Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas

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1 Algebra Lineal X:Sumas y Sumas Directas José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@ugto.mx 1 Sumas y Sumas Directas En estas notas definiremos sumas y sumas directas de subespacios vectoriales. Definición de suma de subespacios. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y dos subespacios U y W de V. Entonces la suma de U y W, se define como: U+W = { u+ w u U, w W} Teorema. Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V sobre un campo K. Entonces U+W V. Prueba: Suponga que v 1, v 2 U+W V son dos elementos arbitrarios. Entonces existen vectores u 1, u 2 U y vectores w 1, w 2 W tales que: v 1 = u 1 + w 1, v 2 = u 2 + w 2 y sea λ K arbitrario. Entonces, la suma U +W está cerrada respecto a la suma v 1 + v 2 = ( u 1 + w 1 )+( u 2 + w 2 ) = ( u 1 + u 2 )+( w 1 + w 2 ) puesto que U y W son subespacios, entonces u 1 + u 2 U y w 1 + w 2 W y v 1 + v 2 U+W. Similarmente, la suma U + W está cerrada respecto a la multiplicación por escalar λ v 1 = λ( u 1 + w 1 ) = (λ u 1 )+(λ w 1 ) puesto que U y W son subespacios, entonces λ u 1 U y λ w 1 W y λ v 1 U+W. Definición. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y dos subespacios U y W de V. Entonces la suma de U + W, se dice que una suma directa, denotada por U W si, y sólo si, para cada v U+W existe un único elemento u U y un único elemento w W tal que v = u+ w U+W. Teorema. Considere un espacio vectorial finito-dimensional V sobre un campo K y dos subespacios U y W de V. La suma S = U+W es una suma directa si, y sólo si, U W = { 0}. Prueba. Suponga que U W = { 0} y sea v U+W y considere dos posibles, representaciones de v, dadas por: v = u 1 + w 1 v = u 2 + w 2 donde u 1, u 2 U y w 1, w 2 W, entonces 0 = v v = ( u 1 + w 1 ) ( u 2 + w 2 ) = ( u 1 u 2 ) ( w 2 w 1 ) 1

2 Por lo tanto Pero puesto que U W = { 0}, entonces: ( u 1 u 2 ) = ( w 2 w 1 ) U W u 1 = u 2 y w 1 = w 2. De modo que las representaciones son iguales y la suma de subespacios es una suma directa. Suponga ahora que existe un v 0 que pertenece a U W, y sea v U +W donde una posible representación está dada por: v = u+ w, donde u U y w W Entonces pero v = v 0 = u+ w+ v v = ( u+ v )+( w v ) ( u+ v ) U y ( w v ) W Por lo tanto, no existe una única representación y la suma no es directa. Teorema. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre un campo K, tal que V = U W. Entonces la unión de una base de U y una base de W es una base de V. Por lo tanto, la dimensión de V es la suma de la dimensión de U y la dimensión de W. Prueba: Suponga que B u = { u 1,..., u m } es una base de U y B w = { w 1,..., w n } es una base de W. Entonces para todo v V = U+W, se tiene que: v = u+ w = (λ 1 u λ m u m )+(µ 1 w µ n w n ). Por lo tanto, B u B w = { u 1,..., u m, w 1,..., w n } es un conjunto generador de V. Para probar la independencia lineal de B u B w considere una combinación lineal de este conjunto o, escribiendo la ecuación, como λ 1 u λ m u m +µ 1 w µ n w n = 0 (λ 1 u λ m u m )+(µ 1 w µ n w n ) = 0 (λ 1 u λ m u m ) = (µ 1 w µ n w n ), donde (λ 1 u λ m u m ) U y (µ 1 w µ n w n ) W. Sin embargo, puesto que la suma es directa, U W = { 0}. Por lo tanto, la ecuación se reduce a: λ 1 u λ m u m = 0 y µ 1 w µ n w n = 0 Finalmente puesto que B u = { u 1,..., u m } es una base de U y B W = { w 1,..., w n } es una base de W, se tiene que ambos conjuntos son linealmente independientes y la única solución es la trivial. Es decir: λ 1 =... = λ m = 0 y µ 1 =... = µ n = 0. Por lo tanto B u B w = { u 1... u m, w 1... w n } es un conjunto linealmente independiente de V y por lo tanto una base. Mas aún, la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y de W. Es importante notar la diferencia entre la unión de subespacios y la suma de subespacios. Considere la interpretación geométrica usual del espacio vectorial R 3 sobre el campo R y dos subespacios de R 3 dados por U = [(1,0,0)] V = [(0,1,0)] Es fácil de observar que U representa a los vectores que están sobre el eje X, mientras que U representa a los vectores que están sobre el eje Y. 2

3 En ese caso, la suma U+V es un subespacio de R 3 y está dado por U+V = {λ 1 (1,0,0)+λ 2 (0,1,0) λ 1,λ 2 R} = {(λ 1,λ 2,0) λ 1,λ 2 R} y representa todos los vectores que yacen en el plano X Y. Mientras que la union U V no es un subespacio de R 3 y está dado por U V = {(λ 1,0,0)} {(0,λ 2,0)} λ 1,λ 2 R y representa el conjunto de los vectores que están en el eje X o en el eje Y. Este conjunto no es un subespacio pues (1,0,0),(0,1,0) U V pero (1,0,0)+(0,1,0) = (1,1,0) / U V El conjunto no está cerrado respecto a la adición. 2 Problemas Resueltos. Considere el espacio vectorial P 3 de polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de P 3 U = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0 a 1 = 0,a 3 = 0 R} y W = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0 = a 1 = 0,a 2 2a 3 = 0 R} Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de R 3 Solución. Considere el subespacio U, sean p 1 (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3,p 2 (x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3, U, entonces a 0 a 1 = 0,a 3 = 0 b 0 b 1 = 0,b 3 = 0 Considere ahora p 1 (x)+p 2 (x) = (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 )+(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3 ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +(a 3 +b 3 )x 3 considere (a 0 +b 0 ) (a 1 +b 1 ) = (a 0 a 1 )+(b 0 b 1 ) = 0+0 = 0 a 3 +b 3 = 0+0 = 0 Por lo tanto p 1 (x)+p 2 (x) U y el subconjunto está cerrado respecto a la adición. De manera semejante, se tiene Considere λp 1 (x) = λ(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 ) = (λa 0 )+(λa 1 )x+(λa 2 )x 2 +(λa 3 )x 3 (λa 0 ) (λa 1 ) = λ(a 0 a 1 ) = λ(0) = 0 λa 3 = λ0 = 0 Por lo tanto λp 1 (x) U y el subconjunto está cerrado respecto a la multiplicación. Por lo tanto U < P 3. Para determinar una base para U, reescriba el subespacio como U = {a 0 +a 0 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0 a 1 = 0,a 3 = 0 R} = [ 1+x,x 2] Es evidente que B U = {1+x,x 2 } es linealmente independiente y, por lo tanto, es una base de U. Considere el subespacio W, sean p 1 (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3,p 2 (x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3, W, entonces a 0 = a 1 = 0,a 2 2a 3 = 0 b 0 = b 1 = 0,b 2 2b 3 = 0 3

4 Considere ahora p 1 (x)+p 2 (x) = (a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 )+(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +b 3 x 3 ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 +(a 3 +b 3 )x 3 considere (a 0 +b 0 ) = 0+0 = 0 (a 1 +b 1 ) = 0+0 = 0 (a 2 +b 2 ) 2(a 3 +b 3 ) = (a 2 2a 3 )+(b 2 2b 3 ) = 0+0 = 0 Por lo tanto p 1 (x)+p 2 (x) W y el subconjunto está cerrado respecto a la adición. De manera semejante, se tiene Considere λp 1 (x) = λ(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 ) = (λa 0 )+(λa 1 )x+(λa 2 )x 2 +(λa 3 )x 3 (λa 0 ) = λ0 = 0 (λa 1 ) = λ0 = 0 (λa 2 ) 2(λa 3 ) = λ(a 2 2a 3 ) = λ0 = 0. Por lo tanto λp 1 (x) W y el subconjunto está cerrado respecto a la multiplicación. Por lo tanto W < P 3. Para determinar una base para W, reescriba el subespacio como W = {a 0 +a 0 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0 = a 1 = 0,a 2 2a 3 = 0 R} = [ 2x 2 x 3] Es evidente que B W = {2x 2 x 3 } es linealmente independiente y, por lo tanto, es una base de W. Por lo tanto una representación de la suma de subespacios está dada por U+W = [B U B W ] = [ 1+x,x 2,2x 2 x 3] Finalmente, para determinar si la suma es o no directa, considere una combinación lineal del conjunto generador de U+W, se tiene que λ 1 (1+x)+λ 2 (x 2 )+λ 3 (2x 2 x 3 ) = 0+0x+0x 2 +0x 3 El sistema de ecuaciones resultantes está dado por λ 1 = 0 λ 2 = 0 λ 2 +2λ 3 = 0 λ 3 = 0 La única solución del sistema está dada por De manera que Por lo tanto, la suma es directa. λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 U W = { 0} 3 Ejemplos En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de sumas de subespacios y de sumas directas. Ejemplo 1. Considere el espacio vectorial R 3 de triadas ordenadas de números reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de R U = {(x 1,0,x 3 ) x 1,x 3 R} y W = {(x 1,x 2,0) x 1,x 2 R} 2. U = {(x 1,0,x 3 ) x 1,x 3 R} y W = {(0,x 2,0) x 2 R} Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de R 3 4

5 Ejemplo 2. Considere el espacio vectorial P 3 de polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de P 3 1. U = {a 0 +a 1 x+0x 2 +0x 3 a 0,a 1 R} y W = {0+0x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 2,a 3 R} 2. U = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0,a 1,a 2,a 3 R, a 2 = a 3 } y W = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a 0,a 1,a 2,a 3 R a 2 = a 3 } Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de P 3 Ejemplo 3. Considere el espacio vectorial M 2 2 de matrices 2 2 de coeficientes reales, sobre el campo de los números reales R, con las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar real. Considere los siguientes subconjuntos de M U = W = U = W = a11 0 M 1 = a11,a 0 a 22 R} 22 0 a12 M 2 = a12,a a R} a11 a M 1 = 12 a11,a 0 a 12,a 22 R} 22 0 a12 M 2 = a12,a a R} Pruebe que cada uno de los conjuntos forma un subespacio vectorial de M 2 2 5