Algebra Lineal XX: Determinantes.
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- Gregorio Quintero Blázquez
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1 Algebra Lineal XX: Determinantes. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@salamanca.ugto.mx En estas notas mostraremos como definir la función determinante para matrices cuadradas de orden arbitrario. El estudio de los determinantes se iniciará definiendo las propiedades que debe tener la función determinante. Además, se mostrará que la función determinante de existir es única.. Definición de la función determinante. El primer paso será definir las propiedades que debe satisfacer la función determinante. Definición de la función determinante. Sea M p p el espacio vectorial de matrices cuadradas de orden p con elementos sobre el campo K. Eldeterminante es un mapeo de M p p al campo K que está definido por los requerimientos sobre las columnas M,M 2,...,M p de una matriz M M p p arbitraria.. Si la j ésima columna j p de M está dadaporm j + M j,setieneque det(m M 2 M j + M j M p ) = det(m M 2 M j M p )+det(m M M j M p ) 2. Si la j ésima columna j p de M está dadaporλm j, donde λ K se tiene que det(m M 2 λm j M p )=λdet(m M 2 M j M p ) Estas dos primeras propiedades, aseguran que el determinante es un mapeo multilineal en las columnas de la matriz M. 3. Si M j = M j+ para cualquier j tal que j p entonces det(m) =. 4. Si I p es la matriz identidad en el espacio M p p entonces det(i p )=. A partir de esta definición, se encontrarán propiedades adicionales de la función determinante y se ampliará el alcance de algunas de estas propiedades iniciales. Teorema. Sea M M p p yseadet la función determinante sobre M p p. Entonces, el valor del determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas adyacentes de M El determinante de una matriz cuadrada M frecuentemente se representa para M
2 es ( )det(m). Prueba. Considere el determinante de la matriz = det(m M 2 M j + M j+ M j + M j+ M p ) = det(m M 2 M j M j + M j+ M p )+det(m M 2 M j+ M j + M j+ M p ) = det(m M 2 M j M j M p )+det(m M 2 M j M j+ M p )+ det(m M 2 M j+ M j M p )+det(m M 2 M j+ M j+ M p ) Sin embargo, por la propiedad número 3 de la función determinante, el primero y el último de los determinantes son, por lo tanto por lo tanto =det(m M 2 M j M j+ M p )+det(m M 2 M j+ M j M p ) det(m M 2 M j+ M j M p )= det(m M 2 M j M j+ M p )= det(m) Corolario. Si dos columnas de M son iguales; es decir si M i = M j para i j, entonces det(m) =. Prueba. Suponga que i<j, entonces det(m) = det(m M 2 M i M j M p )=( ) j i det(m M 2 M i M j M p ) = ( ) j i det(m M 2 M i M i M p )=( ) j i () = Corolario. Sea M M p p yseadet la función determinante sobre M p p. Entonces, el valor del determinante de la matriz obtenida intercambiando o permutando dos columnas cualesquiera de M es ( )det(m). Prueba. Considere el determinante de la matriz = det(m M 2 M i + M j M i + M j M p ) = det(m M 2 M i M i + M j M p )+det(m M 2 M j M i + M j M p ) = det(m M 2 M i M i M p )+det(m M 2 M i M j M p )+ det(m M 2 M j M i M p )+det(m M 2 M j M j M p ) Sin embargo, por el corolario anterior, el primero y el último de los determinantes son, por lo tanto por lo tanto =det(m M 2 M i M j M p )+det(m M 2 M j M i M p ) det(m M 2 M j M i M p )= det(m M 2 M i M j M p )= det(m) Teorema. La adición del múltiplo escalar de una columna de la matriz a otra columna de la matriz deja sin cambio al valor del determinante. Prueba. Considere la matriz det(m M 2 M i M j + λm i M p ) = det(m M 2 M i M j M p )+ det(m M 2 M i λm i M p ) = det(m M 2 M i M j M p )+ λdet(m M 2 M i M i M p ) = det(m M 2 M i M j M p )+ = det(m M 2 M i M j M p ) 2
3 Teorema. Para cada p, existe cuando mucho una función determinante en M p p. No mostraremos este teorema para el caso general, pero mostraremos que este resultado es cierto para p =2yparap =3. Unicidad del determinante para p = 2. Considere una matriz arbitraria M M 2 2, entonces [ ] a a M = 2 =[M a 2 a M 2 ] 22 donde además M = a ê + a 2 ê 2 y M 2 = a 2 ê + a 22 ê 2 [ ] [ ] ê = y ê 2 = Entonces, expandiendo las columnas del determinante de la matriz, M, se tiene que M = det(m) = det(a ê + a 2 ê 2 a 2 ê + a 22 ê 2 ) = det(a ê a 2 ê + a 22 ê 2 )+det(a 2 ê 2 a 2 ê + a 22 ê 2 ) = det(a ê a 2 ê )+det(a ê a 22 ê 2 )+ det(a 2 ê 2 a 2 ê )+det(a 2 ê 2 a 22 ê 2 ) = a a 2 det(ê ê )+a a 22 det(ê ê 2 )+ a 2 a 2 det(ê 2 ê )+a 2 a 22 det(ê 2 ê 2 ) = (a a 22 a 2 a 2 )det(ê ê 2 )=a a 22 a 2 a 2 Unicidad del determinante para p = 3. Considere una matriz arbitaria M M 3 3, entonces M = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 =[M M 2 M 3 ] a 3 a 32 a 33 donde ademas M = a ê + a 2 ê 2 + a 3 ê 3 M 2 = a 2 ê + a 22 ê 2 + a 32 ê 3 M 3 = a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 ê = ê 2 = ê 3 = Entonces, expandiendo las dos primeras columnas del determinante de la matriz M y eliminando los 3
4 determinantes cuyo valor es, se tiene que M = det(a ê + a 2 ê 2 + a 3 ê 3 a 2 ê + a 22 ê 2 + a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 ) = det(a ê a 2 ê + a 22 ê 2 + a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 2 ê + a 22 ê 2 + a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 2 ê + a 22 ê 2 + a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 ) = det(a ê a 2 ê a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a ê a 22 ê 2 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a ê a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 2 ê a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 22 ê 2 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 2 ê a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 ) = det(a ê a 22 ê 2 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a ê a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 2 ê a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 2 ê a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 3 ê + a 23 ê 2 + a 33 ê 3 ) Expandiendo la tercera columna del determinante de la matriz M y eliminando aquellos determinantes cuyo valor sea, se tiene que M = det(a ê a 22 ê 2 a 3 ê )+det(a ê a 22 ê 2 a 23 ê 2 )+det(a ê a 22 ê 2 a 33 ê 3 )+ det(a ê a 32 ê 3 a 3 ê )+det(a ê a 32 ê 3 a 23 ê 2 )+det(a ê a 32 ê 3 a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 2 ê a 3 ê )+det(a 2 ê 2 a 2 ê a 23 ê 2 )+det(a 2 ê 2 a 2 ê a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 3 ê )+det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 23 ê 2 )+det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 2 ê a 3 ê )+det(a 3 ê 3 a 2 ê a 23 ê 2 )+det(a 3 ê 3 a 2 ê a 33 ê 3 )+ det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 3 ê )+det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 23 ê 2 )+det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 33 ê 3 ) = det(a ê a 22 ê 2 a 33 ê 3 )+det(a ê a 32 ê 3 a 23 ê 2 )+det(a 2 ê 2 a 2 ê a 33 ê 3 )+ det(a 2 ê 2 a 32 ê 3 a 3 ê )+det(a 3 ê 3 a 2 ê a 23 ê 2 )+det(a 3 ê 3 a 22 ê 2 a 3 ê ). El paso final, consiste en realizar todas las permutaciones, cambiando el signo del determinante de manera apropiada, para que las columnas del determinante correspondan a la matriz identidad, cuyo determinante es. M = a a 22 a 33 det(ê ê 2 ê 3 ) a a 32 a 23 det(ê ê 2 ê 3 ) a 2 a 2 a 33 det(ê ê 2 ê 3 )+ a 2 a 32 a 3 det(ê ê 2 ê 3 )+a 3 a 2 a 23 det(ê ê 2 ê 3 ) a 3 a 22 a 3 det(ê ê 2 ê 3 ) = a a 22 a 33 a a 32 a 23 a 2 a 2 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a 3 a 22 a 3 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3. 4
5 2. Problemas Resueltos Problema. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden 2. M = Solución: Empleando los vectores columna [ ] [ ] ê = y ê 2 = el determinante se escribe como M = = 3ê ê 2 2ê +7ê 2 =3 ê 2ê +7ê 2 ê 2 2ê +7ê 2 = 6 ê ê +2 ê ê 2 2 ê 2 ê 7 ê 2 ê 2 Pero se sabe que además Por lo tanto ê ê = ê 2 ê 2 = ê ê 2 = y ê 2 ê = ê ê 2 =. M = 6 ê ê +2 ê ê 2 2 ê 2 ê 7 ê 2 ê 2 = 6() + 2() 2( ) 7() = 23. Problema 2. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor del siguiente determinante de orden M = Solución: Empleando los vectores columna ê = ê 2 = ê 3 = el determinante se escribe como 3 2 M = = 3ê ê 2 3ê 3 2ê +7ê 2 +5ê 3 ê +3ê 3 = 3ê 2ê +7ê 2 +5ê 3 ê +3ê 3 + ê 2 2ê +7ê 2 +5ê 3 ê +3ê 3 + 3ê 3 2ê +7ê 2 +5ê 3 ê +3ê 3 = 3ê 2ê ê +3ê 3 + 3ê 7ê 2 ê +3ê 3 + 3ê 5ê 3 ê +3ê 3 + ê 2 2ê ê +3ê 3 + ê 2 7ê 2 ê +3ê 3 + ê 2 5ê 3 ê +3ê 3 + 3ê 3 2ê ê +3ê 3 + 3ê 3 7ê 2 ê +3ê 3 + 3ê 3 5ê 3 ê +3ê 3 Pero se sabe que si algún determinante tiene dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto M = 3ê 7ê 2 ê +3ê 3 + 3ê 5ê 3 ê +3ê 3 + ê 2 2ê ê +3ê 3 + ê 2 5ê 3 ê +3ê 3 + 3ê 3 2ê ê +3ê 3 + 3ê 3 7ê 2 ê +3ê 3 5
6 Expandiendo la tercera columna se tiene que M = 3ê 7ê 2 ê + 3ê 7ê 2 3ê 3 + 3ê 5ê 3 ê + 3ê 5ê 3 3ê 3 + ê 2 2ê ê + ê 2 2ê 3ê 3 + ê 2 5ê 3 ê + ê 2 5ê 3 3ê 3 + 3ê 3 2ê ê + 3ê 3 2ê 3ê 3 + 3ê 3 7ê 2 ê + 3ê 3 7ê 2 3ê 3 Nuevamente, aquellos determinantes que tienen dos columnas con el mismo vector unitario su valor es cero, por lo tanto M = 3ê 7ê 2 3ê 3 + ê 2 2ê 3ê 3 + ê 2 5ê 3 ê + 3ê 3 7ê 2 ê = 63 ê ê 2 ê 3 +6 ê ê 2 ê 3 +5 ê ê 2 ê 3 2 ê ê 2 ê 3 =53 ê ê 2 ê 3 =53 Pues se sabe que el determinante de la matrix identidad 3. Problemas Propuestos. I 3 = ê ê 2 ê 3 =. Problema. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden 2. M = M 2 = Problema 2. Empleando los métodos indicados en estas notas, calcule el valor de los siguientes determinantes de orden M 3 = M 4 =
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