Aplicaciones Lineales

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1 Capítulo 5 Aplicaciones Lineales 51 Definición y Propiedades Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K Definición 511 Se dice que una aplicación f : V W es una aplicación lineal o un homomorfismo de espacios vectoriales si verifica: f( v + v ) = f( v) + f( v ) f(α v) = αf( v) para cualquier par de vectores v, v V y cualquier α K Las dos condiciones anteriores se pueden substituir por la condición única: siendo v, v V y α, β K f(α v + β v ) = αf( v) + βf( v ) Ejemplo Sea f : R 2 R la aplicación definida por f(x, y) = x Es claramente una aplicación lineal 2 También es lineal la aplicación f : V V definida por f( v) = α v, siendo α K cualquier escalar 3 Generalizando el primer ejemplo se tiene que para cualquier par de números naturales m y n, y cualquier matriz A M m n (K), la aplicación f A : K n K m, definida por f A (x 1,, x n ) = A(x 1,,x n ) t es lineal Además, cualquier aplicación lineal entre estos dos espacios vectoriales viene definida de esta manera 4 Sea D R R el conjunto formado por las funciones derivables La aplicación φ : D R R R R, definida por φ(f) = f, que asocia a cada función f su derivada, es lineal 5 Igual que en el ejemplo anterior, son aplicaciones lineales φ : K[x] K[x], y φ Pn(K): P n (K) P n 1 (K), que asocian a cada polinomio p(x) de grado menor o igual que n su derivada p (x) de grado menor o igual que n 1 1

2 2 CAPÍTULO 5 APLICACIONES LINEALES Veámos algunas propiedades que se deducen de la definción: 1 Como f es un morfismo de grupos entre (V, +) y (W, +), se tiene que f( 0 V ) = 0 W y f( v) = f( v) 2 Si { v 1,, v p } es un conjunto de vectores de V y α 1,, α p son escalares de K, f( p α i v i ) = i=1 p α i f( v i ) 3 Si { v 1,, v p } V es un conjunto ligado o linealmente dependiente entonces {f( v 1 ),, f( v p )} es un subconjunto de W formado por vectores linealmente dependientes Sin embargo, vectores linealmente independientes no se transforman, necesariamente, en vectores linealmente independientes Basta tomar f : R 2 R 2, definida por f(x, y) = (x + y, 0) y el vector (1, 1) cuya imagen es (0, 0) 4 Si U, V y W son tres espacios vectoriales sobre K y f : U V y g : V W son dos aplicaciones lineales, la composición g f : U W también es lineal Una aplicación lineal f inyectiva se llama monomorfismo Si f es sobreyectiva, se dice que es un epimorfismo y, finalmente, si es biyectiva diremos que f es un isomorfismo Un automorfismo de V es un isomorfismo f : V V i=1 52 Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal Proposición 521 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se verifica que: 1 Si U V es un subespacio vectorial de V, se tiene que f(u) es un subespacio vectorial de W Además si U = < u 1,, u p >, se tiene que f(u) = < (f( u 1 ),, f( u p ) > En particular f(v ) = Im(f) se llama subespacio imagen y a su dimensión se le llama rango de f, es decir, dim(im(f)) = rango(f) 2 Análogamente si W W es un subespacio vectorial de W, se tiene ) que f 1 (W ) es un subespacio vectorial de V En particular, el subespacio Ker(f) = f ({ 0 1 W } se llama núcleo de f (Demostración) Puesto que una aplicación lineal f también es un morfismo de grupos, se tiene que f es inyectiva si, y sólo si, Ker(f) = { 0 V } Proposición 522 Sea f : V W una aplicación lineal Son equivalentes: 1 f es inyectiva 2 Si L es cualquier conjunto libre de V, entonces f(l) es libre en W 3 Si B es una base de V, entonces f(b) es una base de f(v ) Demostración Supongamos que f es inyectiva y L = { v 1,, v p } es un conjunto libre Si α 1 f( v 1 ) + + α p f( v p ) = 0 W con α i K, se tiene que α 1 v α p v p Ker(f), así que α 1 v α p v p = 0 V y como L es libre todos los escalares α i = 0 Si B es una base de V, se tiene que f(b) es un sistema de generadores de f(v ) y, al ser B libre se puede afirmar que f(b) es una base de f(v ) Finalmente supongamos la última hipótesis y tomemos v V un vector de V tal que f( v) = 0 W Si v 0 V, se puede encontrar B una base de V tal que v B Puesto que f( v) f(b) y f(b) es una base de f(v ), llegamos a una contradicción ya que entonces f( v) 0 W

3 52 NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL 3 Proposición 523 Sea f : V W una aplicación lineal Se verifica que f es sobreyectiva si, y sólo si, f transforma cualquier sistema de generadores de V en un sistema de generadores de W Demostración Sabemos que, si G es un sistema de generadores de V, entonces, para cualquier aplicación lineal f, se verifica que f(v ) = < f(g) > Luego, f es sobreyectiva si, y sólo si, W = < f(g) >, es decir, f(g) es un sistema de generadores de W Teorema 524 (Teorema de la dimensión) Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se verifica que: dim(v ) = dim(ker(f)) + rango(f) Demostración Supongamos que dim(v ) = n y que dim(ker(f)) = p n Sea L = { e 1,, e p } una base de Ker(f) Puesto que L es libre, el Teorema de Steiniz nos permite completar L a una base B = { e 1,, e p, e p+1,, e n } de V Sabemos que f(v ) = < (f( e 1 ),, f( e p ), f( e p+1 ),, f( e n ) > = < (f( e p+1 ),, f( e n ) > ya que los demás vectores pertenecen al núcleo de f Si probamos que {f( e p+1 ),, f( e n )} es una base de f(v ), se tendría que dim(im(f)) = rango(f) = n p Puesto que ya sabemos que {f( e p+1 ),, f( e n )} son generadores de f(v ), únicamente quedaría por probar que son linealmente independientes Sean pues α i K, con i = p + 1,,n tales que: α p+1 f( e p+1 ) + + α n f( e n ) = 0 W Usando que f es lineal tenemos que α p+1 e p+1 + +α n e n pertenece al núcleo de f Como L es una base de Ker(f), existen β 1,, β p K de modo que: o, lo que es lo mismo α p+1 e p α n e n = β 1 e β p e p β 1 e β p e p α p+1 e p+1 α n e n = 0 V pero al ser B libre concluimos que α p+1 = = α n = β 1 = = β p = 0 Como consecuencia del teorema anterior, se tienen los siguientes corolarios Corolario 525 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se verifica que f es inyectiva si, y sólo si, dim(v ) = rango(f) Demostración Basta tener en cuenta que f es inyectiva si, y sólo si, dim(ker(f)) = 0 y aplicar el Teorema 524 Corolario 526 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se verifica que f es sobreyectiva si, y sólo si, dim(v ) = dim(ker(f)) + dim(w) Demostración Basta tener en cuenta que f es sobreyectiva si, y sólo si, dim(f(v )) = dim(w) y aplicar el Teorema 524 Corolario 527 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se verifica que f es biyectiva si, y sólo si, dim(v ) = rango(f) = dim(w) Demostración Proposición 528 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita Se tiene que: 1 Si dim(v ) = dim(w), entonces f es un isomorfismo f es un monomorfismo f es un epimorfismo

4 4 CAPÍTULO 5 APLICACIONES LINEALES 2 Si f es un isomorfismo, la aplicación inversa f 1 es también un isomorfismo 3 Si f : V W y g : W U son isomorfismos, entonces g f : V U es un isomorfismo y (g f) 1 = f 1 g 1 Demostración 53 Aplicaciones Lineales y Matrices Es fácil comprobar que cualquier aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W queda determinada por las imágenes de los vectores de una base de V Si, por ejemplo, f : R 2 R 2 es una aplicación lineal que verifica f(1, 0) = (2, 1) y f(0, 1) = (1, 1), es claro que f(x, y) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = (2x, x) + (y, y) = (2x + y, x y) En un caso general, si f : V W es una aplicación lineal y B = { e 1,, e n } es una base de V, veamos como queda determinada f por f( e i ) = w i W, con i = 1,,n Supongamos que son las coordenadas de v respecto a B, se tiene que M B ( v) = (x 1,, x n ) t f( v) = f(x 1 e x n e n ) = x 1 f( e 1 ) + + x n f( e n ) = x 1 w x n w n Escribamos ahora cuáles son las coordenadas de cada f( e i ) = w i respecto a una base B = { e 1,, e m} de W: f( e i ) = a 1i e a mi e m Podemos formar pues una matriz A M m n (K) cuya columna i-ésima está formada por las coordenadas de f( e i ) respecto a la base B (i = 1,,n) A esta matriz la denotaremos M BB (f) y la llamaremos matriz asociada a f respecto a las bases B y B Esta matriz verifica que, dado cualquier vector v V, si M B ( v) = (x 1,, x n ) t son las coordenadas de dicho vector respecto a la base B y M B (f( v)) = (y 1,, y m ) t son las coordenadas de su imagen respecto a la base B, se tiene que: M B (f( v)) = M BB (f) M B ( v) En efecto, f( v) = x 1 f( e 1 ) + x 2 f( e 2 ) + + x n f( e n ) = x 1 (a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m) + x 2 (a 12 e 1 + a 22 e a m2 e m) + x n (a 1n 1 + a 2n a mn m ) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ) 1 + (a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n ) e 2 + (a m1 x 1 + a m2 x a mn x n ) m = y y y m m

5 53 APLICACIONES LINEALES Y MATRICES 5 Ejemplo Si A es una matriz en M m n (K), la aplicación: f A : K n K m tiene como matriz asociada respecto a las bases canónicas de K n y K m, respectivamente, a la matriz A, es decir: M CnC m (f A ) = A 2 Si V es un espacio vectorial de dimensión n y, B y B son dos bases de V, se tiene que: Es inmediato comprobar que M BB (id V ) = M BB Corolario 532 Si V y W son dos espacios vectoriales sobre K, se tiene que V y W son isomorfos si, y sólo si, dim(v ) = dim(w) Demostración Basta comprobar que si dim(v ) = dim(w) = n podemos tomar B = { e 1,, e n } y B = { e 1,, e n} bases de V y W respectivamente y definir la aplicación lineal f que asocia cada f( e i ) = e i, para cada i = 1,,n Puesto que V = < B > y f(v ) = < f(b) > = < B > = W, se tiene que f es un epimorfismo, y, en consecuencia, un isomorfismo (ver Proposición 528) Corolario 533 Sea A = M BB (f) la matriz asociada a una aplicación lineal f : V W respecto a un par de bases B y B de V y W, respectivamente Si C M m n (K) es otra matriz que verifica que, dado cualquier v V, M B (f( v)) = C M B ( v) entonces A = C Demostración Si B = { e 1,, e n }, entonces, para cada i = 1,,n, tenemos que: C e i = C M B ( v i ) = M B (f( v i )) = A M B ( v i ) = A e i siendo e i el i-ésimo vector a la base canónica de K n, con lo que las columnas de A y C coinciden, es decir A = C Corolario 534 El K-espacio vectorial L(V, W) = {f : V W ; f es una aplicación lineal} es isomorfo a M m n (K) siendo dim(v ) = n y dim(w) = m Demostración Un isomorfismo ϕ : L(V, W) M m n (K) viene determinado por un par de bases B y B de V y W repectivamente Dada f L(V, W), se define: ϕ(f) = M BB (f) El Corolario 533 permite deducir que si f, g L(V, W) y α K, entonces: M BB (f + g) = M BB (f) + M BB (g) y M BB (αf) = αm BB (f) Proposición 535 Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre K con dim(v ) = n y dim(w) = m Sean B y B dos bases de V y W respectivament, y sea A = M BB (f) la matriz asociada a f respecto a dichas bases Se verifica que: 1 rango(f) = rango(a) 2 Si m = n entonces, f es un isomorfismo si, y sólo si A es inversible

6 6 CAPÍTULO 5 APLICACIONES LINEALES Demostración Si B = { e 1,, e n }, sabemos que f(v ) = < (f( e 1 ),, f( e n ) > y, por lo tanto, rango(f) = dim(f(v )) = rango {f( e 1 ),,f( e n )} = rango(a) ya que las columnas de A son las coordenadas de cada vector f( e i ) respecto a la base B Por otro lado, si n = m, sabemos que f es un isomorfismo si n = dim(v ) = dim(f(v )) = rango(f) = rango(a), lo que significa exactamente que A es inversible Ejemplo 536 Si U K n es un subespacio vectorial de K n, sabemos que U = { x K n ; A x = 0}, siendo A una matriz en M m n (K) Si aplicamos la fórmula de la dimensión a f A, se tiene que: n = dim(k n ) = dim(ker(f A )) + rango(f A ) = dim(u) + rango(a) siendo rango(a) el número de ecuaciones linealmente independientes que definen al subespacio U 531 Composición de aplicaciones y Matrices Asociadas Teorema 537 Sean V, W y U tres K-espacios vectoriales de dimensiones n, m y p respectivamente y B V, B W y B U bases de V, W y U respectivamente Si f : V W y g : W U son aplicaciones lineales, la composición g f tiene como matriz asocida: M BV B U (g f) = M BW B U (g) M BV B W (f) Demostración Sabemos que, para cualquier v V y w W, se verifica que: M BW (f( v)) = M BV B W (f) M BV ( v) y M BU (g( w)) = M BW B U (g) M BW ( w) Si ahora tenemos en cuenta 533 y que si v V, se tiene que: M BW B U (g) M BV B W (f) M BV ( v) = M BW B U (g) M BW (f( v)) = M BW (g(f( v))) = M BW ((g f)( v)) se puede concluir que M BV B W (g f) = M BW B U (g) M BV B W (f) Ejemplo 538 Sean f : R 2 R la aplicación lineal f(x, y) = 2y x y g : R R 3 la aplicación lineal dada por g(t) = (3t, t, t) De lo que hemos dicho se desprende que M C2C 3 (g f) = M CC3 (g) M C2C(f) = También podríamos haber calculado g f : R 2 R ( 1 2 ) = (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(2y x) = (6y 3x, 2y x, x 2y) y verificar que es la aplicación lineal que se corresponde con la matriz asociada (respecto a las bases canónicas) calculada anteriormente Corolario 539 Sea f : V W un isomorfismo de espacios vectoriales (dim(v ) = dim(w) = n) y sean B V y B W dos bases de V y W respectivamente Sabemos que f 1 es un isomorfismo de espacios vectoriales y, además, M BW B V (f 1 ) = M BV B W (f) 1

7 54 CAMBIO DE BASE Y MATRICES ASOCIADAS 7 Demostración Sólo hay que tener en cuenta que id V = f 1 f y que I n = M BV B V (id V ) = M BW B V (f 1 ) M BV B W (f) Corolario 5310 Sea V un K-espacio vectorial y B 1, B 2, B 3 tres bases de V Se verifica que M B1B 3 = M B2B 3 M B1B 2 Demostración Basta aplicar el Teorema anterior a la aplicación id V = id V id V Se tiene, M B1B 3 = M B1B 3 (id V ) = M B1B 3 (id V id V ) = M B2B 3 (id V ) M B1B 2 (id V ) = M B2B 3 M B1B 2 54 Cambio de Base y Matrices Asociadas Veamos ahora la relación entre dos matrices asociadas a la misma aplicación lineal f respecto a distintas bases de los espacios vectoriales Sean f : V W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre K con dim(v ) = n y dim(w) = m, B V, B V bases de V, y B W, B W bases de W Teniendo en cuenta que f = Id W f Id V, podemos afirmar: M B V B W (f) = M B V B W (Id W f Id V ) = M BW B W (Id W) M BV B W (f) M B V B V (Id V ) = M BW B W M B V B W (f) M B V B V Ejemplo 541 Sea φ : P 3 (R) P 2 (R) la aplicación lineal definida por φ(p(x)) = p (x), para cada p(x) P 3 (R) Consideremos en P 2 (R) las bases B 2 = {1, x, x 2 } y B 2 = {x + 1, x, x 2 } y en P 3 (R) las bases B 3 = {1, x, x 2, x 3 } y B 3 = {1, x+1, x+x2, x 2 +x 3 } Un sencillo cálculo nos proporciona la matriz: M B3 B 2 (φ) = Si quisiésemos obtener ahora la matriz asociada a φ respecto a las bases B 3 y B 2, aplicaríamos la fórmula: M B 3 B 2 (φ) = M B 2B 2 M B 3 B 2 (φ) M B 3 B 3, teniendo en cuenta que y que finalmente, se tiene que M B 3 B 2 (φ) = M B 3 B 3 = M B2B 2 = (M B 2 B2) 1 = = =,

8 8 CAPÍTULO 5 APLICACIONES LINEALES 541 Matrices equivalentes y Matrices semejantes En el tema anterior vimos que dos matrices A, A M m n (K) son equivalentes (A A ) si tienen el mismo rango, siendo ésta una relación de equivalencia en M m n (K) Además si rango(a) = r, se tiene que A es equivalente a ( ) I C r = r θ r,n r θ m r,r θ m r,n r Si A y A son dos matrices asociadas a una misma aplicación lineal f : K n K m respecto a bases distintas, es decir A = M B1 B 1 (f), A = M B2 B 2 (f), siendo B 1 y B 2 dos bases de K n y B 1 y B 2 dos bases de Km, entonces sabemos que A = M B2 B 2 (f) = M B 1 B 2 M B 1 B 1 (f) M B 2B 1 siendo Q = M B 2 B 1 una matriz inversible de tamaño m y P = M B 2B 1 una matriz inversible de dimensión n Pues bien, las condiciones anteriores son todas equivalentes, es decir: Proposición 542 Sea A M m n (K) Son equivalentes: 1 rango(a) = r 2 A = Q 1 C r P, siendo Q y P dos matrices inversibles de dimensiones m y n respectivamente 3 Existen B y B bases de K n y K m, respectivamente, tales que C r = M BB (f A ) 543 Cuando A y A son dos matrices en M n (K), se dice que A y A son semejantes si existe una matriz P M n (K) inversible tal que: A = P 1 A P Es evidente que la semejanza entre matrices cuadradas implica que son equivalentes Sin embargo, no toda matriz cuadrada A es semejante a una matriz diagonal Esta situación se produce cuando existe una base B en K n tal que M BB (f A ) = D, siendo D = (d 1, d 2,, d n ) una matriz diagonal Puesto que A = M CC (f A ), siendo C la base canónica de K n, es claro que: D = M BB (f A ) = M CB A M BC = P 1 A P y las columnas de P forman la base B que diagonaliza a f A 55 Aplicaciones Lineales y Teorema de Rouché-Frobenius Sea A X = B un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas Denotemos por S el conjunto de soluciones del sistema, es claro que S = f 1 A ({B}) Es fácil ver que el sistema es compatible si, y sólo si, B f A (K n ), es decir, rango(a) = rango {C 1,,C n } = rango {C 1,, C n, B} = rango(a B) como ya sabíamos Suponiendo que el sistema es compatible, es fácil comprobar que si x 0 K n es una solución particular, el conjunto S se puede obtener como S = {x 0 } + Ker(f A ) siendo Ker(f A ) el conjunto de soluciones del sistema homogéneo cuya matriz asociada es A Así pues, el sistema será compatible determinado si, y sólo si, S es unitario, es decir S = {x 0 }, o lo que es lo mismo Ker(f A ) = { 0} Esta última condición es claramente equivalente a que rango(a) = n, ya que n = dim (Ker(f A )) + rango(a)