ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS:

Transcripción

1 SUBESPACIOS: Continuación EJEMPLOS: S 2 = {(x 1, x 2 ) / x 2 =x 12 } R 2 es subespacio del espacio vectorial? Interpretación geométrica: Representa una parábola de eje focal el eje de ordenadas, vértice en el origen y cóncava hacia arriba. Tomamos dos elementos en el conjunto, es decir dos vectores con origen en el (0,0), cuyo extremos son puntos de la parábola. Según las condiciones que debe cumplir para ser S 2 subespacio, vemos que 0 pertenece pues el vértice es el (0,0). Para la segunda, que hace referencia a la ley de composición interna (+), verifica el vector suma que pertenece al conjunto? Justifique algebraicamente. 1

2 SUBESPACIOS: Analizar si los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios de dicho espacio vectorial. S 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) / x 2 =0 x 3 =0} R 3 eje x S 4 = {(x 1, x 2, x 3 ) / x 3 =0} R 3 2

3 OPERACIONES CON SUBESPACIOS: Intersección de subespacios: Es la primera operación que vamos a considerar con un número finito de estos conjuntos. Ejemplos: 1.- S 1 = { (x 1, x 2 ) / x 2 = 3 x 1 } R 2 y S 2 = {(x 1, x 2 ) / x 1 + x 2 = 0} R 2 Entonces S 1 S 2 = { (x 1, x 2 ) / x 2 = 3 x 1 x 1 + x 2 = 0} ={ (0;0) } R S 1 = {(x 1, x 2, x 3 )/ -x 1 =x 3 } R 3 y S 2 = {(x 1, x 2, x 3 )/ x 3 = 0 } R 3 Entonces S 1 S 2 = {(x 1, x 2, x 3 )/ -x 1 =x 3 x 3 = 0 } R 3 Siendo S 1 un plano y S 2 también, luego la intersección de ambos en R 3 es una recta (eje y). 3

4 OPERACIONES CON SUBESPACIOS: Proposición: Dados S 1, S 2,..., S n, subespacios de un K espacio vectorial V, su intersección n = S = S 1 S 2. S n ={v V : v S 1 v S 2... v S n } I j= 1 S j también es subespacio de V. Demostración: Debemos probar que S verifica las tres condiciones de subespacios, es decir: S 1 ) o S. S 2 ) Si u S y v S u+v S S 3 ) Si k K y v S k.v S 4

5 OPERACIONES CON SUBESPACIOS: Unión de subespacios Siendo A y B dos conjuntos cualesquiera se define la unión como A B = { x / x A x B }, apliquémoslo a los subespacios de R 2 : S 1 = { (x 1, x 2 ) / x 2 = x 1 } R 2 y S 2 = {(x 1, x 2 ) / x 1 +x 2 = 0} R 2 entonces S 1 S 2 = { (x 1, x 2 ) / x 2 = x 1 x 1 +x 2 = 0 } R 2 Geométricamente es la unión de las dos rectas, y es evidente que tomando dos vectores, uno en cada subespacios, la suma no pertenece. Concluimos que no siempre la unión de subespacios de un mismo espacio vectorial, es un subespacio. Cuándo la unión de subespacios de un mismo espacio vectorial es un subespacio? 5

6 OPERACIONES CON SUBESPACIOS: Suma de subespacios: Sea V un K-EV con S 1 y S 2 subespacios de V, llamaremos suma de S 1 y S 2 al siguiente subespacio: S 1 + S 2 = {u V / u = v 1 + v 2, v 1 S 1 v 2 S 2 } V Apliquemos esta operación en los siguientes casos: 1) S 1 = { (x 1,x 2 ) / x 1 = 0 } R 2 y S 2 = {(x 1,x 2 ) / x 1 = x 2 } R 2 Los vectores de S 1 son (0, x 2 ) y los de S 2 son (x 1, x 1 ) Su suma (0,x 2 ) + (x 1,x 1 ) = ( x 1, x 2 + x 1 ) representa a todo el plano o sea: S 1 + S 2 = R 2. Cuál es la intersección de S 1 y S 2? Si además S 1 S 2 ={0}, S 1 S 2 se llama SUMA DIRECTA. En R 2, la suma de dos rectas distintas S 1 y S 2 que pasan por el origen es R 2. Esto puede comprobarse gráficamente viendo que todo vector del plano puede expresarse como suma de un vector de S 1 y otro de S 2. 6

7 OPERACIONES CON SUBESPACIOS: 2) Dados los siguientes subespacios de R 3 : S 1 ={(x 1, x 2, x 3 ) / x 3 =0} R 3 un plano (pl xy) y S 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) / x 1 =-x 2 x 3 =0} R 3 una recta. Gráficamente se observa que la recta está incluida en el plano coordenado, es decir que S 2 S 1. Analíticamente se toma un vector en cada subespacio, siendo su suma un vector de S 1. Luego si S 2 S 1 S 1 +S 2 = S 1 Cuál es el subespacio intersección de S 1 y S 2? 7

8 COMBINACIÓN LINEAL: Trabajemos en R 2. Nos planteamos el problema de escribir el vector w=(2;0) como resultado de operaciones entre los vectores u=(1;1) y v=(0;-1). Siendo R 2 un R- espacio vectorial (Suma de vectores y multiplicación por un escalar) deberá ser w = α.u + β.v es decir (2;0) = α (1;1) + β (0;-1) (a). Bastará determinar si existen α, β R. Esto dependerá que el sistema asociado (a) tenga solución, es decir COMPATIBLE. En este caso es DETERMINADO y los coeficientes de dicha combinación lineal son α=2 y β=2. Gráficamente se observa que u y v son linealmente independientes. w= 8

9 COMBINACIÓN LINEAL: Analicemos otro caso de R 2 Si w = (2;2) y u = (1;-1) y t = (-3;3), es posible obtener w como resultado de operaciones entre u y t? (2;2) = α(1;-1) + β(-3;3) 2 = α 3β 2 = α + 3β Se llega a un ABSURDO pues el sistema no tiene solución. ES INCOMPATIBLE. En este caso no es posible obtener w como combinación lineal de los vectores u y t. Gráficamente u y t pertenecen a la misma recta. Luego todos sus múltiplos y su suma están en la misma recta y w no está sobre la recta. 9

10 COMBINACIÓN LINEAL: Obtener, si es posible, a r=(2;-1) como combinación lineal de los vectores s=(-4;2) y t=(6;-3) r = α.s + β.t (2;-1) = α.(-4;2) + β.(6;-3) Se obtiene el sistema 4α + 6β 2α 3β = = β α = 4 1 = 1 COMPATIBLE INDETERMINADO Infinitas soluciones de α en función de β ( β R) Geométricamente se interpreta que todos los vectores pertenecen a la misma recta de R 2, que no es otra cosa que el subespacio definido por uno de estos vectores S= { (x 1,x 2 ) / x 1 = -2x 2 } R 2. Concluimos que los vectores son linealmente dependientes. 10