Definición y propiedades del determinante (repaso breve)

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1 Definición y propiedades del determinante (repaso breve Objetivos Repasar la definición del determinante (a través de permutaciones y sus propiedades básicas: determinante de la matriz transpuesta, determinante de una matriz triangular, determinante como una forma n-lineal alterna, determinante y operaciones elementales, determinante del producto, determinante de una matriz triangular por bloques Este texto no contiene demostraciones Para estudiar bien la definición del determinante y sus propiedades, se recomienda leer libros de texto o mis apuntes de Álgebra II Requisitos Permutaciones, funciones antisimétricas, operaciones elementales Permutaciones 1 Definición (permutación Una función ϕ: {1,, n} se llama permutación del conjunto {1,, n} si es biyectiva 2 Conjunto de las permutaciones del conjunto {1,, n} El conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1,, n} se denota por S n Es fácil ver que S n consiste en n! elementos 3 Definición (producto de permutaciones Sean ϕ, ψ S n El producto ϕψ se define como la composición ϕ ψ 4 Ejemplo Si entonces ϕ = ϕψ = , ψ = , ψϕ = , 5 Transposiciones En cierto sentido, las permutaciones más simples son transposiciones, que intercambian sólo dos elementos, y a los demás dejan en sus lugares Denotemos por τ p,q a la transposición de los elementos p y q Por ejemplo, si n = 6, entonces τ 2,6 = Transposiciones de forma τ p,p+1 se llaman transposiciones simples página 1 de 6

2 Signo de una permutación 6 Definición (número de inversiones en una permutación Sea ϕ S n Entonces 7 Ejemplo Sea n 1 inv(ϕ = {j {i + 1,, n}: ϕ i > ϕ j } ϕ = Entonces inv(ϕ = = Teorema (descomposición de una permutación en transposiciones simples Sea ϕ S n y sea k = inv(ϕ Entonces existen k transposiciones simples ψ 1,, ψ k tales que ϕ = ψ 1 ψ k 9 Definición (signo de una permutación Sea ϕ S n Entonces sgn(ϕ = ( 1 inv(ϕ 10 Ejemplo Calcular inv(ϕ y sgn(ϕ si ( ϕ = Teorema (signo del producto Sean ϕ, ψ S n Entonces sgn(ϕψ = sgn(ϕ sgn(ψ página 2 de 6

3 Definición del determinante 12 Definición (determinante de una matriz cuadrada det(a = ϕ S n sgn(ϕ n A i,ϕ(i 13 Ejemplo Calcular el coeficiente de x 4 en el polinomio definido por el siguiente determinante: 2 x 3 1 f(x = x 3 2 4x 5 1 5x 3 x 2 1 7x Solución Es fácil ver que x 4 surge sólo en los sumandos que corresponden a las siguientes permutaciones ϕ 1 y ϕ 2 : 2 x 3 1 ( x 3 2 4x x 3 ϕ 1 = x 2 1 7x 2 x 3 1 x 3 2 4x 5 1 5x 3 x 2 1 7x ϕ 2 = ( Calculamos los signos de estas permutaciones y los sumandos correspondientes: sgn(ϕ 1 = ( 1 1 = 1, sgn(ϕ 1 sgn(ϕ 2 = ( 1 4 = 1, sgn(ϕ 2 4 A i,ϕ1 (i = 1 ( x x 5x 7x = 35x 4 ; 4 A i,ϕ2 (i = 1 ( x 4x 5x ( x = 20x 4 Respuesta: el coeficiente de x 4 en el polinomio f(x es igual a 15 página 3 de 6

4 Determinante de la matriz transpuesta, determinante de matrices triangulares 14 Teorema (determinante de la matriz transpuesta Sea A M n (F Entonces det(a T = det(a 15 Teorema (determinante de una matriz triangular superior Sea A M n (F una matriz triangular superior, esto es, A i,j = 0 para todos i, j {1,, n} tales que i > j Entonces n det(a = A i,i 16 Corolario (determinante de la matriz identidad Funciones antisimétricas det(i n = 1 17 Definición (función antisimétrica Sea X un conjunto Una función f : X k F se llama antisimétrica si cambia su signo al intercambiar cualesquiera dos de sus argumentos 18 Notación (permutación de los argumentos de una función Sea X un conjunto, sea f : X k F una función de k argumentos y sea ϕ S n una permutación Entonces la función ϕf se define por la siguiente regla de correspondencia: (ϕf(a 1,, a n = f(a ϕ(1,, a ϕ(n 19 Proposición (criterio de función antisimétrica Sea f : X k F una función de k argumentos Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a f cambia su signo al intercambiar cualesquiera dos argumentos vecinos: τ i,i+1 f = f i {1,, n 1} (b f cambia su signo al intercambiar cualqesquiera dos argumentos: (c para toda permutación ϕ S n, τ i,j f = f i, j {1,, n}, i j ϕf = sgn(ϕf 20 Ejemplo Sea f : X 4 R una función antisimétrica Exprese f(a 3, a 1, a 4, a 2 a través de f(a 1, a 2, a 3, a 4 página 4 de 6

5 Formas polilineales alternas 21 Definición (forma k-lineal Sea V un EV/F Una función f : V k F se llama forma k-lineal si es lineal con respecto a cada uno de sus k argumentos 22 Definición (función alterna Sea X un conjunto Una función f : X k F se llama alterna si se anula siempre y cuando cualesquiera dos de sus argumentos son iguales 23 Proposición Sea V un EV/F y sea f : V k F una forma k-lineal alterna Entonces f es antisimétrica 24 Ejemplo Sea V un espacio vectorial real, sea f : V 3 R una forma 3-lineal alterna y sean a, b, c V Expresar f(3a b, a + c, 7b + c a través de f(a, b, c Determinante como una forma n-lineal alterna 25 Determinante como una función de los renglones de la matriz A veces es cómodo considerar el determinante como función de los renglos de la matriz Más formalmente, para un número n fijo consideramos la función definida mediante la siguiente fórmula: Det: (F n n F Det(a 1,, a n = det a 1 a 3 Aquí en el lado derecho de la igualdad está escrita la matriz n n cuyos renglones son a 1,, a n 26 Teorema (determinante es una forma n-lineal alterna de sus renglones Determinante considerado como función de los renglones de la matriz es una función n- lineal alterna Más aún, es la única función n-lineal alterna de los renglones que tiene valor 1 en la matriz identidad 27 Teorema (determinante y operaciones elementales Sea A M n (F 1 Si A Rp Rq B, entonces det(b = det(a 2 Si A 3 Si A Rp = λ B, entonces det(b = λ det(a Rp += λrq B, entonces det(b = det(a página 5 de 6

6 Determinante del producto 28 Teorema (determinante del producto Sean A, B M n (F Entonces det(ab = det(a det(b 29 Corolario (determinante de la matriz asociada a una transformación lineal no depende de base Sea V un EV/F de dimensión finita y sea T L(V Entonces para cualesquiera bases E y F de V, det(t E = det(t F Determinante de una matriz triangular superior por bloques 30 Teorema (determinante de una matriz triangular superior por bloques Sean A M m,m (F, B M m,n (F, C M n,n (F Entonces ( A B det = det(a det(c 0 n,m C 31 Corolario det a 1,1 a 1,2 a 1,n 0 a 2,2 a 2,n = a 1,1 det a 1,2 a 1,n a 2,2 a 2,n 0 a n,2 a n,n a n,2 a n,n 32 Ejemplo Calcular el determinante usando el Corolario 31 y el Teorema 27 sobre el determinante y operaciones elementales: página 6 de 6