2. Álgebra matricial. Inversa de una matriz O B 1 O B 1. Depto. de Álgebra, curso

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1 Depto de Álgebra, curso Álgebra matricial Inversa de una matriz Ejercicio 21 Calcule la matriz inversa de cada una de las matrices siguientes: a h e, b k , f, i, c , g , l Ejercicio 22 Calcule la inversa, si existe, de las siguientes matrices: , ,, d , j Ejercicio 23 Cuando sea posible, calcule la inversa de las siguientes matrices: A Ejercicio 24 Consideremos la matriz ,B A c c,c, , Determine la inversa de la matriz A en función del parámetro c, y establezca las condiciones para las que existe dicha inversa Ejercicio 25 Calcule la matriz X tal que X AX + B, donde A ,B Ejercicio 26 Bajo qué condiciones es una matriz triangular no singular? Describa la estructura de la inversa de una matriz triangular Ejercicio 27 Para matrices A r r,b s s y C r s tales que A y B son no singulares, pruebe las siguientes igualdades: 1 2 A O O B A C O B 1 A 1 O O B 1 1 A 1 A 1 CB 1 O B 1,, Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 16

2 Depto de Álgebra, curso A B Ejercicio 28 Dada la matriz definida por bloques M, donde los bloques A y C son matrices cuadradas no O C singulares, calcule una fórmula para M 1 en términos de A,B y C Indicación: suponga que M 1 es de la forma M 1 E F O H Ejercicio 29 Suponiendo que las inversas existen, pruebe que 1 I + A 1 1 AA+I 1 2 A+ BB t 1 B A 1 BI + B t A 1 B 1 3 A 1 + B 1 1 AA+ B 1 B BA+ B 1 A 4 I + AB 1 I AI + B A 1 B 5 I + AB 1 A AI + B A 1 6 A+U BV 1 A 1 A 1 U BV I + A 1 U BV 1 A 1 Ejercicio 210 Seav n 1 un vector Pruebe quevv t v t vi n es una matriz singular Ejercicio I +ab t 1 I 1 1+b t a abt 2 A+c 1 A 1 A 1 c A 1 1+ A 1 c Ejercicio 212 Pruebe que son no singulares y Im O V Im O V I n I n Im V, O I m 1 Im O V I n Ejercicio 213 Sean T,U,V,W matrices de órdenes respectivos m m,m n,n m,n n, con T no singular Pruebe que T U A es no singular si y solamente si Q W V T 1 U es no singular En tal caso, V W T U V W La matriz Q se denomina complemento de Schur de T en A 1 T 1 + T 1 UQ 1 V T 1 T 1 UQ 1 Q 1 V T 1 Ejercicio 214 Para cada caso, dé un ejemplo con matrices de orden 2 2 que pruebe que 1 la suma de matrices no singulares puede ser singular; 2 la suma de matrices singulares puede ser no singular Ejercicio 215 Sean A,B,C,D matrices n n, tales que AB t y CD t son simétricas y AD t BC t I n Pruebe que 1 A B D t B t C D C t A t Ejercicio 216 Sea A una matriz real en la que en cada fila y columna solamente hay una entrada no nula e igual a 1 o a 1 Pruebe que A es ortogonal Ejercicio 217 Sean A y B matrices complejas de orden n tales que AB A+ B Pruebe que AB B A Ejercicio 218 Verdadero o falso: si A es una matriz cuadrada tal que A A A, entonces A tiene inversa Q 1 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 17

3 Depto de Álgebra, curso Matrices elementales y equivalencia Ejercicio 219 Sea A una matriz arbitraria de orden 3 3 y E 1 Describa las filas de E A en función de las filas de A Describa las columnas de AE en función de las columnas de A Ejercicio 220 Seae j la j -ésima columna unitaria, que es el vector columna de orden n que contiene un 1 en la posición j y cero en el resto Para una matriz general A n n, describa los siguientes productos: Ae j,e t i A,et i Ae j Ejercicio 221 Exprese como producto de matrices elementales Ejercicio 222 Exprese la matriz como producto de matrices elementales 2 3 A 1 0 A Ejercicio 223 Siu,v C m, la matriz AI+uv es llamada perturbación de rango 1 de la identidad Demuestre que si A es no singular entonces su inversa tiene la forma A 1 I+αuv, para algún escalarα En tal caso, deduzca una expresión para α Para qué vectores u, v es A singular? Ejercicio 224 Pruebe que si A es una matriz de orden n con rango 1, entonces 1 existen vectoresuyv de orden n tales que Auv t, 2 A 2 trazaaa Ejercicio 225 Si At a i j t es una matriz cuyos coeficientes son funciones de una variable t, la derivada de At con respecto a t es la matriz de las derivadas, esto es, Pruebe que datbt d At d ai j t d At Bt+ At dbt Ejercicio 226 Supongamos que las entradas de At, xt y bt son funciones diferenciables en la variable t, y Atxt bt Suponiendo que At 1 existe, pruebe que Deduzca la ecuación Ejercicio 227 Sea A una matriz m n d At 1 1 d At At At 1 dxt 1 dbt 1 d At At At xt 1 Si [A I m ] se reduce mediante transformaciones por filas a [B P], explique por qué P es una matriz no singular tal que PA B [ ] [ ] A C 2 Si se reduce mediante transformaciones por columnas a, explique por qué Q es una matriz no singular I n Q tal que AQ C Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 18

4 Depto de Álgebra, curso Calcule una matriz no singular P tal que PA E A forma reducida por filas de A, donde A Ejercicio 228 Si A es una matriz cuadrada no singular, determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 1 A es equivalente a A 1 2 A es equivalente por filas a A 1 3 A es equivalente por columnas a A 1 4 A es equivalente por filas a I 5 A es equivalente por columnas a I 6 A es equivalente a I 7 A es equivalente a A t A Ejercicio 229 Pruebe que toda matriz no singular de orden 2 2 con coeficientes en un cuerpo K se puede escribir como producto de matrices de la forma a 0,,, a K {0} Ejercicio 230 Determine si las matrices A son equivalentes por filas Y por columnas? Ejercicio 231 Considere las matrices 1 Son equivalentes? 2 Son equivalentes por filas? A 3 Son equivalentes por columnas? y B y B Ejercicio 232 Calcule, si es posible, una factorización en producto de matrices elementales de la matriz Ejercicio 233 Exprese la siguiente matriz A como producto de matrices elementales Deduzca una factorización similar para A 1 sin realizar cálculo Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 19

5 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 234 Exprese la siguiente matriz A como producto de matrices elementales Deduzca una factorización similar para A 1 sin realizar cálculo Ejercicio 235 Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: 1 Si A es equivalente a B, entonces A t es equivalente a B t 2 Si A es equivalente por filas a B, entonces A t es equivalente por filas a B t 3 Si A es equivalente por filas a B, entonces A t es equivalente por columnas a B t 4 Si A es equivalente por filas a B, entonces A es equivalente a B 5 Si A es equivalente por columnas a B, entonces A es equivalente a B 6 Si A es equivalente a B, entonces A es equivalente por filas a B Ejercicio 236 Sea A una matriz real de orden m n Se dice que G es una 1-inversa de A si es de orden n m y verifica la igualdad AG A A 1 Si D m n es una matriz diagonal de la forma Dr O D m n O O, con D r no singular, entonces para cualesquiera matrices K r m r,l n r r, M n r m r, la matriz es una {1}-inversa de D D D 1 r L K M 2 Sea A m n de rango r, y consideremos matrices P m m,q n n no singulares tales que Ir K PAQ O O Entonces para cualquier L n r m r la matriz Ir O G Q O L P es una {1}-inversa de A 3 Sea A m n x n 1 b m 1 un sistema compatible Entonces las soluciones del sistema son de la forma u A b+i A Ay, cuandoy K n Ejercicio 237 Se dice que una matriz C de orden m r es de rango pleno por columnas si rangoc r Análogamente, una matriz F r n es de rango pleno por filas si rangof r 1 Si C es real de rango pleno por columnas, entonces C t C es una matriz cuadrada no singular 2 Si F es real de rango pleno por filas, entonces F F t es una matriz cuadrada no singular 3 Si C es real de rango pleno por columnas, entonces C L C t C 1 C t verifica C L C I r Se dice que C L es una inversa a la izquierda de C 4 Si F es real de rango pleno por filas, entonces F R F t F F t 1 verifica F F R I r Se dice que F R es una inversa a la derecha de F Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 20

6 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 238 Sea A m n una matriz de rango r Una factorización de rango pleno de A es una expresión A C m r F r n, donde rangoc rangof r Pruebe que toda matriz tiene una factorización de rango pleno Ejercicio 239 Sea A una matriz real de orden m n Una inversa generalizada de Moore-Penrose de A es una matriz M de orden n m tal que 1 AM AA 2 M AM M 3 AM es simétrica 4 M A es simétrica Existencia Si A CF es una factorización de rango pleno de A, entonces F R C L es una inversa generalizada de Moore- Penrose Unicidad La inversa generalizada de Moore-Penrose es única Se denota por A + Ejercicio A + A 1 cuando A es no singular 2 A + + A 3 A + t A t + 4 PAQ + Q t A + P t cuando P y Q son matrices ortogonales { A 5 A + t A 1 A t cuando rangoa m n n, A t A A t 1 cuando rangoa m n m 6 A t A t A A + A + A A t Ejercicio 241 Sea B m n una matriz de rango r > 0 Pruebe que B se puede expresar como suma de r matrices de rango 1 Forma normal del rango Ejercicio 242 Consideremos la matriz Calcule matrices P y Q no singulares tales que A PAQ Ir O O O Ejercicio 243 Una matriz cuadrada C es idempotente si C 2 C, donde r rangoa 1 Sea A m n una matriz Pruebe que si A t A es idempotente entonces A A t es idempotente 2 Si C es idempotente y P es una matriz no singular, entonces la matriz B P 1 CP es idempotente 3 Sea1el vector de n componentes con todas sus entradas iguales a 1 y definimos la matriz Entonces la matriz C es idempotente C I n 1 n 11t Ejercicio 244 Sean A y B matrices reales idempotentes de orden n Entonces 1 AB es una matriz idempotente si, además, AB B A 2 A t y I A son idempotentes 3 AI AI AAO n n Ejercicio 245 Pruebe que, dadas A m k,b k n, se verifica que rangoab mín{rangoa,rangob} Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 21