Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases

Transcripción

1 Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Objetivos Definir la matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases y estudiar la representación matricial de transformaciones lineales que actúan en espacios vectoriales de dimensión finita Requisitos Transformación lineal, vector columna de coordenadas de un vector respecto a una base, multiplicación de matrices, multiplicación de una matriz por un vector 1 Definición (matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea A (a 1,, a n una base de V, sea B (b 1,, b m una base de W, y sea T L(V, W La matriz de T en bases B y A (o matriz asociada con T respecto a las bases B y A, denotada por T B,A, se define como la matriz cuyas columnas son columnas de coordenadas de los vectores T (a 1,, T (a n en base B: En otras palabras, si entonces T B,A [ (T (a 1 B (T (a n B T (a j t i,j b i, T B,A [ t i,j m,n i,j1 Por definición T B,A M m,n (F, donde m dim(w, n dim(v Así que el número de renglones de la matriz T B,A es igual a la dimensión del contradominio de T, y el número de columnas es igual a la dimensión del dominio de T 2 Nota En el caso si W V y B A, en vez de T B,A se escribe T A 3 Ejemplo Sea A (a 1, a 2, a 3 una base de V y sea F (b 1, b 2 una base de W Supongamos que T (a 1 2b 1 3b 2, T (a 2 5b 2, T (a 3 b 1 + 4b 2 Entonces [ T B,A Matriz asociada a una transformación lineal, página 1 de 5

2 4 Teorema (representación matricial de una transformación lineal Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea A una base de V, sea B una base de W, sea T L(V, W Entonces para todo v V se tiene: (T v B T B,A v A Demostración Usemos las siguientes notaciones para las entradas de la matriz T B,A y para las coordenadas de v respecto a la base A: Esto es, T B,A [ t i,j m,n i,j1, v A [ x j n j1 T a j t i,j b i, v Calculemos T (v: ( T (v T x j a j (ii j1 (i ( t i,j x j j1 x j a j j1 x j T (a j j1 b i (iii j1 x j m (T B,A v A i b i En la igualdad (i usamos que T es lineal, en (ii usamos las propiedades de las operaciones en el campo F, en (iii usamos la definición del producto de una matriz por un vector Al fin tenemos que T (v (T B,A v A i b i, esto es, la i-ésima coordenada del vector T (v en base B es igual a la i-ésima componente del producto T B,A v A Por consecuencia, (T v B T B,A v A 5 Teorema (unicidad de la matriz que representa una transformación lineal respecto a un par de bases Sean V, W espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un campo F, sea A una base de V, sea B una base de W y sea T L(V, W Sea M M m,n (F tal que para todo v V se cumple la siguiente igualdad: Entonces T B,A M (T v B Mv A Demostración Aplicando la hipótesis del teorema y el resultado del teorema anterior (sobre la representación matricial de una transformación lineal, obtenemos que T B,A v A Mv A para todo v V Poniendo v a j con un j {1,, n} arbitrario, obtenemos que la j-ésima columna de T B,A es igual a la j-ésima columna de M Como j es arbitrario, de aquí sigue que T B,A M t i,j b i Matriz asociada a una transformación lineal, página 2 de 5

3 Ejemplos 6 Ejemplo (matriz de una transformación lineal en un espacio de polinomios Consideremos la transformación lineal T : P 2 (R P 2 (R definida por la siguiente regla de correspondencia: (T f(x (x 2 3x + 5f (x + (x 1f (x + 4f(x Construyamos la matriz de T en la base canónica E (e 0, e 1, e 2, donde e 0 (x 1, e 1 (x x, e 2 (x x 2 Primero calculamos los polinomios T (e j, j 0, 1, 2, y sus coordenadas en E: T (e e 0 + 0e 1 + 0e 2 ; T (e (x 1 + 4x 1 + 5x 1e 0 + 5e 1 + 0e 2 ; T (e 2 2(x 2 3x x(x 1 + 4x x + 8x 2 10e 0 8e 1 + 8e 2 Formamos la matriz T E de los vectores de coordenadas (T (e 0 E, (T (e 1 E, (T (e 2 E Respuesta: T E Para la comprobación, elijamos un polinomio g P 2 (R, g(x 3 4x+5x 2, y calculemos (T (g E de dos maneras diferentes Por un lado, (T (g(x (x 2 3x (x 1(10x 4 + 4(3 4x + 5x x + 40x 2, de allí (T (g E Por otro lado, podemos calculas (T (g E usando la fórmula de la representación matricial de T : (T (g E T E g E Matriz asociada a una transformación lineal, página 3 de 5

4 7 Ejemplo (matriz asociada a una transformación lineal que actúa en un espacio de matrices Consideremos el mapeo T : M 2 (R M 2 (R definido por la siguiente regla de correspondencia: T (X X [ Como el producto de matrices es aditivo y homogéneo respecto al primer argumento, T es una transformación lineal Hallemos la matriz asociada a T respecto a la base F (F 1, F 2, F 3, F 4 de M 2 (R, donde [ 1 0 F 1 E 1,1 0 0 [ 0 1 F 3 E 1,2 0 0 [ 0 0, F 2 E 2,1 1 0, F 4 E 2,2 [ Primero calculamos las imágenes de las matrices básicas F 1, F 2, F 3, F 4 bajo la transformación T y sus coordenadas respecto a la base F: [ [ [ T (F 1 3F F 2 5F 3 + 0F 4, [ [ [ T (F 2 0F F 2 + 0F 3 5F 4, [ [ [ T (F 3 4F F 2 + 7F 3 + 0F 4, [ [ [ T (F 4 0F F 2 + 0F 3 + 7F 4 De allí por definición, T F Para hacer la comprobación, elijamos una matriz [ 3 8 Y M (R y calculemos (T Y F de dos maneras diferentes Primero, aplicamos la definición de T : [ [ [ [ T (Y , Matriz asociada a una transformación lineal, página 4 de 5

5 Así que ( T (Y F Por otro lado, usemos la representación matricial de T : (T (Y F T F Y F Ejemplo (derivada de polinomios Matriz de la transformación D : P d (F P d 1 (F, Df : f 9 Ejemplo (operador de multiplicación por x en el espacio de polinomios Matriz del operador de multiplicación por x, T : P d (F P d+1 (F, (T f(x : xf(x 10 Ejemplo Matriz de rotación del plano por un ángulo α 11 Ejemplo (proyección del plano sobre una recta En el espacio V 2 (O se considera una base ( OA, OB y se define P como la proyección sobre la recta OA paralelamente a la recta OB Hay que calcular la matriz asociada a P respecto a la base ( OA, OB B A O M En el dibujo P ( OM OM M Matriz asociada a una transformación lineal, página 5 de 5