ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL

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1 ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIOS MÉTRICOS

2 Espacios métricos: definición y ejemplos Definición (Espacios métricos, métrica) Un espacio métrico es un par (X, d) donde X es un conjunto y d es una métrica (o distancia) en X. Esto es, d : X X R es una función que cumple 1 Positividad: d(x, y) 0 y d(x, y) = 0 si y sólo si x = y. 2 Simetría: d(x, y) = d(y, x). 3 Desigualdad triangular: d(x, y) + d(y, z) d(x, z). Observaciones X es un conjunto arbitrario, no necesariamente es un espacio vectorial. En un mismo X pueden definirse distintas métricas, por eso denotamos (X, d) para designar un espacio con una métrica específica. Cuando no haya lugar a confusión, escribiremos simplemente X.

3 Subespacio de un espacio métrico: Si Y X es un subconjunto de X, la restricción d de d a Y es una métrica en Y, llamada métrica inducida, y esto hace de (Y, d) un subespacio métrico de (X, d). Ejemplos 1 R con la distancia usual: d(x, y) = x y. 2 R n con la distancia usual:x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ), d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 3 C con la distancia usual: d(z, w) = z w. 4 C n con la distancia usual: z = (z 1,..., z n ), w = (w 1,..., w n ), d(z, w) = z 1 w z n w n 2. 5 X = B(R) = {f : R R tal que f es acotada}, d(f, g) = sup{ f (x) g(x) : x R}.

4 Sucesiones en espacios métricos. Completitud Definición Una sucesión {x n } n N en un espacio métrico (X, d) es una función de N en X. Sucesión convergente: {x n } n N converge a x 0 si: ε > 0 N N : d(x n, x 0 ) < ε n N. Notación: ĺım x n = x 0 o x n n Se cumple: ĺım x 0. n n x n = x 0 si y sólo si d(x n, x 0 ) Sucesión de Cauchy: {x n } n N es sucesión de Cauchy si: ε > 0 N N : d(x n, x m ) < ε n, m N. Informalmente, d(x n, x m ) 0. n,m n 0. Se sigue cumpliendo en todo espacio métrico el siguiente: Teorema Toda sucesión convergente es de Cauchy.

5 Observación La recíproca de este teorema no es cierta en general. Dijimos que en R el hecho que toda sucesión de Cauchy converge era equivalente al axioma de completitud. Esto motiva la siguiente: Definición Diremos que (X, d) es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy en X es convergente. Ejemplos C, R n, C n son espacios métricos completos con la distancia eucĺıdea usual. Ejercicio: demostrar esta afirmación

6 Topología en espacios métricos Conjuntos abiertos y cerrados Definición (Bola y esfera) Sea X un espacio métrico, x 0 X y r > 0. Definimos los siguientes subconjuntos: 1 B(x o, r) = {x X : d(x, x 0 ) < r} (bola abierta) 2 B(xo, r) = {x X : d(x, x 0 ) r} (bola cerrada) 3 S(x o, r) = {x X : d(x, x 0 ) = r} (esfera) En los tres casos, x 0 se llama el centro y r el radio. Definición (Conjunto abierto, conjunto cerrado) Un subconjunto A de un espacio métrico X se dice abierto si x o A, existe r > 0 tal que B(x o, r) A. Un subconjunto B se dice cerrado si su complemento B c = X B = {x X : x / B} es abierto.

7 Definición Sea A un subconjunto de un espacio métrico X. Definimos: 1 Punto interior de A: x 0 es un punto interior de A si existe r > 0 tal que B(x o, r) A. Denotaremos A 0 al conjunto de puntos interiores de A. De la definición, resulta claro que A 0 A, y además A es abierto si y sólo si A = A 0. 2 Punto de acumulación de A: x 0 es un punto de acumulación (o punto ĺımite) de A si r > 0 se cumple que A (B(x 0, r) {x 0 }) φ (recordar: φ es el conjunto vacío). Denotaremos A al conjunto de puntos de acumulación de A. Observación No necesariamente A A. Más aún, A A si y sólo si A es cerrado. (demostración: ejercicio)

8 Definición (Clausura) Si A X, definimos Ā = A A (clausura de A). Observación Ā es un conjunto cerrado, y es el menor conjunto cerrado que contiene a A. En particular A es cerrado si y sólo si Ā = A. Definición (Conjunto denso) Si A X, diremos que A es denso en X si Ā = X. Proposición (Ejercicio) Son equivalentes: 1 A es denso. 2 x 0 X y r > 0 se cumple que A B(x 0, r) φ. 3 x 0 X, existe una sucesión {x n } n N en A, que converge a x 0.

9 Ejemplos Q es denso en R (aceptaremos esto sin demostración). Q n es denso en R n (ejercicio). Definición (Conjunto numerable) Un conjunto A se dice infinito numerable si existe una biyección de A en el conjunto N de números naturales. Un conjunto A se dice numerable si es finito o infinito numerable. Proposición A es numerable si y sólo existe una una función suryectiva de N en A, o equivalentemente, si existe una función inyectiva de A en N. Ejemplos N, Z son numerables. Q es numerable. R no es numerable. Luego C, R n y C n tampoco lo son.

10 Definición (Espacio separable) Un espacio métrico si existe un conjunto numerable que es denso en X. Ejemplos R es separable, pues Q es un subconjunto denso numerable. C, R n y C n son separables. Completación de un espacio métrico Si (X, d) es un espacio métrico no completo, se puede completar en el siguiente sentido (informal): Existe un espacio métrico completo ( X, d) tal que X contiene a X, de modo que éste resulta un subespacio métrico denso de X y d resulta la métrica inducida por d en X. Un enunciado matemáticamente más preciso de este hecho es más complicado y lo omitimos. Un ejemplo: R es la completación de Q.

11 Funciones continuas en espacios métricos Definición Sean (X, d X ) e (Y, d Y ) espacios métricos y T : X Y una función de X en Y. T es continua en x 0 si: ε > 0, existe δ > 0 tal que si d X (x, x 0 ) < δ, entonces d Y (T (x), T (x 0 )) < ε. Informalmente, ĺım x x0 T (x) = T (x 0 ) o d Y (T (x), T (x 0 )) 0 si d X (x, x 0 ) 0. T es continua si es continua en x 0 para todo x 0 X. Proposición Una función T : X Y es continua en x 0 si y sólo si para toda sucesión {x n } n N tal que ĺım n x n = x 0 se cumple ĺım T (x n) = T (x 0 ). n

12 Ejemplo (Ejercicio) X = C[a, b] = {f : [a, b] R : f es continua} es un espacio métrico con la distancia d (f, g) = máx{ f (t) g(t) : t [a, b]}. Sea T : X R definida por T (f ) = Entonces T es una función continua. b a f (t) dt.