Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definición y

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1 Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definición y solución. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato jrico@ugto.mx 1 Sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección, se introducirán las definiciones necesarias para analizar los sistemas de ecuaciones lineales. Definición de una ecuación lineal. Una ecuación lineal en un campo K es una ecuación de la forma a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n = b 1 donde a 1,a 2,,a n K se denominan los coeficientes de la ecuación y b 1 K se denomina el término independiente, si el término independiente b 1 = 0, la ecuación lineal se denomina homogenea. En caso contrario, es decir, si b 1 0, la ecuación lineal se denomina no homogenea. Además, se supone que x 1,x 2,,x n K, estos valores se conocen como las incógnitas de la ecuación lineal. El conjunto solución de una ecuación lineal, denominado C S, se define como Una ecuación lineal de la forma C S = {(x 1,x 2,,x n ) a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n b 1 }. 0x 1 +0x x n = 0, se denomina redundante porque cualquier (x 1,x 2,,x n ) satisface la ecuación. Por el contrario, una ecuación lineal de la forma 0x 1 +0x x n = b 1 con b 1 0, se denomina inconsistente porque ningún (x 1,x 2,,x n ) satisface la ecuación. Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas no homogeneo, en un campo K, es una expresión dada por la ecuación (1) a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 + +a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x 3 + +a mn x n = b m 1

2 donde a ij K i = 1,2,...,m y j = 1,2,...,n se denominan los coeficientes del sistema de ecuaciones, y b i K i = 1,2,...,m se denominan los términos independientes del sistema de ecuaciones. Si b i = 0, i = 1,2,...,m el sistema de ecuaciones se denomina homogeneo. En caso contrario, es decir, si b i 0 para algún valor de i = 1,2,...,m, el sistema de ecuaciones se denomina no homogeneo. Finalmente, las incógnitas del sistema de ecuaciones son x 1,x 2,...,x n K y, como se indica, pertenecen al campo K. En nuestro caso, el campo será casi exclusivamente el campo de los números reales R, con algunos excursiones al campo de los números complejos C. El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales, denominado C S, se define como C S = (x 1,x 2,,x n ) a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 + +a 1n x n b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 + +a 2n x n b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x 3 + +a mn x n b m Si se denomina C Si el conjunto solución de la i-ésima ecuación lineal del sistema de ecuaciones dado por la ecuación (1), se tiene que m C S = C S1 C S2 C Sm = C Si. (2) Finalmente, el sistema de ecuaciones lineales dado por i=1 a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 + +a 1n x n = 0 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 + +a 2n x n = 0 = a m1 x 1 +a m2 x 2 +a m3 x 3 + +a mn x n = 0 en el cual todas los términos independientes se han hecho iguales a 0, se conoce como el sistema de ecuaciones homogeneo asociado al sistema de ecuaciones lineales dado por la ecuación (1). El objetivo del resto de estas notas es encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales arbitrario. Empezar un curso de álgebra lineal con este tema tiene varias razones: 1. Un sin número de tareas dentro del álgebra lineal requieren precisamente de resolver un sistema de ecuaciones lineales. 2. Este tema permite introducir a un nivel elemental el concepto de matrices, uno de los objetos de estudio del álgebra lineal. 3. Las ecuaciones lineales tienen una interpretación geométrica muy sencilla en los espacios Euclideos de dimensión dos, el plano, y dimensión tres, el espacio. Estas interpretaciones permiten intuir como es el comportamiento de sistemas de ecuaciones con mas de tres variables, donde una interpretación geométrica ya no es posible. 2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En esta sección se introducirán objetos conocidos como matrices que, en esta etapa del curso, nos permitirán tratar de manera un poco más abstracta a los sistemas de ecuaciones lineales eliminando toda referencia a las incógnitas del sistema. El sistema de ecuaciones, dado por la ecuación (1), puede escribirse en forma matricial como a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b m (3) 2

3 La matriz 1 A, definida como A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn se conoce como la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuación (1), la matrix A b, definida como a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 A b = a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 a m1 a m2 a m3 a mn b m se conoce como la matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuación (1). En el resto de estas notas se mostrará como se puede encontrar el conjunto solución del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuación (1) empleando exclusivamente las matrices de coeficientes y augmentada del sistema. 3 Solución de un sistema lineal de ecuaciones. Durante la educación media superior se estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Allí se muestra que existen tres posibles métodos de solución de estos sistemas de ecuaciones: 1. Suma o resta de ecuaciones. 2. Sustitución de variables. 3. Igualación. En estas notas se mostrará un método sistemático de solución basado en el método de suma o resta de ecuaciones lineales. El método consiste en paulatinamente cambiar el sistema de ecuaciones lineales original por otro más sencillo pero que tenga el mismo conjunto solución. A continuación se prueba el resultado fundamental del método de solución de un sistema de ecuaciones lineales. Teorema. Considere el conjunto de m ecuaciones lineales en n incógnitas dado por la ecuación (1), el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales C S = C S1 C S2 C Sm = m C Sk. no se altera cuando se realizan las siguientes tres operaciones denominadas elementales: 2 1. Se intercambian ecuaciones. 2. Se multiplica una ecuación por un elemento del campo diferente de 0. 1 Por el momento, una matriz es simplemente un arreglo rectangular de números pertenecientes a un campo, casi siempre el campo de los números reales, R. 2 Debe notarse que cada una de estas operaciones elementales conduce a una operación equivalente en las filas de la matriz aumentada del sistema A b. De manera más específica: El intercambio de ecuaciones equivale al intercambio de las filas correspondientes de la matriz aumentada, la multiplicación de una ecuación por un elemento del campo diferente de 0 corresponde a la multiplicación de la fila correspondiente de la matriz aumentada por el mismo elemento del campo diferente de 0. Finalmente, la suma del múltiplo de una ecuación a otra corresponde a la suma del mismo múltiplo de la fila correspondiente a la primera ecuación a la fila correspondiente a la segunda ecuación. k=1 3

4 3. Se suma el múltiplo de una ecuación a otra ecuación. Prueba: La prueba se hará evidentemente en tres partes 1. Se intercambian las ecuaciones i y j. El conjunto solución del sistema original está dado por C So = C S1 C S2 C Si C Sj C Sm, mientras que el conjunto solución del sistema final, es decir aquel que se obtiene después del intercambio de ecuaciones, está dado por C Sf = C S1 C S2 C Sj C Si C Sm. Es, pues, suficiente probar que C So = C Sf. Este resultado se probará por doble inclusion; es decir, probando que C So C Sf y C Sf C So. Considere (x 1,x 2,,x n ) C So (x 1,x 2,,x n ) C Sk k = 1,2,,m (x 1,x 2,,x n ) C Sf De esa manera se prueba el resultado Se multiplica la ecuación i por un elemento del campo, también conocido como escalar, λ K tal que λ 0. La ecuación original i está dada por a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n = b i y su conjunto solución se denomina C Sio, la ecuación que se obtiene después de multiplicar la ecuación i por un escalar λ K, tal que λ 0 está dada por (λa i1 )x 1 +(λa i2 )x 2 +(λa i3 )x 3 + +(λa in )x n = λb i y su conjunto solución se denomina C Sif. Como en este caso, solo se manipula la i-ésima ecuación, es suficiente probar que C Sio = C Sif. Nuevamente, este resultado se probará por doble inclusión; es decir, probando que C Sio C Sif y C Sif C Sio Sea (x 1,x 2,,x n ) C Sio entonces a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n b i entonces λ(a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n ) (λb i ). Por lo tanto (λa i1 )x 1 +(λa i2 )x 2 +(λa i3 )x 3 + +(λa in )x n (λb i ) y (x 1,x 2,,x n ) C Sif. Se ha probado pues que C Sio C Sif. En la dirección contraria, sea (x 1,x 2,,x n ) C Sif entonces (λa i1 )x 1 +(λa i2 )x 2 +(λa i3 )x 3 + +(λa in )x n (λb i ) 3 Una manera alternativa de probar este resultado consiste en invocar las leyes de Morgan que indican que la intersección de conjuntos es conmutativa y asociativa. 4

5 puesto que λ 0, existe un inverso multiplicativo en K, denominado λ 1 = 1 λ tal que λ 1 [(λa i1 )x 1 +(λa i2 )x 2 +(λa i3 )x 3 + +(λa in )x n ] λ 1 (λb i ) (λ 1 λ)a i1 x 1 +(λ 1 λ)a i2 x 2 +(λ 1 λ)a i3 x 3 + +(λ 1 λ)a in x n (λ 1 λ)b i pero λ 1 λ = 1, donde 1 es el idéntico multiplicativo del campo, y 1k = k = k1 para cualquier elemento k K, por lo tanto a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n b i y (x 1,x 2,,x n ) C Sio. Se ha probado pues que C Sif C Sio. La conjunción de estos dos resultados parciales conduce a C Sif = C Sio. 3. Se suma un múltiplo de la ecuación i a la ecuación j. Las ecuaciones originales i y j están originalmente dadas por a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n = b i (4) y a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n = b j (5) y sus conjuntos solución se denominan C Sio y C Sjo. La ecuación que se obtiene después de sumar λ veces la ecuación i a la ecuación j está dada por (λa i1 +a j1 )x 1 +(λa i2 +a j2 )x 2 +(λa i3 +a j3 )x 3 + +(λa in +a jn )x n = λb i +b j (6) y su conjunto solución se denomina C Sλi+j. Como en este caso solo se manipulan las ecuaciones i y j es suficiente probar que C Sio C Sjo = C Sio C Sλi+j. Nuevamente, este resultado se probará por doble inclusión; es decir, probando que C Sio C Sjo C Sio C Sλi+j y C Sio C Sλi+j C Sio C Sjo Suponga que (x 1,x 2,,x n ) C Sio C Sjo entonces, (x 1,x 2,,x n ) C Sio y (x 1,x 2,,x n ) C Sjo, por lo tanto a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n b i y a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n b j Sin embargo, si se sustituye (x 1,x 2,,x n ) en la ecuación (4), se tiene que (λa i1 +a j1 )x 1 +(λa i2 +a j2 )x 2 +(λa i3 +a j3 )x 3 + +(λa in +a jn )x n = λb i +b j λa i1 x 1 +a j1 x 1 +λa i2 x 2 +a j2 x 2 +λa i3 x 3 +a j3 x 3 + +λa in x n +a jn x n = λb i +b j λ(a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n )+(a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n ) λb i +b j Por lo tanto (x 1,x 2,,x n ) C Sλi+j y (x 1,x 2,,x n ) C Sio C Sλi+j. Entonces, se probó que C Sio C Sjo C Sio C Sλi+j. En la dirección contraria, suponga que (x 1,x 2,,x n ) C Sio C Sλi+j entonces, (x 1,x 2,,x n ) C Sio y (x 1,x 2,,x n ) C Sλi+j, por lo tanto a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n b i 5

6 y (λa i1 +a j1 )x 1 +(λa i2 +a j2 )x 2 +(λa i3 +a j3 )x 3 + +(λa in +a jn )x n λb i +b j Expandiendo y acomodando esta última ecuación, se tiene que (λa i1 +a j1 )x 1 +(λa i2 +a j2 )x 2 +(λa i3 +a j3 )x 3 + +(λa in +a jn )x n λb i +b j λa i1 x 1 +a j1 x 1 +λa i2 x 2 +a j2 x 2 +λa i3 x 3 +a j3 x 3 + +λa in x n +a jn x n λb i +b j λ(a i1 x 1 +a i2 x 2 +a i3 x 3 + +a in x n )+(a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n ) λb i +b j (7) Sin embargo, sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (6), se tiene que o λb i +(a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n ) λb i +b j (a j1 x 1 +a j2 x 2 +a j3 x 3 + +a jn x n ) b j Por lo tanto (x 1,x 2,,x n ) C Soj y (x 1,x 2,,x n ) C Sio C Soj. Entonces se probó que La conjunción de estos dos resultados conduce a y este resultado finaliza la prueba. 4 Ejemplos. C Sio C Sλi+j C Sio C Soj. C Sio C Sλi+j = C Sio C Soj, En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones lineales: 4.1 Ejemplo 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2x 1 2x 2 +2x 3 = 1, 3x 1 +6x 2 +0x 3 = 1, (8) 1x 1 7x 2 +10x 3 = 2. La matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones está dada por A b = Si se suma a la segunda ecuación 3 2 de la primera ecuación y se suma a la tercera ecuación 1 2 primera ecuación, el sistema de ecuaciones se transforma en de la 2x 1 2x 2 +2x 3 = 1 0x 1 +3x 2 +3x 3 = 1 2 0x 1 +6x 2 +9x 3 = 3 2 6

7 En términos de la matriz aumentada, el efecto de estas reducciones se obtiene de manera semejante. Es decir, sumando 3 2 de la primera fila a la segunda fila y sumando 1 2 de la primera fila a la tercera fila, de esta manera, la matriz aumentada se reduce a A b1 = En la etapa final, si se suma a la tercera ecuación 2 veces la segunda ecuación, se tiene que el sistema de ecuaciones se reduce a 2x 1 2x 2 +2x 3 = 1 0x 1 +3x 2 +3x 3 = 1 2 (9) 0x 1 +0x 2 +3x 3 = 1 2 En términos de la matriz aumentada, el efecto corresponde a sumar a la tercera fila 2 veces la segunda fila, de esta manera, la matriz augmentada se reduce a A b2 = (10) Es importante señalar que puesto que durante este proceso se han empleado exclusivamente las operaciones elementales, el conjunto solución del sistema original, vea la ecuación (8), y el conjunto solución del sistema final, vea la ecuación (9), coinciden. Mas aún, el sistema final de ecuaciones, vea la ecuación (9), y la matriz aumentada, vea la ecuación (10), tienen una forma muy simple conocida como escalonada o de modo mas formal como triangular superior, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, y este sistema de ecuaciones puede resolverse de manera muy sencilla por el método conocido como sustitución inversa. Este proceso consiste en resolver la tercera ecuación para la incógnita x 3, sustituir este valor en la segunda ecuación, del sistema, para resolver esta ecuación para la incógnita x 2. El proceso finaliza con la sustitución de x 3 y x 2 en la primera ecuación y la solución de esta ecuación para la incógnita x 1. El conjunto solución del sistema lineal de ecuaciones está dado, en dos formas alternativas, por C S = {( 1 3,0, 1 )} 6 = { x 1 = 1 3,x 2 = 0,x 3 = 1 }. 6 5 Representación de líneas y planos mediante vectores y ecuaciones lineales. En esta sección se mostrará como representar líneas y planos en el espacio mediante dos diferentes métodos: 1. Como combinaciones de vectores. 2. Como ecuaciones o sistemas de ecuaciones. 5.1 Representación de planos como combinaciones de vectores y como ecuaciones lineales. Considere el espacio físico tridimensional, formado por puntos, líneas, planos, etc. Si se selecciona un origen arbitrario, los puntos están en una relación biunivoca, es decir inyectiva y sobreyectiva, con las 7

8 Figure 1: Punto P y sus coordenadas respecto al sistema coordenado. Figure 2: Plano determinado por un punto P y dos vectores contenidos en el plano. triadas ordenadas de números reales (x,y,z), vea la figura 1, que muestra un punto arbitrario y la triada de números reales correspondiente. Una manera muy sencilla de definir un plano, se muestra en la figura 2. Si se conoce un punto P y dos vectores, que por comodidad se suponen unitarios, û, ˆv, contenidos en el plano, todos los vectores de posición de cualquier punto, digamos Q, contenido en el plano, está dado por PQ = { r Q r Q = r P +λû+µˆv, donde λ,µ R}. Sin embargo, existe otra manera de representar los vectores de posición de los puntos, digamos Q, contenidos en el plano. Considere el plano mostrado en la figura 3, sea P y Q puntos contenidos en el plano, y sea û, un vector, que por comodidad se supone unitario, que es perpendicular al plano. Suponga que los vectores de posición de los puntos P y Q y el vector unitario û están dados por r P = (x P,y P,z P ) r Q = (x,y,z) y û = (u x,u y,u z ). Entonces el vector r Q r P que conecta el punto P con un punto arbitrario contenido en el plano, digamos Q, está contenido en el plano, y es, por lo tanto, perpendicular al vector û, que es perpendicular al plano. Es decir, la ecuación del plano está dado por ( r P r Q ) û = 0 o r Q û = r P û. Sustituyendo las coordenadas de los vectores, se tiene que (x,y,z) (u x,u y,u z ) = (x P,y P,z P ) (u x,u y,u z ) u x x+u y y +u z z = u x x P +u y y P +u z z P. (11) 8

9 Figure 3: Plano determinado por un punto P y un vector perpendicular al plano. Es importante darse cuenta que la ecuación (11) es una ecuación lineal en tres incógnitas, x,y,x. Entonces, se ha llegado a un resultado importante, un plano en el espacio físico tridimensional, se representa mediante una ecuación lineal en las coordenadas de los puntos. Note que el plano pasa por el origen O, si y sólo si, la ecuación lineal es homogenea. 5.2 Ejemplo 1. Considere la ecuación de un plano dada por 2x 2y +2z = 1, (12) Esta ecuación puede expresarse, después de una redefinición de las incógnitas, como 2x 1 2x 2 +2x 3 = 1; sin embargo, puesto que se busca una interpretacion geométrica de la ecuación se cambió el significado de las incógnitas. Es evidente que el origen del sistema coordenado (0,0,0) no forma parte del plano representado por la ecuación (12), pues 2(0) 2(0)+2(0) = 0 1. La figura 4 muestra el plano representado por la ecuación (12). Esta figura verifica que el origen no forma parte del plano. 5.3 Ejemplo 2. Considere la ecuación de un plano dada por x 7y +10z = 0, (13) Es evidente que el origen del sistema coordenado (0,0,0) forma parte del plano representado por la ecuación (13), pues (0) 7(0)+10(0) = 0. La figura 5 muestra el plano representado por la ecuación (13). Esta figura verifica que el origen forma parte del plano. 9

10 Figure 4: Plano representado por la ecuación (12). Figure 5: Plano representado por la ecuación (13). 10

11 6 Determinación de los diferentes casos de solución de sistemas de ecuaciones lineales. En esta sección se analizarán los diferentes casos de solución, o ausencia de solución, de sistemas de ecuaciones lineales. Mas aún, esos casos se interpretarán a la luz de la representación de ecuaciones lineales como planos en un espacio físico tridimensional. Para tal fín conviene clasificar las matrices asociadas, a los sistemas de ecuaciones lineales, de acuerdo a las filas diferentes de cero que aparecen en su forma escalonada previa a la posible solución del sistema por el método de sustitución inversa. 1. El número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es mayor que el número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones tiene, al menos, una ecuación lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones no tiene solución alguna y el sistema de ecuaciones se denomina inconsistente. 2. El número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones. 4 Enestecaso, elsistemadeecuacionesnotieneninguna ecuación lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones si tiene, al menos, una solución y el sistema de ecuaciones se denomina consistente. Además, este caso admite una clasificación mas fina. (a) Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un único elemento. En otras palabras, la solución es única. (b) Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menor al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un número infinito de elementos. De manera mas específica, el conjunto solución tiene tantas variables libres como la diferencia entre el número de incógnitas y el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada. Estos resultados se encuentran resumidos en la figura 6; sin embargo, se debe enfatizar que no es, en general, posible determinar el tipo de sistema y el número de soluciones sin encontrar primero la forma escalonada de la matriz aumentada. Un caso especial muy importante, que merece un análisis particular, es el de los sistemas de ecuaciones homogeneos, en este caso, el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es siempre igual al número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones. 5 Entonces, estos sistemas siempre tienen al menos una solución, denominada la trivial, y dada por Entonces, se tienen dos posibles casos x 1 = x 2 = = x n = 0. (14) 1. Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un único elemento. En otras palabras, la solución es única y es la trivial, dada por la ecuación (14). 2. Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menor al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un número infinito 4 Cual es la razón por la cual el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, no puede ser menor que el número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema de ecuaciones? 5 Cual es la razón de este resultado? 11

12 Figure 6: Resumen de los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y el número de soluciones. 12

13 de elementos. De manera mas específica, el conjunto solución tiene tantas variables libres como la diferencia entre el número de incógnitas y el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada. 6.1 Ejemplo 3. Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación 2x 2y +2z = 1 3x+6y +z = 1 (15) 6x+6y 6z = 4 Donde la matriz augmentada del sistema está dada por A b = Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, A b, 3 2 veces la primera fila y añadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, A b, 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz está dada por A b1 = Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene 2 filas diferente de cero, mientras que la matriz augmentada A b1 en su forma escalonada tiene 3 filas diferente de cero. El sistema de ecuaciones es inconsistente, y su conjunto solucion está dado por C S =. Este resultado, puede verificarse rapidamente notando, que la tercera ecuación del sistema de ecuaciones, en su forma escalonada, está dada por 0x+0y +0z = 7. Esta es una ecuación lineal inconsistente, cuyo conjunto solución, C S3 está dado por C S3 =. Una explicacion geomética de este resultado se muestra en la figura 7. Esta figura muestra los planos asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (15). En particular, los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son paralelos, y estos se interesectan sólo en el infinito, recuerde que infinito no es un número real. Es pues evidente que el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y su conjunto solución es C S =. 6.2 Ejemplo 4. Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación 2x 2y +2z = 1 3x+6y +z = 1 (16) 6x+6y 6z = 3 13

14 Figure 7: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 15. Donde la matriz augmentada del sistema está dada por A b = Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, A b, 3 2 veces la primera fila y añadiendo a la tercera fila de la matriz augmentada, A b, 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz está dada por A b1 = Como puede observarse, tanto la matriz de coeficientes A como la matriz augmentada A b en su forma escalonada tiene 2 filas diferente de cero. Este resultado indica que el sistema de ecuaciones es consistente y tiene solución. Mas aún, el número de filas diferente de cero, 2, es menor que el número de incógnitas, 3, de manera que el sistema tiene soluciones múltiples, de manera mas específica, el conjunto solución tiene una variable libre. El proceso de solución inversa, conduce al siguiente conjunto solución {( 2 C S = z, ) } 3 z,z z R Una explicacion geométrica de este resultado se muestra en la figura 8. Esta figura muestra los planos asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (16). Note que la figura unicamente muestra 2 planos, la razón es que los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son, además de paralelos, coincidentes. El conjunto solución está representado geométricamente por la línea que constituye la intersección de ambos planos. 14

15 Figure 8: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 16. Figure 9: Flujos en una red. 6.3 Ejemplo 4. a. Encuentre los patrones generales de los flujos de la red mostrada en la figura 9. b. Suponiendo que los flujos ocurren en las direcciones indicadas, encuentre los flujos mínimos en las ramas denotadas por x 2,x 3,x 4 y x Solución: Las ecuaciones asociadas a cada uno de los nodos de la red están dadas por 1. Nodo A 2. Nodo B 3. Nodo C 30+x 2 = 80+x 1 x 1 x 2 = 50 Ecuación 1 x 3 +x 5 = x 2 +x 4 x 2 x 3 +x 4 x 5 = 0 Ecuación x 6 = 40+x 5 x 5 x 6 = 60 Ecuación 5 6 Este es el problema 13, de la sección 1.6 del libro Lay, D. [2012], Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition, Boston: Addison-Wesley 15

16 4. Nodo D 5. Nodo E 40+x 4 = 90+x 6 x 4 x 6 = 50 Ecuación 4 60+x 1 = x x 1 x 3 = 40 Ecuación 2 Además, se requiere que los flujos ocurran en la dirección indicada en la figura 9, se tiene como condición x 1 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x 5 0 x 6 0 El sistema de ecuaciones está dado en forma matricial por x x x x 4 = x x 6 La matriz aumentada está dada por La primera etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la primera fila por 1 y sumarla a la segunda fila, el resultado es La segunda etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la segunda fila por 1 y sumarla a la tercera fila, el resultado es La segunda etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la tercera fila por 1 y sumarla a la cuarta fila, el resultado es

17 Es evidente que las dos últimas filas de la matriz aumentada son iguales; es decir, las dos últimas ecuaciones son redundantes y una de ellas puede eliminarse. La matriz aumentada en su forma reducida es Puesto que el número de filas diferentes de cero de la matriz aumentada es igual al número de filas diferentes de cero de la matriz de coeficientes, el sistema tiene solución. Mas aún, puesto que hay cuatro filas diferentes de cero de la matriz de coeficientes y seis incógnitas, el sistema tiene soluciones múltiples y dos variables libres. Las ecuaciones resultantes son x 1 x 2 = 50 x 2 x 3 = 10 x 4 x 5 = 10 x 5 x 6 = 60 Como variables libres se seleccionarán x 6 y x 3, note que no es posible seleccionar x 6 y x 5. Las soluciones están dadas por x 5 = x x 4 = x 5 10 = x = x x 2 = x x 1 = x 2 50 = x = x 3 40 El conjunto solución del sistema de ecuaciones está dada por C S = {(x 1 = x 3 40,x 2 = x 3 +10,x 3,x 4 = x 6 +50,x 5 = x 6 +60,x 6 ) x 3,x 6 R} Por la condición de que todos los flujos deben ser mayores o iguales a cero, los flujos mínimos son 6.4 Ejemplo 5. x 6 = 0 x 5 = 60 x 4 = 50 x 3 = 40 x 2 = 50 x 1 = 0. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los números complejos, C. (3+5i)z 1 +(2 3i)z 2 = 4 3i ( 1+2i)z 1 +(5+4i)z 2 = 5+2i Solución: Se mostrarán dos diferentes métodos de solución para estos sistemas de ecuaciones. 1. Primer método. En este primer método, el objetivo es escalonar el sistema sin descomponer los números complejos, en sus componentes reales e imaginarios. El primer paso consiste en multiplicar la primera ecuación por ( 1+2i) y multiplicar la segunda ecuación (3+5i) y sumar término a término. Se obtiene la ecuación ( 1+2i)(3+5i)z 1 +( 1+2i)(2 3i)z 2 (3+5i)( 1+2i)z 1 (3+5i)(5+4i)z 2 = ( 1+2i)(4 3i) = (3+5i)(5+2i) [( 1+2i)(2 3i) (3+5i)(5+4i)]z 2 = ( 1+2i)(4 3i) (3+5i)(5+2i) [ 2+6+4i+3i i 12i]z 2 = 4+6+8i+3i i 25i (9 30i)z 2 = 3 20i 17

18 Puede pensarse que el sistema se ha diagonalizado a (3+5i)z 1 +(2 3i)z 2 (9 30i)z 2 = 4 3i = 3 20i El inverso multiplicativo de (9 30i) está dado por Por lo tanto 9+30i 9 2 +( 30) 2 = 9+30i 981 z 2 = 9+30i i 90i ( 3 20i) = = i = i Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se tiene que ( 191 (3+5i)z 1 = 4 3i (2 3i) ) 109 i = ( ) ( ) = El inverso multiplicativo de (3+5i) está dado por 3 5i 3 2 +( 5) 2 = 3 5i 34 Por lo tanto z 1 = 3 5i ( ) [ i = [ ] [ ] = + i = (34)(109) (34)(327) 2. Segundo método i = i ] [ ( ) i ] 1196 i (34)(109) 6664 (34)(327) i = i En este segundo método, el objetivo es descomponer los números complejos, en sus componentes reales e imaginarios. Es decir z 1 = a 1 +b 1 i z 2 = a 2 +b 2 i Por lo tanto, el sistema de ecuaciones resulta Desarrollando el sistema, se tiene que (3+5i)(a 1 +b 1 i)+(2 3i)(a 2 +b 2 i) = 4 3i ( 1+2i)(a 1 +b 1 i)+(5+4i)(a 2 +b 2 i) = 5+2i (3a 1 5b 1 +2a 2 +3b 2 )+(3b 1 +5a 1 +2b 2 3a 2 )i = 4 3i ( a 1 2b 1 +5a 2 4b 2 )+(2a 1 b 1 +5b 2 +4a 2 )i = 5+2i Igualando las partes reales e imaginarias, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los números reales R. 3a 1 5b 1 +2a 2 +3b 2 = 4 3b 1 +5a 1 +2b 2 3a 2 = 3 a 1 2b 1 +5a 2 4b 2 = 5 2a 1 b 1 +5b 2 +4a 2 = 2 18

19 Reordenando el sistema se tiene que a 1 +2b 1 5a 2 +4b 2 = 5 3a 1 5b 1 +2a 2 +3b 2 = 4 5a 1 +3b 1 3a 2 +2b 2 = 3 2a 1 b 1 +4a 2 +5b 2 = 2 En la primera etapa de escalonamiento, se tiene que a 1 +2b 1 5a 2 +4b 2 11b 1 17a 2 +9b 2 7b 1 22a 2 +18b 2 5b 1 14a 2 +3b 2 = 5 = 19 = 22 = 12 En la segunda etapa de escalonamiento, se tiene que En la etapa final de escalonamiento, se tiene que Por lo tanto a 1 +2b 1 5a 2 +4b 2 = 5 11b 1 17a 2 +9b 2 = a 2 135b 2 = a 2 +12b 2 = 37 a 1 +2b 1 5a 2 +4b 2 = 5 11b 1 17a 2 +9b 2 = a 2 135b 2 = 109 b 2 = = a 2 = = 123 (109)(123) = b 2 = 990 b 1 = ( 109 ) = 19(327)+17(191)+27(30) = (11)(327) (11)(327) = a 1 = 5 2( ) ( ) = = = De manera que la solución está dada por z 1 = a 1 +b 1 i = i z 2 = a 2 +b 2 i = i 19