ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL

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1 ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 3: ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO. ESPACIOS DE HILBERT.

2 Espacios producto interno. Espacios de Hilbert Definición (Espacios producto interno (pre-hilbert)) Sea X un espacio vectorial (real o complejo). Un producto interno en X es una aplicación de, : X X F que satisface: 1 x + y, z = x, z + y, z para todo x, y, z X. 2 αx, y = α x, y para todo x, y X, α F. 3 y, x = x, y, para todo x, y X ( y, x = x, y si F = R). 4 x, x 0 y x, x = 0 solo si x = 0. Un espacio producto interno (o pre-hilbert) es un espacio vectorial X (real o complejo) con un producto interno definido en X. Observación Un producto interno define una norma en X : x = x, x. Por lo que todo espacio pre-hilbert es un espacio normado. Al revés no es cierto: veremos que no toda norma proviene de un producto interno.

3 Propiedades del producto interno 1 Es lineal en la primera variable y sesquilineal en la segunda: αx + βy, z = α x, z + β y, z ; x, αy = ᾱ x, y, x, αy + βz = ᾱ x, y + β x, z. En particular αx, αx = αᾱ x, x = α 2 x 2. 2 Si X es real, entonces es bilineal y simétrico: x, y = y, x y x, αy + βz = α x, y + β x, z. 3 Identidad del paralelogramo: x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ). 4 Desigualdad de Cauchy-Schwartz: x, y x y. 5 Desigualdad triangular: x + y x + y. 6 El hecho que la ecuación x = x, x define una norma en X (en particular, que se cumple la desigualdad triangular) ya se demostró en el curso de Álgebra Lineal (repasarlo). Definición (Espacio de Hilbert) Un espacio producto interno X es un espacio de Hilbert si es completo con la métrica d(x, y) = x y = x y, x y.

4 Observación Como en el caso de espacios métricos y normados, un espacio pre-hilbert X se puede completar a un espacio de Hilbert H tal que X es denso en H y cuyos respectivos productos internos (y por lo tanto, sus normas y distancias) coinciden en X. Ejemplos 1 R n (espacio eucĺıdeo) y C n (espacio unitario) con el producto interno usual (o producto escalar): x, y = x 1 y x n y n si F = R o z, w = z 1 w z n w n si F = C. 2 l 2 = l 2 (N) el espacio de sucesiones {a n } n=1 (reales o complejas) tales que a n 2 es convergente. n=1 El producto interno está definido por: {a n } n=1, {b n} n=1 = a n b n. n=1

5 3 Como en el ejemplo anterior, l 2 (Z), las sucesiones indexadas por enteros: {a n } n=. En este caso n= a n 2 debe ser convergente, y el producto interno está definido por: {a n } n=, {b n } n= = n= a n b n. 4 Sea X = C[a, b] el espacio de funciones continuas en [a, b]. Definimos en X el producto interno, b a f (x)g(x) dx. X es un pre-hilbert (sabemos no es completo), y para obtener un espacio de Hilbert debemos considerar su completación L 2 [a, b] = {f : [a, b] F tales que 5 En forma similar, podemos definir L 2 (R) = {f : R F tales que b a f (x) 2 < }. f (x) 2 < }, que resulta un espacio de Hilbert con el producto interno f (x)g(x) dx.

6 Observación En todos los ejemplos la norma inducida es la correspondiente a p = 2 en los ejemplos vistos de espacios normados. Una pregunta natural es si existen otros valores de p para los cuales la norma correspondiente es inducida por un producto interno. La respuesta es negativa: para ningún valor de p 2, la norma p (incluyendo la norma infinito) es inducida por un producto interno. En los ejercicios veremos como demostrar este hecho. Lema (Continuidad del producto interno) Si x n x e y n y, entonces x n, y n x, y.

7 Subespacio Un subespacio Y de un pre-hilbert X es un subespacio vectorial con el producto interno heredado de X. Del mismo modo puede definirse subespacio Y de un espacio de Hilbert H, haciendo la salvedad que Y no es necesariamente espacio de Hilbert, porque puede no ser completo. Más aún, podemos enunciar el siguiente: Teorema Sea Y un subespacio de un espacio de Hilbert H: 1 Y es completo si y sólo si Y es cerrado en H. 2 Si Y es de dimensión finita, entonces Y es completo. 3 Si H es separable, también lo es Y.

8 Geometría de espacios e Hilbert Ortogonalidad. Complementos ortogonales. Sumas directas Definición (Ortogonalidad) Dos elementos x, y X se dicen ortogonales (x y) si x, y = 0. Del mismo modo, si A, B X, diremos que: x A si x a a A. A B si a b, a A, b B. Definición (Conjuntos convexos) Dado x y en un espacio vectorial X definimos el segmento xy como el conjunto: xy = {(1 t)x + ty : t [0, 1]}. Un subconjunto M de X es convexo si dados x y M, entonces xy M. Teorema Todo subconjunto cerrado, convexo y no vacío de un espacio de Hilbert H tiene un único elemento de norma mínima.

9 Definición Dado un subconjunto M de X, definimos el ortogonal de M como el conjunto M = {x X x, y = 0}. Observar que M es un subespacio vectorial cerrado de X, aunque que M no lo sea. Si Y es un subespacio de X, llamaremos a Y el complemento ortogonal de Y. Definición (Suma directa de subespacios) Un espacio vectorial X es suma directa de dos subespacios Y y Z, denotado X = Y Z, si todo x X tiene una única representación x = y + z, y Y, z Z. Teorema Sea Y es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H. Entonces X = Y Y. Más aún, si x = y + z, y Y, z Y se cumple x 2 = y 2 + z 2 y x y = z = dist(x, Y ). El vector y se llama la proyección ortogonal de x sobre Y

10 Proyección ortogonal P Y Si definimos P Y (x) = y, donde y es el dado por el teorema, P Y : X Y resulta un operador lineal y acotado (continuo) y se llama la proyección ortogonal sobre Y. Además, P Y (x) = z define la proyección ortogonal sobre Y. Definición (Conjuntos y sucesiones ortonormales) Un conjunto ortogonal M en un subconjunto de X tal que todo par de elementos del conjunto son ortogonales. M es ortonormal si es ortogonal y además todos sus vectores son de norma 1, es decir: { 0 si x y, x, y = 1 si x = y. Del mismo modo podemos decir que una sucesión {x n : n N} es ortogonal u ortonormal si el conjunto subyacente lo es.

11 Definición (Independencia lineal. Base de Hammel) Recordemos que un conjunto finito de vectores x 1,..., x n es linealmente independiente si α 1 x α n x n = 0 implica α 1 = 0,..., α n = 0. Un conjunto M (no necesariamente finito) de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito de M lo es. Un conjunto B es una base (de Hammel) de X si B es un conjunto linealmente independiente que genera X : esto es, todo vector x X es una combinación lineal finita de vectores de B. Observación La noción de base de Hammel es la tradicional del álgebra lineal, sólo que generalizada al caso de espacios vectoriales de dimensión infinita. Lo que pretendemos hacer en lo que sigue es generalizar la noción de base ortonormal a espacios de Hilbert de dimensión infinita, permitiendo hacer combinaciones lineales infinitas (o series convergentes) con elementos de la base.

12 Lema (Teorema de Pitágoras generalizado) Si x, y = 0, entonces x + y 2 = x 2 + y 2. Más aún, si x 1,..., x n son ortogonales, entonces x x n 2 = x x n 2. Lema Todo conjunto ortonormal es linealmente independiente. Teorema (Desigualdad de Bessel) Sea (e k ) una sucesión ortonormal (finita o infinita) en un pre-hilbert X.Entonces x, e k 2 x 2 (Desigualdad de Bessel.) k=1 Dada una sucesión ortonormal (e k ) en un espacio de Hilbert H, podemos considerar series (formales) α k e k donde α 1, α 2,... son escalares. k=1

13 Para que dicha serie represente un vector de H debe ser convergente: debe existir s H tal que la sucesión de sumas parciales s n = α 1 e α n e n converja a s, esto es: s s n 0 cuando n. En este caso, podemos escribir s = α k e k. k=1 Teorema Sea (e k ) una sucesión ortonormal en un espacio de Hilbert H. Entonces: 1 La serie k=1 α ke k converge si y sólo si la serie numérica k=1 α k 2 converge. 2 Si la serie anterior converge a x, entonces α k = x, e k. 3 La serie k=1 x, e k e k siempre converge (en la norma de H).

14 Sistemas ortonormales completos: Bases de Hilbert De ahora en más, supondremos que H es un espacio de Hilbert separable, esto es, existe un conjunto denso numerable D: esto es, para todo x H, existe una sucesión {x n } n=1 de elementos de D (x n D, n N) tal que x n x si n. Definición (Conjunto ortonormal total) Si X es un espacio normado, decimos que un subconjunto M X es total (o fundamental) si las combinaciones lineales finitas de vectores de M son densas en X. Esto es equivalente a decir que el subespacio vectorial generado por M es denso en X. Si X es pre-hilbert, un conjunto (o sucesión) ortonormal que es total en X se dice un conjunto (o sucesión) ortonormal total. Una base de Hilbert de X es un conjunto ortonormal total.

15 En el caso de que X es separable, una sucesión ortonormal total (e n ) con n N o Z es una base de Hilbert ordenada de X. Observación Una base de Hilbert suele llamarse simplemente base ortonormal. Sin embargo, es importante notar que no es una base tradicional (de Hammel), a menos que H sea de dimensión finita. Teorema Sea M un subconjunto de un pre-hilbert X. 1 Si M es total en X, entonces M = {0}: x M x = 0. 2 Si X es Hilbert, es cierta la recíproca: M = {0} M es total en X Si H es Hilbert separable, un criterio para determinar si una sucesión ortonormal (e k ) es total es la desigualdad de Bessel: x, e k 2 x 2. k Si (e k ) es total, ésta se transforma en igualdad, llamada Identidad de Parseval:

16 Teorema Una sucesión ortonormal (e k ) en un espacio de Hilbert separable H es base de Hilbert si y sólo si para todo x H se cumple: x 2 = k Además, en este caso, x, e k 2 (Identidad de Parseval.) x = k x, e k e k. Teorema Si H es un espacio de Hilbert separable, entonces existe una sucesión (e k ) que es base de Hilbert de H. Todo x H se puede escribir como la serie: x = x, e k e k. k Más aún, si si {α k } es una sucesión de escalares tal que k α k 2 es convergente, entonces k α ke k = x H, y α k = x, e k.