraldo PhD, Universidad de São Paulo Profesor Asociado Instituto de Matemáticas Universidad de Antioquia

2 ii c Copyright by Omar Saldarriaga, 2 All rights reserved

3 Índice general Álgebra de matrices 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 2 Operaciones con Matrices y Vectores 6 3 Inversa de una Matriz 25 4 Matrices Elementales 28 5 Inversas Laterales 36 2 Espacios Vectoriales 45 2 Definición y Ejemplos Subespacios 5 23 Independencia Lineal Conjuntos generadores Bases Subespacio generado por un conjunto de vectores Subespacios fundamentales 7 28 Subespacio generado El Teorema de la base incompleta en R m 8 3 Transformaciones Lineales 85 3 Definición y Ejemplos Transformaciones Lineales Inyectivas 9 33 Transformaciones Lineales Sobreyectivas Isomorfismos Espacios Vectoriales Arbitrarios 35 Transformaciones lineales entre espacios vectoriales arbitrarios 3 36 Propiedades de los Espacios Vectoriales 37 Suma Directa de Espacios 4 iii

4 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 4 Ortogonalidad en R n 9 4 Producto interno en R n 9 42 Proyección Ortogonal sobre un Vector La matriz proyección Proyección Ortogonal sobre un Subespacio 3 44 Mínimos Cuadrados El Proceso Gramm-Schmidt La Factorización QR de una Matriz 52 5 Determinantes 57 5 Definición y ejemplos Determinantes y operaciones elementales de fila Propiedades del determinante Matriz Adjunta La Regla de Cramer Interpretación Geométrica del Determinante 79 6 Valores y Vectores Propios 87 6 Polinomio Característico Matrices Similares Cambio de Base 2 63 La matriz de una transformacion con respecto a dos bases Diagonalización Matrices Simétricas y Diagonalización Ortogonal Formas Cuadráticas Ejercicios Aplicaciones Potencia de una matriz Relaciones de recurrencia Cadenas de Markov Exponencial de una matriz diagonalizable Sistemas Lineales de Ecuaciones diferenciales 229

5 2

6 Capítulo Álgebra de matrices En este capítulo veremos Las letras m,n, i, j y k denotarán números enteros positivos y denotaremos por R el conjunto de los números reales mín{m,n} es el menor número entre m y n el conjunto de matrices de tamanõ m n será denotado por M mn (R) y por M n (R) cuando m = n El conjunto vacío?? Sistemas de Ecuaciones Lineales Comenzamos esta sección ilustrando un ejemplo del tema central del capítulo, el cual es la solución de sistemas de ecuaciones lineales, y usaremos este ejemplo para introducir el método de solución conocido como reducción Gauss-Jordan en matrices Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas: x+3y = 4 () 4x+6y = (2) Existen varios métodos para resolver este sistema, por la similitud con el método que expondremos en esta sección destacamos el de eliminación Este método usa dos operaciones básicas para llevar a la solución de un sistema lineal las cuales son: Sumar un múltiplo de una ecuación a otra ecuación con el objetivo de eliminar una de las variables, por ejemplo la operación -4 Ecuación() + Ecuación(2) elimina la variable x y produce la ecuación 6y = 6 2 Multiplicar una ecuación por una constante no cero con el objetivo de simplicarla, por ejemplo si multiplicamos la nueva ecuación 6y = 6 por 6 obtenemos y = 3

7 4 3 Si multiplicamos esta última ecuación (y = ) por -3 y se la sumamos a la Ecuación (), obtenemos x = Finalmente la solución al sistema está dada por los valores: x = y y = Los métodos que veremos en este libro son: El método de reducción Gauss-Jordan, el cual veremos en esta sección 2 El método de multiplicación por la matriz inversa, este método solo funciona en algunos casos, ver Teorema 2 en la Sección 3 3 El método de multiplicación por la inversa a la izquierda de la matriz, este método solo funciona en algunos casos, ver Sección 5 4 La regla de Cramer, ver Sección 55 Retomando las soluciones para un sistema, vale la pena notar que si tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas, hay tres posibles respuestas y estas son: El sistema tiene solucion única (como en el ejemplo ilustrado anteriormente) 2 El sistema no tiene solución (o solución vacía), caso en el cual, decimos que es inconsistente 3 El sistema tiene infinitas soluciones, caso en el cual decimos que el sistema es redundante Cuando se tiene una ecuación lineal en dos variables, esta representa una línea recta en el plano, las tres posibles soluciones descritas corresponden a las diferentes posibilidades geométricas las cuales son: las rectas se intersectan (solución única), las rectas son paralelas (solución vacía) o las rectas coinciden (infinitas soluciones) Estas se ilustran en la Figura Cuando tratamos de resolver un sistema 3 3, de tres ecuaciones en tres incógnitas, también podemos obtener, al igual que en el caso anterior (caso 2 2), tres posibles respuestas: solución única, solución vacía o infinitas soluciones En este caso, una ecuación en tres variables representa un plano en el espacio, las posibilidades geométricas se muestran en las Figuras y Sin embargo, a diferencia del caso 2 2, la solución vacía no se obtiene exclusivamente en el caso de que los planos sean paralelos como se observa en la Figura También se puede ver en la Figura que hay diferentes casos que conducen a infinitas soluciones y no solo cuando los planos coinciden Uno de los objetivos de la sección es mostrar que aún en dimensiones mayores se presentan exactamente las mismas tres posibilidades El caso general lo resolveremos usando matrices, asociaremos a cada sistema lineal una de estas y aplicaremos operaciones elementales de fila para resolver el sistema Las operaciones elementales de fila sobre matrices son simplemente operaciones equivalentes a las mencionadas en el método de eliminación al principio de la sección

8 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 5 Definición Una matriz real es un arreglo rectangular de números reales en m filas y n columnas a a n ; a m a mn donde a ij es un número real para i =,,m y j =,,n A esta matriz se le llama una matriz de tamaño m n En esta sección se esta interesado en operaciondes de fila de una matriz, así en esta sección se donotará la i-ésima fila de una matriz A por F i Además, de ahora en adelante el conjunto de matrices de tamanõ m n será denotado por M mn (R) y por M n (R) cuando m = n Ejemplo (MatLab) A = es una matriz de tamaño 2 2 Esta matriz la definimos en MatLab 2 de la siguiente forma: >> A = [, ;2, y MatLab guardaría la matriz como el arreglo rectangular A = 2 En general, para definir matrices en MatLab se escriben las entradas entre corchetes, escribiendo las entradas de las filas separadas con coma y separando las filas con punto y coma A un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas, a x + +a n x n = b a m x + +a mn x n = b m, se le asocia la matriz de tamaño m (n+) a a n b a mn a n b m llamada la matriz de coeficientes o matriz asociada Cada fila de esta matriz tiene los coeficientes de cada una de las ecuaciones incluyendo el término constante al final de la misma y cada columna está asociada a una incognita excepto la última columna que contiene los términos independientes x+2y = 3 Ejemplo 2 Al sistema lineal le corresponde la matriz de coeficientes 2 3 4x+5y = Las operaciones descritas al principio de la sección que se realizan sobre las ecuaciones de un sistema lineal en el método de eliminacón se traducen en operaciones de fila sobre matrices, llamadas operaciones elementales de fila, las cuales describimos a continuación

9 6 Definición 2 Sea A una matriz de tamaño m n, una operación elemental de fila sobre A es una de las siguientes operaciones: Multiplicar una fila por una constante no cero Se usará la notación cf i F i para indicar que se multiplica la fila i por la constante c 2 Sumar un múltiplo de una fila a otra fila Se usará la notación cf i +F j F j para indicar que se le suma c veces la fila i a la fila j En estos dos pasos, la fila que aparece después de la flecha es la fila que se debe modificar o simplemente, a la que se le debe aplicar la operación 3 Intercambiar dos filas Se usará la notación F i F j para indicar que se debe intecambiar la fila i con la fila j x+3y = 4 Ejemplo 3 Al principio de la sección resolvimos el sistema de ecuaciones aplicando las operaciones 4x+6y = -4 Ecuación más Ecuación 2, de la cual obtenemos la ecuación 6y = 6, 2 multiplicamos esta última ecuación por 6, obteniendo y =, 3 finalmente de, -3 ecuación (y = ) más Ecuación, obtenemos x = Como en la matriz asociada a un sistema lineal las ecuaciones se representan en filas, estas operaciones se traducen en operaciones de fila, de hecho, la primera operación se traduce en la operación de fila 4F +F 2, la segunda en 6 F 2 y la tercera en 3F 2 +F Al aplicar estas operaciones obtenemos F2+F F F +F 2 F 2 6 F2 F2 De esta última matriz obtenemos las ecuaciones x = y y = las cuales nos dan la solución al sistema Este último ejemplo ilustra el método de solución de un sistema lineal con operaciones de fila sobre matrices, el cual es el objetivo de la sección Para ilustrar el caso general debemos mostrar como aplicar operaciones de fila sobre una matriz de una manera eficiente que garantice una solución, una manera efectiva es llevar la matriz a una matriz en forma escalonada reducida, la cual definimos a continuación Definición 3 Sea A una matriz de tamaño m n, decimos que A está en forma escalonada reducida si A satisface las siguientes condiciones: Todas las filas nulas (filas donde todas las entradas, en esa fila, son ceros) están en la parte inferior de la matriz 2 La primera entrada no cero de una fila no nula es un uno A esta entrada se le llama pivote 3 Si dos filas consecutivas son no nulas, entonces el pivote de la fila de arriba está mas a la izquierda del pivote de la fila de abajo

10 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 7 4 Todas las entradas de una columna donde haya un pivote son cero, excepto la entrada donde está el pivote Ejemplo 4 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida: A =, B =, C =, D =, E =, F = y G =, donde las entradas * representan un número real arbitrario De hecho estas son todas las posibles formas escalonadas reducidas que se obtienen de matrices 3 3 no nulas Ejemplo 5 (MatLab) La forma escalonada reducida de una matriz se calcula en MatLab con el comando 2 3 rref como se muestra a continuación Sea A = 3 2, 2 8 >> format rat, A = [,2,3, ;,3, 2, ;2,, 8,;R = rref(a) R = El comando format rat se usa para que MatLab entregue la respuesta con números racionales en cada entrada de la matriz El proceso de aplicar operaciones elementales de fila sobre una matriz hasta llevarla a su forma escalonada reducida se le conoce como reducción Gauss-Jordan Este proceso nos lleva también a determinar si el sistema tiene solución y a encontrarla en el caso de que exista (ver Teorema 2) Primero debemos garantizar que es posible llevar cualquier matriz a una matriz en forma escalonada reducida por medio de operaciones elementales Teorema Aplicando reducción Gauss-Jordan, toda matriz se puede llevar a una forma escalonada reducida Mas que dar una idea de la prueba, lo que presentamos a seguir, es una descripción de un algoritmo para calcular la forma escalonada reducida de una matriz Bosquejo de la demostración La demostración se hace por inducción sobre el número de columnas de A Si A tiene una columna y A = entonces A ya está en forma escalonada reducida Si A tomamos a i la primera entrada no nula de A para algún i, entonces intercambiamos la primera fila con la i-ésima fila

11 8 obteniendo la matriz a i a i+, a m (3) Para reducir esta matriz, multiplicamos la primera fila por a i obteniendo una matriz con un uno en la primera posición y a continuación se usa esta entrada para anular el resto de las entradas como se muestra a continuación a i a i+, a m a F i F a i+, a m a i+,f +F i+ F i+ a mf +F m F m como esta última está en forma escalonada reducida obtenemos el resultado para matrices con una columna Ahora supongamos que el resultado es cierto para matrices con n columnas y sea A una matriz con n columnas, usando la inducción obtenemos que podemos reducir las primeras n columnas hasta obtener una matriz en la forma a n a 2n a kn a k+,n a mn Si las entradas a k+,n,,a mn son todas iguales a cero, entonces esta última matriz ya está en forma escalonada reducida, en caso contrario, suponemos sin pérdida de generalidad que a k+,n, ya que si esta es cero haciendo un intercambio de fila podemos llevar una entrada diferente de cero que este por debajo de ésta, como se hizo en (3), después multiplicamos la fila k + por a k+,n obteniendo a n a 2n a kn a k+,n a mn a k+,n F k+ F k+ a n a 2n a kn a mn Finalmente, usando este, empleamos operaciones elementales para anular las demás entradas de esta columna como se muestra a continuación a n a 2n a kn a mn a n F k+ +F F a 2n F k+ +F 2 F 2 a kn F k+ +F k F k a k+2n F k+ +F k+2 F k+2 amn F k++f m F m, como esta última matriz está en forma escalonada reducida obtenemos por inducción que cualquier matriz se puede reducir a una matriz en forma escalonada reducida

12 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 9 Ejemplo 6 Calcular la forma escalonada de reducida de la matriz A = Aunque sabemos que podemos usar MatLab para calcular esta reducción, es importante también entender el algoritmo propuesto en el teorema anterior, el cual basicamente nos dice que la reducción la podemos hacer columna por columna Como la primera columna no es nula pero su primera entrada es cero, entonces intercambiamos la fila cuya primera entrada sea no nula, en este caso la segunda fila, como esto se debe hacer usando operaciones elementales, entonces intercambiamos la primera y la segunda fila F F Luego multiplicamos la primera fila por 2 para obtener el pivote en la primera columna y después usamos este pivote para anular las demás entradas de esta columna, como se muestra a continuación F F F +F 3 F 3 2 El pivote en la segunda columna, si existiera, debería estar en una fila debajo de la primera y como la segunda y tercera entrada son ceros, entonces no hay pivote en esta columna, por tanto la tercera entrada en la segunda fila es el siguiente pivote, usamos esta entrada para anular las demás entradas en la tercera columna, así F 3 2 +F F F 2 +F 3 F 3 2 Finalmente, la cuarta entrada en la tercera fila debe ser el siguiente pivote, para convertirlo en un uno, multiplicamos la tercera fila por -2 y después usamos el pivote para anular las demás entradas en la cuarta columna, esto lo hacemos de la siguiente forma F 3 +F F F 3 +F 2 F 2 (4) 2 2F 3 F 3 Por tanto la matriz es la forma escalonada reducida de A El algoritmo anterior es el que se deduce del bosquejo de la demostración del teorema anterior, en donde se calculan los pivotes columna por columna, otra forma de aplicar reducción Gauss-Jordan es calculando los pivotes fila por fila en donde se debe aplicar la definición paso a paso

13 Por ejemplo, si queremos calcular la forma escalonada reducida de la matriz A de esta forma, nótese que el pivote en cada fila debe ser la primera entrada no nula de la fila, por tanto la tercera entrada de esta fila debe ser el primer pivote, luego usamos esa entrada para anular las demás entradas en su respectiva columna como se indica a continuación F +F 2 F F +F 3 F Con estos pasos estamos garantizando el cumplimiento de la condiciones 2 y 4 de la Definición 3 El siguiente paso es encontrar el pivote en la segunda fila convertirlo en un uno y usarlo para anular las restantes entradas en su respectiva columna Para la segunda fila se tiene que el pivote corresponde a la primera entrada en esta fila, para convertirlo en un se multiplica la segunda fila por F 2 F después se usa el pivote para anular las demás entradas en su columna, en este caso, la primera columna F 2 +F 3 F 3 2 Antes de continuar con el siguiente pivote notemos que los pivotes en esta última matriz no satisfacen la condición 3 de la Definición 3, ya que el pivote de la segunda fila está a la derecha del primer pivote y no a la izquierda, para organizarlos, intercambiamos las dos primeras filas: 3 F F Finalmente observamos que la primera entrada no nula de la tercera fila es la última entrada en esta fila, para convertirla en un uno y anular la otras entradas de la última columna repetimos los pasos que hicimos en (4) y obtenemos nuevamente que la matriz es la forma escalonada reducida de A Ejemplo 7 Calcule la forma escalonada reducida de la matriz A =

14 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO Las operaciones para reducir esta matriz son las siguientes: F F F +F 2 F F +F 3 F 3 F 2 +F F 2 2F +F 3 F F 2 F Ahora que sabemos que toda matriz se puede llevar, por medio de operaciones elementales, a una matriz en forma escalonada reducida, debemos también saber para que nos sirve este resultado en términos de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales El siguiente teorema nos muestra la utilidad de poder reducir matrices a su forma escalonada reducida ya que de esta última podemos determinar si un sistema tiene soluciones y en el caso afirmativo también nos permite saber si la solución es única o existen infinitas Teorema 2 Considere el sistema de ecuaciones a x + +a n x n = b a a n b, sea A = a m x + +a mn x n = b m a m a mn b m la matriz de coeficientes asociada al sistema y sea A la forma escalonada reducida de A Tenemos los siguientes casos: Si A tiene pivote en todas las columnas excepto la última entonces el sistema tiene solución única 2 Si A tiene pivote en la última columna entonces el sistema tiene solución vacía 3 Si A no tiene pivote en la última columna y hay al menos otra columna sin pivote entonces el sistema tiene infinitas soluciónes c Demostración En este caso tenemos que A = y posiblemente algunas filas de ceros c n al final, las cuales omitimos al no aportar ninguna información adicional De esta matriz se obtienen las ecuaciones x = c,,x n = c n la cuales corresponden a la única solución al sistema 2 Como A tiene un pivote en la última columna y un pivote es la primera entrada no nula de una fila [ entonces tenemos que la matriz A tiene una fila de la forma y de esta fila se obtiene la ecuación =, lo cual implica que el sistema es inconsistente 3 Supongamos sin pérdida de generalidad que las dos últimas columnas de A no tienen pivote y que las

15 2 demás si, entonces A tiene la forma c d A = c n d n y posiblemente algunas filas cero de las cuales precindimos Así obtenemos las ecuaciones x + c x n = d,,x n +c n x n = d n o equivalentemente x = d c x n,, x n = d n c n x n Las cuales corresponden a las soluciones del sistema y por cada valor asignado a la variable x n obtenemos una solución, por tanto el sistema tiene infinitas soluciones Un razonamiento similar demuestra esta afirmación cuando la columna sin pivote está en una columna diferente y también en el caso en donde hay varias columnas sin pivotes A las variables correspondientes a columnas sin pivote se les llamará variables libres y a las demás se les llamará variables básicas o no libres La siguiente obervación nos servirá más adelante Observación Los recíprocos de las tres afirmaciones del teorema anterior también son ciertos, en la Sección 4 veremos que las operaciones elementales de fila son reversibles lo cual permite aplicar operaciones elementales de fila a A hasta recuperar la matriz A lo que nos lleva de las soluciones al sistema original Corolario 3 Un sistema lineal con más variables que ecuaciones (n > m) nunca tiene solución única Ejemplo 8 En este ejemplo se muestra las posibles soluciones para sistemas 2 2 según sus matricces escalonadas reducidas x+2y = 3 En el Ejemplo 3 se obtuvo que al sistema lineal le corresponde la matriz de coeficientes 4x+5y = y que la matriz escalonada reducida era Por el Teorema 2 el sistema tiene solución única y esta dada por x = y y =, la cual se muestra en la Figura 3 2 Al sistema lineal 3 le corresponde la matriz de coeficientes y su matriz escalonada x+y = 3 reducida es 3 Por el Teorema 2 el sistema tiene solución vacía, lo cual se muestra en la Figura x+3y = 3 3 Al sistema lineal le corresponde la matriz de coeficientes 3 3 y su matriz escalonada 2x+6y =

16 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 3 reducida es Figura 3 3 Por el Teorema 2 el sistema tiene infinitas soluciones, lo cual se muestra en la Ejemplo 9 Determine si el sistema x +x 2 +x 3 +x 4 = 4 tiene soluciones y en el caso afirmativo escribalas x 3 x 4 = 3 de forma paramétrica Solución La matriz de coeficientes es 4 y su forma escalonada reducida está dada por A = 3 2 Por el Teorema 2 el sistema tiene infinitas soluciones las cuales se pueden dar en forma 3 paramétrica leyendo el sistema de ecuaciones de la matriz A, las cuales son x +x 2 +2x 4 = y x 3 x 4 = 3, y escribiendo las variables básicas en términos de las variables libres obtenemos x = x 2 2x 4 x 3 = 3 + x 4 De acuerdo a estas ecuaciones las variables x 2 y x 4 toman valores arbitrarios y por cada par de valores que se le asignen a estas variables, se tiene una solución particular, si a estas variables les asignamos valores paramétricos x 2 = t y x 4 = u obtenemos todas las soluciones paramétricas al sistema: x = t 2u x 2 = t x 3 = 3+u x 4 = u x+2y +3z = Ejemplo Considere el sistema 3y 2z = La matriz asociada al sistema está dada por A = 2x y 8z = cuya forma escalonada reducida R fué calculada en en el Ejemplo R = De aquí tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones las cuales estan dadas por x = z y = z,

17 4 asignando el valor paramétrico z = t a la variable libre z, obtenemos las soluciones paramétricas al sistema: x = t y = t z = t Ejemplo (MatLab) El sistema x+2y +3z = 2x y 8z = 2 3 A = Usando MatLab para calcular la forma escalonada reducida de A, 2x 4y 6z = tiene matriz asociada al sistema dada por (>>format rat, A = [,2,3, ;2, 4, 6, ;2,, 8,; R = rref(a)), obtenemos la matriz 3 3 R = 2 3 Como esta última matriz tiene un pivote en la última columna, entonces por el Teorema 2 el sistema no tiene solución Del Teorema 2 también se desprende el siguiente corolario, para el cual necesitamos la siguiente definición Definición 4 Un sistema lineal homogéneo es un sistema lineal de la forma a x + +a n x n = a m x + +a mn x n = es decir, un sistema donde todos los términos independientes son cero Corolario 4 Un sistema lineal homogéneo siempre tiene solución Terminamos la sección con la definición de rango de una matriz Definición 5 Sea A una matriz y A su forma escalonada reducida Definimos el rango de A, denotado por rango(a), como el número de pivotes de A Ejemplo 2 Para las matrices del Ejemplo 4 se tiene que, rango(a) = 3, rango(b) = rango(c) = rango(d) = 2 y rango(e) = rango(f) = rango(g) =

18 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 5 Problemas Use el método Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas x 2y +3z = 7 2x+4y 4z = 6 x+y z = 7 a 2x+y z = 7 b 2x 5y +4z = 6 c x y +z = 4 2x y z = 7 x+6y 4z = 3 2x+y +z = 3 d x+2y +3z = 4x+5y +6z = 2 7x+8y +9z = 4 e x+2y +3z +w = 7 4x+5y +6z +2w = 7 7x+8y +9z +4w = 7 f x+2y +3z +4w = x+2y +3z +3w = 2 x+2y +2z +2w = 3 x+ y + z + w = 2 Encuentre las soluciones paramétricas al sistema y úselas para calcular dos soluciones particulares: x 2y +3z +w = 3 y = 2 w = 3 Demuestre que el sistema 2x y +3z = α 3x+y 5z = β 5x 5y +2z = λ es consistente si y sólo si λ = 2α 3β 4 Para los sistemas cuyas matrices aumentadas están dadas en los numerales desde a hasta c determine los valores α y β para los cuales el sistema tiene: I Ninguna solución II Solución única III Infinitas soluciones y en este caso dar dos soluciones particulares α α a β b β c α+β α β 2 2α+β α+β α β α β α β 2 5 Muestre que el sistema ax+by = cx+dy = tiene solución si y sólo si ad bc = 6 Haga una lista de todas las matrices 3 4 que esten en forma escalonada reducida 7 Demuestre el Corolario 3 y el Corolario 4 8 Muestre que si el número de ecuaciones en un sistema lineal homogéneo es menor que el número de sus incógnitas, entonces el sistema tiene una solución no trivial

19 6 9 Muestre que efectuar operaciones elementales en un sistema de ecuaciones produce un sistema ecuaciones equivalente Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones Usando el Problema 9, muestre que un sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de ecuaciones que se obtiene de la correspondiente matriz escalonada reducida Si A es una matriz de tamaño m n, demuestre que el rango(a) mín{m,n} 2 Demuestre que el sistema homogenéo ax+by = cx+dy = tiene infinitas soluciones si y sólo si ad bc = 2 Operaciones con Matrices y Vectores En esta sección se expondrán las operaciones básicas entre matrices y vectores y se mostrarán las propiedades que estas operaciones satisfacen Definición 6 Definimos vector columna (fila) como una matriz con una sola columna (fila) [ Ejemplo 3 v = 2 es un vector columna y w = es un vector fila Definición 7 (Operaciones con matrices y vectores) a a n b b n (Suma de matrices) Sean A = y B = a m a mn b m b mn definimos la matriz A+B como la matriz dada por: a +b a n +b n A+B = a m +b m a mn +b mn matrices del mismo tamaño, Similarmente, definimos la suma de los vectores x = x y x +y y y = x como el vector x+y = n y n x n +y n [ a Identificando vectores v = a n con el vector en R n iniciando en el origen y terminando en el punto (a,,a n ), obtenemos que la suma de vectores se rige por la Ley del paralolegramo, ver Figura 7 En la siguiente figura vemos la representación geométrica de los vectores v = a a en R 2 y w = a 2 en R3 a 2 a 3

20 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 7 a a n 2 (Producto de una matriz por un escalar) Sea A = una matriz de tamaño m n y α un a m a mn escalar (constante real arbitraria), definimos la matriz α A como la matriz dada por αa αa n αa = αa m αa mn Similarmente, definimos el producto de un vector x = x x n por un escalar α R como el vector αx = αx αx n Ejemplo 4 (MatLab) Sean A = 3 y B = 3 Podemos calcular las matrices A+B y 2A en MatLab como sigue >> A = [,2;, 3;,; B = [ 2, 2;3,;,; A+B, 2 A Obteniedo las matrices: A+B = y 2 A = Notación Denotaremos por O mn a la matriz de ceros de tamaño m n, o simplemente por O si no hay lugar a confusión y al vector cero lo denotaremos por θ n o simplemente θ si no hay lugar a confusión Si A es una matriz, denotamos por A i el vector fila formado por la i-ésima fila de A y por A i el vector columna formado por la i-ésima columna de A El siguiente teorema establece las propiedades que satisfacen estas operaciones en matrices y vectores Teorema 5 Sean A, B y C matrices de tamaños m n, α y β escalares, entonces tenemos (A+B)+C = A+(B +C) 3 A+( A) = A+A = O 5 α(a+b) = αa+αb 7 (αβ)a = α(βa) 2 A+O mn = O mn +A = A 4 A+B = B +A 6 (α+β)a = αa+βa 8 A = A

21 8 De la Propiedad 3 de este teorema se observa que A es el inverso aditivo de A y este será denotado por A (el inverso aditivo de una matriz es único, ver Problema 24 ) En este sentido la diferencia de dos matrices A y B, A B, se define como: A+( B) El siguiente teorema establece las propiedades análogas que se cumplen para vectores Teorema 6 Sean x, y y z vectores con n componentes, α y β escalares, entonces tenemos (x+y)+z = x+(y +z) 3 x+( x) = x+x = θ n 5 α(x+y) = αx+αy 7 (αβ)x = α(βx) 2 x+θ n = θ n +x = x 4 x+y = y +x 6 (α+β)x = αx+βx 8 x = x A continuación se da la definición de producto interno de vectores y transpuesta de una matriz, lo cual permitirá definir el producto de matrices Definición 8 Sean x = x x n y y = y y n vectores columna de n componentes, definimos el producto interno o producto escalar de los vectores x y y, denotado por x y, por la fórmula x y = x y + +x n y n = n x i y i a a n Definición 9 Sea A = una matriz de tamaño m n, definimos la matriz transpuesta a m a mn de A, denotada por A t, como la matriz cuyas columnas son las filas de A, esto es: A t = a a n i= a m a mn Si una matriz A satisface que A t = A, decimos que A es simétrica Si una matriz A satisface que A t = A, decimos que A es antisimétrica Ejemplo 5 Si A = entonces A t = Si B = 2 entonces Bt = B y B es una matriz simétrica 2

22 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 9 Ejemplo 6 (MatLab) El comando en MatLab para calcular la transpuesta de una matriz es transpose Sea A = , así para calcular su transpuesta se hace: 45 9 >> A = [32,,78;3,56, 89;45,,9; T = transpose(a) Obteniedo la matriz T = A t = Ahora pasemos a definir el producto de matrices a a n Definición (Producto de matrices) Sea A = una matriz de tamaño m n y B = a m a mn b b q de tamaño n q Definimos el producto A B, usualmente denotado por AB, como la matriz b n b nq c c q de tamaño m q dada por AB = donde c ij = n k= a ikb kj = a i b j +a i2 b 2j + +a in b nj, c m c mq para i =,,m y j =,,q Notese que la ij-ésima entrada de la matriz AB es la suma de los productos de cada entrada en la fila i de A por la respectiva entrada de la columna j de B, esto es: a a n a i a in a m a mn b b j b q b n b nj b nq Este producto coincide con el producto escalar ( A i) t Bj, donde A i es la i-ésima fila de A y B j es la j-ésima columna de B Ejemplo 7 Calcular el producto AB donde A = 2 y B =

23 2 Solución Vamos a calcular cada una de las entradas c ij de la matriz AB: c = ( 2 2 A ) [ t t B = 2 = 2 = 2+2+ = 4, c 2 = ( A ) [ t t B2 = = = + =, c 2 = ( A 2) [ t t B = = 2 2 = = 3, 3 c 22 = ( 2 A 2) [ t t B2 = = 2 = +2+ = 2 3 De estos resultados tenemos AB = c c 2 = 4 c 2 c Ejemplo 8 (MatLab) Sean A = 2 y B = 2 las matrices del ejemplo anterior, podemos calcular el producto de matrices en MatLab usando el comando *, como se muestra a continuación: >> A = [,,;2,2, 3; B = [2,; 2,;,; C = A B, D = B A Obtienendo las matrices: C = y D = El ejemplo anterior nos muestra que el producto de matrices no es en general conmutativo pero si satisface la asociatividad Teorema 7 Sean A, B y C matrices de tamaños m n, n p y p q, respectivamente Entonces se tiene que A(BC) = (AB)C Demostración Sean a ij, b ij y c ij las entradas de las matrices A, B y C respectivamente, y sean d ij y e ij las entradas de las matrices AB y BC respectivamente Por definición del producto de matrices tenemos que n p d ij = a ik b kj y e ij = b ih c hj k= h=

24 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 2 Ahora, sean f ij y g ij las entradas de las matrices A(BC) y (AB)C respectivamente Entonces f ij = g ij = n a ik e kj = k= p d ih c hj = h= n p a ik b kh c hj = k= p h= h=k= n a ik b kh c hj = De las ecuaciones (5) y (6) tenemos que (AB)C = A(BC) n k=h= n p a ik b kh c hj y (5) k=h= p a ik b kh c hj (6) Una matriz con igual número de filas y columnas, es de decir de tamaño n n, se llama matriz cuadrada El producto de matrices cuadradas satisface otras propiedades importantes, entre ellas la existencia de una matriz neutra bajo el producto, a la cual se le llama la matriz identidad y se denota por I n Esta matriz se define por I n =, es decir, la matriz identidad es la matriz cuyas entradas en la diagonal principal son uno y ceros por fuera esta Listamos a continuación más propiedades de las operaciones con matrices Teorema 8 Sean A y C matrices de tamaños m n y n q respectivamente, entonces se tiene lo siguiente: I m A = A y AI n = A En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AI n = I n A = A 2 O km A = O kn y AO nk = O mk para cualquier k =,2,3, En particular si A es una matriz cuadrada de tamaño n n entonces AO nn = O nn A = O nn 3 (A+B)C = AC +BC, donde B es una matriz de tamaño m n 4 A(B +C) = AB +AC, donde B es una matriz de tamaño n q A continuación listamos tres propiedades, que aunque parecen no tener mucha importancia, serán muy útiles en muchas demostraciones en el resto del libro Lema 9 Sean A = A A m una matriz de tamaño m n donde A,,A m son las filas de A, B = [B B q de tamaño n q donde B,,B q son las columnas de B y x = un vector columna, entonces Las columnas del producto AB son los vectores columna AB,,AB q, es decir AB = [AB AB q A B 2 Las filas del producto AB son los vectores fila A B,,A m B, esto es, AB = A m B x x q

25 22 3 El producto Bx es el vector x B + + x q B q Es decir, el vector Bx es una combinacion lineal de las columnas de B con coeficientes tomados de x En el siguiente ejemplo se muestra como puede ser usado el lema anterior para realizar el producto de matrices Ejemplo 9 Sean A = 3, B = 3 2 y x = 3 El producto AB se puede ver de las 4 2 siguientes formas [ 3 B AB = [ y 4 B AB = A A A 3 2 = = El producto Bx es una combinación de las columnas de B: Bx = = El producto de matrices sirve para establecer otra conexión entre matrices y sistemas de ecuaciones lineales Sea a x + +a n x n = b un sistema de ecuaciones lineales, entonces por definición del producto de matrices a m x + +a mn x n = b m a a n x tenemosqueestesistemaesequivalentealaecuaciónmatricialax = bdondea =,x = a m a mn x n b y b = En lo que sigue del libro usaremos la ecuación matricial Ax = b en lugar del sistema de ecuaciones b m Terminamos la sección definiendo matrices triangulares y matriz diagonal, que aparecen muy a menudo en varias partes del libro Definición Sea A = a a n a n una matriz de tamaño n n, decimos que a nn

26 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 23 A es triangular superior si a ij = para i > j 2 A es triangular inferior si a ij = para i < j 3 A es diagonal si a ij = para i j 2 3 Ejemplo 2 Las matrices A = 3, B = 2 triangular superior, triangular inferior y diagonal 2 3 y C = son, respectivamente, Problemas Ejecutar las operaciones indicadas con los vectores v =, w = y z = a v +w b 3v c 3w d 3v +2d 3w Ejecutar las operaciones indicadas con las matrices A = 3 y B = 3 a A+B b A B c 3A d 3A+2B 23 Es muy posible que los estudiantes que esten tomando álgebra lineal por primera vez esten acostumbrados a que al multiplicar dos cosas distintas de cero su resultado sea distinto de cero En la multiplicación de matrices esto puede no ocurrir Al resolver este problema encontrarán ejemplos de esta situación y de otras situaciones a las que posiblemente no esten acostumbrados Sean A =, B = 3 3, C =, D =, E = y F = Calcule los siguientes productos: (a) AA, FFF y BC Puede concluir algo más general del producto BC? (b) DD y EE 24 Demuestre que el inverso aditivo de una matriz es único 25 Sean A y B matrices de tamaños m n Muestre que (a) (A+B) t = A t +B t (b) (AB t ) t = BA t

27 24 26 Sean A y B matrices de tamaños m n y n p, demuestre que (AB) t = B t A t 27 Demuestre los Teoremas 5, 6 y 8 28 Una matriz cuadrada se llama una matriz de probabilidad si cada componente es no-negativa y la suma de los elementos de cada fila es Demuestre que si A y B son dos matrices de probabilidad tamaños m n y n q, entonces AB es una matriz de probabilidad 29 Si A y B son matrices simétricas demuestre lo siguiente A+B es simétrica 2 (AB) t = BA 2 Si A es una matriz de tamaño m n, demuestre que AA t y A t A son matrices simétricas 2 Sea A M n (R), muestre que A+A t es simétrica y A A t es antisimétrica y A = 2 (A+At )+ 2 (A At ) Es decir, toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica 22 Sean A,B M n (R), demuestre lo siguiente Si A y B son triangulares superiores, entonces AB es triangular superior 2 Si A y B son triangulares inferiores, entonces AB es triangular inferior 3 Si A y B son matrices diagonales, entonces AB es diagonal 4 En todos los anteriores casos, si las entradas en las diagonales principales de A y de B son, respectivamente, a,,a nn y b,,a nn, entonces las entradas en la diagonal principal de AB son a b,,a nn b nn 23 Sean A,B M n (R) con B = [ λ λ n diagonal, demuestre lo siguiente: Si las columnas de A son C,,C n entonces las columnas de AB son λ C,,λ n C n Es decir, si A = [ C C n entonces AB = [ λ C λ n C n 2 Si las filas de A son F,,F n entonces las columnas de BA son λ F,,λ n F n Es decir, si A = [ λf entonces BA = λ nf n [ F F n 24 Si A M mn (R), demuestre que rangoa = si y sólo si existen vectores v R m y w R n tal que A = vw t 25 Sean v, v 2 y v 3 vectores en R n y α un escalar Demuestre lo siguiente: v θ =, v v 2 = v 2 v, v (v 2 +v 3 ) = v v 2 +v v 3, (αv ) v 2 = v (αv 2 ) = α(v v 2 ) y v v 2 26 Si A y B son matrices cuadradas que conmutan y son nilpotentes entonces A+B es nilpotente

28 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 25 3 Inversa de una Matriz Las matrices invertibles juegan un papel fundamental en el álgebra lineal, en particular la posibibilidad de tener la inversa de una matriz nos permitirá resolver algunos sistemas de ecuaciones lineales de manera muy simple Se comienza esta sección con la definición de este concepto Definición 2 Sea A una matriz cuadrada de tamaño n n, decimos que A es invertible si existe una matriz B de tamaño n n tal que AB = BA = I n Ejemplo 2 La matriz A = 2 es invertible ya que el producto A = 2 = = I Ejemplo 22 No toda matriz tiene inversa, por ejemplo, si la matriz A = tuviera una inversa, entonces existiría una matriz B = a c a+b c+d tal que AB = BA = I 2 Sin embargo AB = y b d a+b c+d tendríamos que = I 2 =, por tanto = lo cual es una contradicción y A no puede ser invertible En general si A es una matriz con una fila de ceros entonces A no es invertible Esta afirmación se deja como ejercicio, Problema 35 Las matrices invertibles satisfacen las siguientes propiedades Lema Sea A una matriz n n una matriz invertible, entonces la inversa es única Demostración Sean B y C matrices inversas de A, es decir AB = BA = I n y AC = CA = I n Entonces utilizando una de las propiedades de la matriz identidad del Teorema 8 tenemos que: B = BI n = B(AC) = (BA }{{} I n )C = I n C = C Notación 2 Como la inversa de una matriz invertible es única, entonces de ahora en adelante la denotaremos por A Teorema Sean A y B matrices de tamaños n n, entonces:

29 26 Si A y B son invertibles entonces AB es invertible y (AB) = B A 2 A es invertible si y sólo si A t es invertible y en este caso se tiene que (A t ) = ( A ) t Demostración Utilizando la propiedad asociativa del producto de matrices (Teorema 7) se tiene que (AB)(B A ) = ABB }{{ } A = AIA = AA = I =I y de igual forma (B A )(AB) = I, entonces la matriz B A es la inversa de AB Como la inversa es única tenemos que (AB) = B A 2 Supongamos que A es invertible, por el Problema 26 tenemos que A t (A ) t = (A A) t = I t = I y además (A ) t A t = (AA ) t = I t = I, entonces la matriz (A ) t es la invera de A t, como la inversa es única obtenemos que (A t ) = (A ) t La demostración del recíproco es análoga 3 2 Ejemplo 23 (MatLab) Sean A = 2 2 y B =, de acuerdo al teorema anterior hay dos maneras de calcular (AB), las cuales son multiplicar A y B y despues calcular su inversa, o calcular B y A y multiplicarlas El comando para calcular la inversa de una matriz es inv, a continuación exhibimos estos cálculos en MatLab >> format rat, A = [,,3;, 2,2;2,,2; B = [,,2;,,;, 2,2; C = inv(a B), D = inv(b) inv(a) Obteniendo las matrices C = y D = , las cuales son iguales El teorema también nos dice que hay dos maneras de calcular la inversa de A t, una de forma directa y la otra se obtiene al transponer A >> format rat, A = [,,3;, 2,2;2,,2; E = transpose(inv(a)) Obteniendo E = y si se calcula de la siguiente forma, >> format rat, A = [,,3;, 2,2;2,,2; F = inv(transpose(a)) se obtiene lo mismo Si Ax = b es un sistema de ecuaciones con A invertible, entonces el sistema tiene solución única y esta es facíl de calcular como se muestra a continuación Teorema 2 Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incognitas Si A es invertible entonces el sistema tiene solución única y esta está dada por x = A b

30 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 27 Demostración Se deja como ejercicio x y +3z = 2 Ejemplo 24 (MatLab) Resuelva el sistema lineal x 2y +2z = 2x +2z = 3 2 Solución El sistema es equivalente a la ecuación Ax = b con A = 2 2 y b = 2 2 teorema anterior la solución está dada por x = A b la cual calculamos con MatLab y de acuerdo al >> A = [,,3;, 2,2;2,,2; b = [2;;; x = inv(a) b Obteniendose el vector x = Entonces la solución al sistema está dada por x =,y = y z = Problemas 3 Demuestre que una matriz A = a b es su propia inversa si y sólo si A = ±I o a = d y bc = a 2 c d 32 Encuentre cuatro matrices 2 2 que sean sus propias inversas 33 Sea A una matriz m n y sea B una matriz n m con n < m, demuestre que AB no es invertible (Ayuda: Demuestre que existe x tal que ABx = ) Sean A,B y C matrices de tamaño n n 34 Demuestre que si A = BC con A y B invertibles entonces C es invertible 35 Demuestre que si una matriz A tiene una fila o una columna de ceros, entonces A no es invertible (Use el Lema 9) 36 Demuestre el Teorema 2 37 Demuestre que A es invertible y que (A ) = A 38 Si A es 4 3 y B es 3 4 muestre que AB I (Ayuda: Muestre que la ecuación Bx = tiene una solución no trivial) 39 Generalizando el problema anterior, si A es m n y B es n m y m > n entonces AB I

31 28 4 Matrices Elementales En esta sección introduciremos las matrices elementales las cuales están asociadas a las operaciones elementales definidas en la Sección Definición 3 Sea E una matriz de tamaño n n, decimos que E es una matriz elemental si E se obtiene de la identidad al aplicar una operación elemental de fila Ejemplo 25 Las siguientes matrices son matrices elementales: 2 A =, B = y C = 3 Cada una de estas matrices se obtiene al aplicar una operación sobre la matriz identidad, como se muestra a conitunación: F F 2 = A, 2 2F 2 +F F = B, y 3 3F2 F 2 = C Notación 3 Como hay tres tipos diferentes de operaciones elementales, hay un número igual de tipos de matrices elementales, entonces usaremos la siguiente notación E ij denotará la matriz elemental que se obtiene al intercambiar las filas i y j de la matriz identidad E ij (c) denotará la matriz que se obtiene al sumar c veces la fila i a la fila j de la matriz identidad E i (c) la matriz que se obtiene al multiplicar por la constante c la fila i de la matriz identidad Ejemplo 26 En el ejemplo anterior tenemos que A = E 2, B = E 2 (2) y C = E 2 ( 3) La importancia de las matrices elementales reside en el hecho de que estas matrices reemplazan las operaciones elementales ya que aplicar una operación elemental a una matriz A es equivalente a multiplicar la matriz elemental correspondiente a la operación por A Esto lo expresamos en el siguiente teorema Teorema 3 Sea A una matriz de tamaño m n y E una matriz elemental de tamaño m m asociada a una operación elemental de fila, el producto EA es la matriz que se obtiene al aplicar la operación elemental de fila a la matriz A

32 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 29 La demostración de este teorema se hace verificando que al aplicar una operación elemental se obtiene la misma matriz que al multiplicar la matriz asociada a la operación elemental, se debe considerar un caso por cada operación elemental La verificación es sencilla y preferimos mostrar un ejemplo que compruebe la afirmación Ejemplo 27 Sea A = Al aplicar la operación que multiplica la primera fila por 2 obtenemos la matriz Nótese que la matriz elemental asociada a esta operación es la matriz E ( 2 ) = y es fácil 2 verificar que E ( 2 )A = Si en la matriz A sumamos -2 veces la fila a la fila 3 obtenemos la matriz 7 Nótese que la matriz elemental asociada a esta operación está dada por E 3 ( 2) = y es fácil verificar que E 3 ( 2)A = Finalmente, si en la matriz A intercambiamos las filas 2 y 3 obtenemos la matriz 4 5 La matriz elemental asociada a esta operación de fila es E 23 = y fácil ver que E 23A = 4 5 Las operaciones elementales de fila son reversibles, es decir, al aplicar una operación elemental de fila, siempre se puede aplicar otra operación elemental que deshaga la operación aplicada Esto se muestra en el siguiente ejemplo Ejemplo 28 Para ilustrar la reversibilidad de las operaciones elementales consideremos la matriz A =

33 , si intercambiamos las filas y 2 de esta matriz y aplicaramos nuevamente la misma operación, 3 obtenemos la matriz orginal como se muestra a continuación F F 2 F F En general, si se intercambian dos filas de una matriz, la operación se puede revertir al volver a intercambiarlas una vez más Esto a la vez nos dice que la matriz elemental E ij, asociada a esta operación de intercambio de dos filas, es invertible y es igual a su propia inversa, esto es E ij = E ij Volviendo a la matriz A, si multiplicamos la fila 2 por 2 y después multiplicamos la misma fila por 2 obtenemos la matriz original como se muestra a continuación F 2 F 2 2F 2 F En general, si se multiplica una fila de una matriz por una constante c, la operación se puede revertir al volver a multiplicar la misma fila de la nueva matriz por la constante c Esto a la vez nos dice que la matriz elemental E i (c), asociada a esta operación de multiplicar la fila i por una constante c, es invertible y su inversa está dada por E i (c) = E i ( c) Una vez mas regresamos a la matriz A, si le sumaramos 2 de la fila 2 a la fila y después le sumaramos 2 de la fila 2 a la fila obtenemos la matriz original como se muestra a continuación 3 2 F 2 +F F 4 2 F 2 +F F Comúnmente, si se le suma c veces la fila i de una matriz a la fila j, la operación se puede revertir al volver a sumar c veces la fila i a la fila j Esto una vez mas nos dice que la matriz elemental E ij (c), asociada a esta operación de sumar c veces la fila i a la fila j, también es invertible y su inversa está dada por E ij (c) = E ij ( c) De acuerdo a lo observado en el ejemplo anterior tenemos el siguiente resultado Teorema 4 Toda matriz elemental es invertible y las inversas estan dadas por E ij = E ij, E ij (c) = E ij ( c) y E i (c) = E i ( c Al aplicar reducción Gauss-Jordan a una matriz, por cada operación elemental de fila, hay una matriz elemental, la matriz que se obtiene al aplicar la operación de fila a la matriz identidad Como toda matriz se puede reducir a una forma escalonada reducida, entonces se tiene el siguiente teorema )

34 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 3 Teorema 5 Toda matriz se puede expresar como el producto de un número finito de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida Mas concretamente, si A es una matriz de tamaño m n, existen matrices elementales E,,E k todas de tamaño m m y una matriz escalonada reducida A tal que A = E E k A Demostración El resultado se sigue de los Teoremas y 3 teniendo en cuenta que a cada operación elemental tiene asociada una matriz elemental Ejemplo 29 Expresar la matriz A = 2 como un producto de matrices elementales por una matriz en forma escalonada reducida Solución Necesitamos aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz A indicando las matrices elementales asociadas a cada operación aplicada F+F2 F2 2 F2 F F +F 3 F F 2+F 3 F 3 }{{}}{{}}{{}}{{} E 2( ) E 3( 2) E 2( 2) E 23( 2) ( Por el Teorema 3 tenemos que E 23 ( 2)E 2 2) E3 ( 2)E 2 ( )A = A con A = Entonces se tiene que A = E 2 ( ) E 3 ( 2) E 2 ( 2 = E 2 ()E 3 (2)E 2 (2)E 23 (2)A ) E 23( 2) A Escribiendo las matrices de manera explicita tenemos: A = A continuación verificamos el resultado con MatLab >> E=[ ; ; ; E2=[ ; ;2 ; E3=[ ; 2 ; ; E4=[ ; ; 2 ; A =[ ; ; ; A = E E2 E3 E4 A Obteniendo la matriz A =

35 32 Ahora usaremos matrices elementales para dar un criterio de invertibilidad de una matriz Primero debemos observar lo siguiente Lema 6 Sea A una matriz de tamaño n n en forma escalonada reducida, entonces A es invertible si y sólo si A = I Demostración Supongamos que A es una matriz escalonada reducida invertible y razonemos por el absurdo, supongamos que A I, entonces A tiene al menos una columna sin pivote y al ser de tamaño n n, A debe tener al menos una fila de ceros, entonces por el Problema 35 A no puede ser invertible, lo cual es un absurdo Concluimos que A = I Si A = I entonces A es claramente invertible De esto se desprende el siguiente resultado Teorema 7 Sea A una matriz de tamaño n n, entonces A es invertible si y sólo si A se puede escribir como un producto de matrices elementales Demostración Supongamos que A es invertible Por el Teorema 5 sabemos que A = E E k A con E,,E k matrices elementales y A en forma escalonada reducida, como A es invertible y las matrices elementales también son invertibles tenemos que A es invertible, entonces por el Lema 6 tenemos que A = I y por tanto A = E E k es un producto de matrices elementales Si A = E E k es un producto de matrices elementales, como las matrices elementales son invertibles entonces A es el producto de matrices invertibles y por el Teorema tenemos que A es invertible 2 Ejemplo 3 Expresar la matriz A = y su inversa como un producto de matrices elementales 2 2 Solución Abajo se muestra la reducción Gauss-Jordan de esta matriz indicando la matriz elemental asociada a cada operación aplicada de acuerdo a la Notación 3 2 F F F +F 3 F 3 }{{}}{{} E 2 E 3() F 3+F F 2 2 2F3+F2 F2 F 2+F 3 F 3 }{{}}{{}} {{ } E 23() E 3( ) E 32( 2) De aquí tenemos que E 32 ( 2)E 3 ( )E 23 ()E 3 ()E 2 A = I, por tanto A = E 32 ( 2)E 3 ( )E 23 ()E 3 ()E 2 y

36 Autor: OMAR DARÍO SALDARRIAGA, HERNÁN GIRALDO 33 A = E 2 E 3() E 23 () E 3 ( ) E 32 ( 2) = E 2 E 3 ( )E 23 ( )E 3 ()E 32 (2) Las matrices elementales también nos ayudan a demostrar un algoritmo para calcular la inversa de una matriz, el cual enunciamos a continuación Notación 4 Sea A y B matrices con el mismo número de filas, a la matriz obtenida de juntar ambas matrices [ se llamará matriz aumentada y se denotará por A B Teorema 8 (Algoritmo para calcular la inversa de una matriz) Sea A una matriz invertible de tamaño n n, [ [ al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aunmentada A I obtenemos la matriz I A Más [ aún, si B es una matriz de tamaño n q, al aplicar reducción Gauss-Jordan a la matriz aumentada A B [ obtenemos la matriz I A B Demostración Sean E,,E k las matrices elementales asociadas a las operaciones elementales necesarias para reducir la matriz A a su forma escalonada reducida A Como A es invertible entonces A = I y tenemos [ que E k E A = I Al aplicar las operaciones E,,E k a la matriz A I obtenemos [A I E [E A E I = E E2 [E 2 E A E 2 E E k E k E A }{{} =I E k E (7) Como E k E A = I y como la inversa de una matriz cuadrada es única, entonces E k E = A, así la última matriz en la Ecuación (7) es igual a [I A El mismo análisis muestra la segunda parte 2 Ejemplo 3 (MatLab) Sea A = calcular A 2 2 [ Solución Usando MatLab para calcular la forma escalonada reducida de la matriz A I obtenemos >> AI = [,,2,,,;,,,,,;, 2, 2,,,; rref(ai) 2 [ Obteniendo la matriz aumentada I A = 2 2, de lo cual se sigue que la matriz 2 inversa A = Ejemplo 32 (MatLab) Sean A = y B = 2 3, calcular A B 2 2