Espacios Vectoriales

Transcripción

1 Espacios Vectoriales José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 1

2 Espacio Vectorial Un espacio vectorial sobre K es una conjunto V que cumple: 1) Existe una regla que asocia a dos elementos u,v V su suma que se denota por u + v, que es también elemento de V y que cumple a) u + v = v + u u,v V. b) u + (v + w) = (u + v) + w u,v,w V. c) Existe un elemento de V llamado 0 (vector cero) tal que v + 0 = v v V. d) Para todo v en V existe un v en V (opuesto de v) tal que v + v = 0. 2) Existe una regla que asocia un escalar α a un vector v V su producto αv, que es tambien un elemento de V y cumple e) α(βv) = (αβ)v α,β K, v V. f) 1v = v v V (1 es el escalar unidad). g) (α + β)v = αv + βv α,β K, v V. h) α(v + w) = αv + αw α K, v,w V. José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 2

3 Espacio Vectorial Ejemplos 1 R 2,R 3,R n. 2 Polinomios de grado n. 3 Funciones continuas en un intervalo. Propiedades En cada espacio vectorial existe un único vector cero. Todo elemento v de un espacio vectorial posee un único elemento opuesto (que se denota por v). 0v = 0 v V. α0 = 0 α K ( 1)v = v v V. Se define la resta de dos vectores u y v como u v = u + ( v). José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 3

4 Subespacios Vectoriales Un subespacio vectorial de un espacio vectorial V es un subconjunto U de V que es por si mismo un espacio vectorial sobre el mismo conjunto de escalares y para las mismas operaciones que V. Ejemplos Un plano en el espacio que pasa por el origen Una recta que pasa por el origen Caracterización de un subespacio Un subconjunto S /0 de un espacio vectorial V es subespacio de V sii i) x + y S x,y S ii) αx S o, de forma equivalente, α K x S αx + βy S α,β K, x,y S. José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 4

5 Subespacios Vectoriales Ejercicio Qué conjuntos son subespacios de R 2 o R 3? a) A = {(0,y) : y R}, b) B = {(x,y) : 2x 3y = 1}, c) C = {(x,y) : xy = 0}, d) D = {(x,y,z) : 2x y + z = 0}, e) E = {(x,y,z) : senx = 0}, f) F = {(x,y,z) : x y}, g) G = {(x,y,z) : x = y = 2} José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 5

6 Envoltura lineal Sea S = {x 1,x 2,...,x n } un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V. Una combinación lineal de S es un vector de la forma α 1 x 1 + α 2 x α n x n α i K. El conjunto de todas las combinaciones lineales de S se denota por L(S) y se llama envoltura lineal de S. Proposición La envoltura lineal de cada subconjunto no vacio S de un espacio vectorial V es una subespacio de V. Dado S V se dice que su envoltura lineal L(S) es el subespacio generado por S. Si U es un subespacio de V, un generador de U es un subconjunto S de V tal que U = L(S). José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 6

7 Dependencia e independencia lineal Sea S = {x 1,x 2,...,x n } un subconjunto de un espacio vectorial V. Se dice que S es linealmente dependiente si existen unos escalares α k, i = 1,2,...,n, no todos nulos, tal que Proposición α 1 x 1 + α 2 x α n x n = 0. Un conjunto S es linealmente dependiente si y sólo si existe un elemento x S que es combinación lineal de los demás. Un conjunto de vectores S se dice linealmente independiente si no es linealmente dependiente. José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 7

8 Dependencia e independencia lineal Sean f 1,f 2,...,f n funciones reales definidas en [a,b] derivables hasta el orden n 1, entonces se llama wronskiano de tales funciones a f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1 (x) f 2 (x) f n (x) W (x) = det.... f 1 (x) (n 1) f 2 (x) (n 1) f n (x) (n 1) Proposición Si existe un punto x 0 [a,b] tal que W (x 0 ) 0, entonces las funciones f 1,f 2,...,f n son linealmente independientes. Ejemplo Estudiar la dependencia lineal de las funciones f 1 (x) = x 2 y f 2 (x) = x x José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 8

9 Base y dimensión de un subespacio Una base de un espacio vectorial es un conjunto linealmente independiente que lo genera. Teorema Si un espacio vectorial V tiene una base formada por n elementos, entonces a) Cada conjunto linealmente independiente de n vectores es una base. b) Cada conjunto con más de n vectores es linealmente dependiente. c) Cada base de V tiene n elementos. Se dice que la dimensión de un espacio vectorial es n si cada una de sus bases está formada por n elementos. Teorema Sea V un espacio de dimensión n. Si k < n, todo conjunto independiente de k elementos puede completarse hasta formar una base José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 9

10 Base y dimensión de un subespacio Un espacio vectorial se dice que es de dimensión infinita si cada para cada número natural n, contiene un subconjunto linealmente independiente de n elementos. Sea B = {b 1,b 2,...,b n } una base de un espacio vectorial V. Si el vector v de V se escribe como combinación lineal de la base B de la forma v = x 1 b 1 + x 2 b x n b n se dice que los coeficientes de esta combinación lineal son las componentes de v respecto de la base B. Proposición Las componentes del vector suma de dos vectores son las sumas de sus componentes. Las componentes de un múltiplo de un vector son los múltiplos de sus componentes. Nota Se suele denotar a las coordenadas de v respecto de B por x 1 x 2 [v] B =... x n José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 10

11 Cambio de base Sea U un espacio vectorial de de dimensión n. Consideremos dos bases B = {u 1,u 2,...,u n } y B = {u 1,u 2,...,u n } bases de U tales que u 1 = p 11 u 1 + p 21 u p n1 u n u 2 = p 12 u 1 + p 22 u p n2 u n.... u n = p 1n u 1 + p 2n u p nn u n Dado u U lo podemos expresar en la base B y en la base B [u] B = x 1 x 2. x n, [u] B = x 1 x 2. x n. José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 11

12 Cambio de base Por lo tanto u = x 1 u 1 + x 2 u x n u n = x 1 ( p11 u 1 + p 21 u p n1 u n) + x 2 ( p12 u 1 + p 22 u p n2 u n) + + xn ( p1n u 1 + p 2n u p nn u n) = (p 11 x 1 + p 12 x p 1n x n )u 1 + (p 21 x 1 + p 22 x p 2n x n )u (p n1 x 1 + p n2 x p nn x n )u n. Igualando coordenadas se obtiene x 1 = p 11 x 1 + p 12 x p 1n x n x 2 = p 21 x 1 + p 22 x p 2n x n Definiendo se tiene.... x n = p n1 x 1 + p n2 x p nn x n p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n P = p n1 p n2 p nn [u] B = P [u] B José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 12

13 Cambio de base [u] B = P [u] B P es la matriz de cambio de base de B a B. Si P es la matriz de cambio de base de B a B, P es invertible y P 1 es la matriz de cambio de base de B a B José Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacios Vectoriales 13