Álgebra Lineal Ma1010
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- Claudia Caballero Castilla
- hace 9 años
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1 Álgebra Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra - p. 1/31
2 En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la relación entre el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales y el problema de determinar si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores. El resultado clave indica que es equivalente buscar la solución a un sistema de ecuaciones lineales que determinar los valores de los coeficientes que multiplicando cada una de las columnas de la matriz de coeficientes y sumando los vectores resultantes da como resultado el vector de constantes del sistema. Álgebra - p. 2/31
3 lineal entre vectores El curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; Álgebra - p. 3/31
4 lineal entre vectores El curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problema fundamental del álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra - p. 3/31
5 lineal entre vectores El curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problema fundamental del álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente, prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas lineales y sus soluciones. Álgebra - p. 3/31
6 lineal entre vectores El curso de álgebra lineal puede a la vez considerarse aburrido por monotemático; el problema fundamental del álgebra lineal es resolver sistemas de ecuaciones lineales. Y por consiguiente, prácticamente la totalidad de los temas tiene como fin analizar los sistemas lineales y sus soluciones. Después del concepto de sistema de ecuaciones el segundo concepto en importancia es el de combinación lineal. Veamos cómo se motiva este concepto. Álgebra - p. 3/31
7 Ejemplo Supongamos el sistema de ecuaciones lineales: 1x + ( 1)y = 1 2x + 1y = 5 Álgebra - p. 4/31
8 Ejemplo Supongamos el sistema de ecuaciones lineales: 1x + ( 1)y = 1 2x + 1y = 5 Sabemos que cada ecuación representa una línea recta en R 2 y que la solución a él coincide con la intersección de las rectas. Figura 1: Solución como intersección de rectas Álgebra - p. 4/31
9 Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución x = 2 y y = 1: 1(2) + ( 1)(1) = 1 2(2) + 1(1) = 5 Álgebra - p. 5/31
10 Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución x = 2 y y = 1: 1(2) + ( 1)(1) = 1 2(2) + 1(1) = 5 En notación vectorial, lo anterior queda ( ) ( ) 1(2)+( 1)(1) 1 = 2(2)+1(1) 5 Álgebra - p. 5/31
11 Para buscar otra visión de la situación, sustituimos la solución x = 2 y y = 1: 1(2) + ( 1)(1) = 1 2(2) + 1(1) = 5 En notación vectorial, lo anterior queda ( ) ( ) 1(2)+( 1)(1) 1 = 2(2)+1(1) 5 o también ( 1(2) 2(2) ) + ( 1(1) 1(1) ) = ( 1 5 ) Álgebra - p. 5/31
12 o también 2 ( 1 2 ) +1 ( 1 1 En la figura 2 se muestran las columnas de la matriz y el vector de constantes: el grid nos sirve para indicar cómo obtener el vector de constantes combinando las columnas de la matriz ) = ( 1 5 ) Álgebra - p. 6/31
13 Desde el punto de vista de las columnas de la matriz de coeficientes y del vector de constantes: la solución al sistema de ecuaciones representa los coeficientes por los cuales hay que multiplicar a cada columna de la matriz de coeficientes para que al sumar resultados se obtenga el vector de constantes Si la matriz de coeficientes es A y el vector de constantes es b, la relación dice x(columna 1 de A)+y(columna 2 de A) = (vector de constantes) Álgebra - p. 7/31
14 Aplicación Ejemplo Continuemos con la empresa maquiladora del ejemplo anterior. Supongamos que la empresa construye ensambles tipo D y ensambles tipo E. Para construir un ensamble D requiere 3As, 4Bs y 2Cs. Y para construir un ensamble E requiere 5As, 3Bs y 2Cs. Un día notan que han usado 130A, 111Bs y 64Cs para ensamblar Ds y Es. Cuántos Ds y cuántos E han hecho? Álgebra - p. 8/31
15 Aplicación Ejemplo Continuemos con la empresa maquiladora del ejemplo anterior. Supongamos que la empresa construye ensambles tipo D y ensambles tipo E. Para construir un ensamble D requiere 3As, 4Bs y 2Cs. Y para construir un ensamble E requiere 5As, 3Bs y 2Cs. Un día notan que han usado 130A, 111Bs y 64Cs para ensamblar Ds y Es. Cuántos Ds y cuántos E han hecho? Respuesta En este caso buscamos los valores de x, el número de Ds construidos, y de y, el número de Es construidos. Así debe cumplirse que: x y = Álgebra - p. 8/
16 Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el sistema 3x+5y = 130 4x+3y = 111 2x+2y = 64 Álgebra - p. 9/31
17 Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el sistema 3x+5y = 130 4x+3y = 111 2x+2y = 64 al formar la matriz aumentada y reducirla se obtiene Álgebra - p. 9/31
18 Si desarrollamos e igualamos componente a componente tenemos que nuestro problema consiste en resolver el sistema 3x+5y = 130 4x+3y = 111 2x+2y = 64 al formar la matriz aumentada y reducirla se obtiene de donde la solución es x = 15 (15 del tipo D) y y = 17 (17 del tipo E). Álgebra - p. 9/31
19 Nuevamente observamos que la solución x = 15 y y = 17 de representa los coeficientes por los cuales multiplicar las columnas de la matriz de coeficientes para que al sumar estos productos se obtenga el vector de términos constantes: = Álgebra - p. 10/31
20 Ejemplo Siga con el ejemplo de la empresa maquiladora. Suponga ahora que bodega indica una existencia de < 125,110,40 > y que se desean hacer ensambles D y E de manera que se consuma sin desperdicio toda la existencia. Será posible? Álgebra - p. 11/31
21 Ejemplo Siga con el ejemplo de la empresa maquiladora. Suponga ahora que bodega indica una existencia de < 125,110,40 > y que se desean hacer ensambles D y E de manera que se consuma sin desperdicio toda la existencia. Será posible? Solución Nuevamente buscamos valores de x y de y para que x y = Álgebra - p. 11/31
22 Ejemplo Siga con el ejemplo de la empresa maquiladora. Suponga ahora que bodega indica una existencia de < 125,110,40 > y que se desean hacer ensambles D y E de manera que se consuma sin desperdicio toda la existencia. Será posible? Solución Nuevamente buscamos valores de x y de y para que x y = Armando la matriz y reduciéndola obtenemos: Álgebra - p. 11/31
23 De donde concluimos que al ser inconsistente el sistema, no existe forma de combinar múltiplos de < 3,4,2 > y < 5,3,2 > para dar < 125,110,40 >. Por tanto, no es posible hacer ensambles D y E de manera que se consuma sin desperdicio toda la existencia Álgebra - p. 12/31
24 Demos ahora la definición de combinación lineal: Sean v 1, v 2,..., v k, vectores n y sean c 1,c 2,...,c k escalares. El vector de la forma c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c k v k se llama combinación lineal de v 1, v 2,..., v k. Álgebra - p. 13/31
25 Demos ahora la definición de combinación lineal: Sean v 1, v 2,..., v k, vectores n y sean c 1,c 2,...,c k escalares. El vector de la forma c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c k v k se llama combinación lineal de v 1, v 2,..., v k. Los escalares c 1,c 2,...,c k se llaman coeficientes de la combinación lineal. Álgebra - p. 13/31
26 SEL vs Combinaciones es Si x 1,x 2,...,x n son las incógnitas de un sistema cuya matriz de coeficientes es A y cuyo vector de constantes es b, siendo también a 1,a 2,...,a n las columnas de A entonces: Ax = b x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n = b Álgebra - p. 14/31
27 SEL vs Combinaciones es Si x 1,x 2,...,x n son las incógnitas de un sistema cuya matriz de coeficientes es A y cuyo vector de constantes es b, siendo también a 1,a 2,...,a n las columnas de A entonces: Ax = b x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n = b Es decir, el sistema tiene solución si y sólo si b es una combinación lineal de las columnas de la matriz A. La solución del sistema es el vector formado por coeficientes de la combinación lineal de las columnas de A que dan b. Álgebra - p. 14/31
28 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, v 3. Donde: y = [ 6 3 ], v 1 = [ 6 2 ], v 2 = [ 24 8 ], v 3 = [ 24 8 ] Álgebra - p. 15/31
29 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, v 3. Donde: y = [ 6 3 ], v 1 = [ 6 2 ], v 2 = [ 24 8 ], v 3 = [ 24 8 ] Solución La pregunta consiste en saber si existen escalares c 1, c 2 y c 3 tales que: c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 = y Álgebra - p. 15/31
30 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, v 3. Donde: y = [ 6 3 ], v 1 = [ 6 2 ], v 2 = [ 24 8 ], v 3 = [ 24 8 ] Solución La pregunta consiste en saber si existen escalares c 1, c 2 y c 3 tales que: c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 = y Sustituyendo los vectores, la relación anterior queda: [ [ [ ] [ ] c 1 ]+c 2 ]+c 3 = Álgebra - p. 15/31
31 La matriz aumentada del sistema anterior queda : [ ] Álgebra - p. 16/31
32 La matriz aumentada del sistema anterior queda : [ ] [ ] Álgebra - p. 16/31
33 La matriz aumentada del sistema anterior queda : [ ] [ ] Como el sistema anterior es inconsistente, no existen c 1, c 2, y c 3 que hagan que se cumpla : c 1 v 1 +c 2 v 1 +c 3 v 1 = y Álgebra - p. 16/31
34 La matriz aumentada del sistema anterior queda : [ ] [ ] Como el sistema anterior es inconsistente, no existen c 1, c 2, y c 3 que hagan que se cumpla : c 1 v 1 +c 2 v 1 +c 3 v 1 = y Por lo tanto, el vector y no es combinación lineal de los vectores v 1, v 2, v 3. Álgebra - p. 16/31
35 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1 y v 2. Donde: y = ,v 1 = 6 5 1, v 2 = Álgebra - p. 17/31
36 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1 y v 2. Donde: Solución y = ,v 1 = 6 5 1, v 2 = La pregunta consiste en saber si existen escalares c 1 y c 2 tales que: c 1 v 1 +c 2 v 2 = y Álgebra - p. 17/31
37 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1 y v 2. Donde: Solución y = ,v 1 = 6 5 1, v 2 = La pregunta consiste en saber si existen escalares c 1 y c 2 tales que: c 1 v 1 +c 2 v 2 = y La matriz aumentada del sistema anterior queda : Álgebra - p. 17/31
38 Ejemplo Indique si el vector y es combinación lineal de los vectores v 1 y v 2. Donde: Solución y = ,v 1 = 6 5 1, v 2 = La pregunta consiste en saber si existen escalares c 1 y c 2 tales que: c 1 v 1 +c 2 v 2 = y La matriz aumentada del sistema anterior queda : Álgebra - p. 17/31
39 Como el sistema anterior es consistente, sí existen c 1 y c 2, que hacen que se cumpla : c 1 v 1 +c 2 v 2 = y Álgebra - p. 18/31
40 Como el sistema anterior es consistente, sí existen c 1 y c 2, que hacen que se cumpla : c 1 v 1 +c 2 v 2 = y Por lo tanto, el vector y sí es combinación lineal de los vectores v 1 y v 2 Álgebra - p. 18/31
41 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. Álgebra - p. 19/31
42 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Álgebra - p. 19/31
43 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición. Álgebra - p. 19/31
44 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición. El vector de constantes es el vector que uno se pregunta si es combinación lineal de los vectores dados. Álgebra - p. 19/31
45 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición. El vector de constantes es el vector que uno se pregunta si es combinación lineal de los vectores dados. Si acaso el sistema formado es consistente, el vector sí es combinación lineal de los vectores dados. Álgebra - p. 19/31
46 Es conveniente observar, por el trabajo que pude ahorrar, cómo se forma la matriz aumentada del sistema directamente de los datos. La matriz de coeficientes se forma con los vectores que se deben combinar. Estos entran como columnas en orden de aparición. El vector de constantes es el vector que uno se pregunta si es combinación lineal de los vectores dados. Si acaso el sistema formado es consistente, el vector sí es combinación lineal de los vectores dados. Si el sistema es incosistente, el vector no es combinación lineal. Álgebra - p. 19/31
47 Ejemplo Indique si el primer vector es combinación lineal de los restantes: [ ], [ 2 5 ], [ 1 4 ] Álgebra - p. 20/31
48 Ejemplo Indique si el primer vector es combinación lineal de los restantes: [ Solución ] La matriz aumentada y trabajada queda: [ ] , [ 2 5 ], [ 1 4 ] Álgebra - p. 20/31
49 Ejemplo Indique si el primer vector es combinación lineal de los restantes: [ Solución ] La matriz aumentada y trabajada queda: [ ] [ ] , [ 2 5 ], [ 1 4 ] Álgebra - p. 20/31
50 Ejemplo Indique si el primer vector es combinación lineal de los restantes: [ Solución ] La matriz aumentada y trabajada queda: [ ] [ ] , [ 2 5 ], [ 1 4 ] Como el sistema es consistente, el vector sí es combinación lineal de los restantes Álgebra - p. 20/31
51 Ejemplo Indique si el sistema [A b] es consistente para todos los vectores b R 3 si A es la matriz: Álgebra - p. 21/31
52 Solución Supongamos un vector b en R 3 cualquiera. Digamos que b =< b 1,b 2,b 3 >. Nuestro problema consiste en determinar cómo deben ser b 1, b 2 y b 3 para que el sistema [A b] sea consistente. Esperamos dos posibles tipos de respuesta: Que no importa como sean b 1, b 2 y b 3 el sistema es consistente. ó Que b 1, b 2 y b 3 deben cumplir cierta relación para que se cumpla la consistencia y que no todos los puntos posibles de R 3 la cumplen. Recordemos que el análisis de consistencia de un sistema se obtiene de la matriz escalonada y por ello no se requiere la forma escalonada reducida. Álgebra - p. 22/31
53 Para escalonar siguiremos una estrategia tipo Montante manteniendo la aritmética totalmente con números enteros. Así para hacer cero en las posiciones (2,1) y (3,1) lo que hacermos es hacer que tales posiciones se hagan un múltiplo del elemento (1,1). Aplicando R 2 4R 2 y R 3 4R 3 obtenemos: [A b] = b b b b b b 3 Álgebra - p. 23/31
54 Ahora procederemos a hacer cero bajo el pivote mediante las operaciones R 2 R 2 +5R 1 y R 3 R 3 5R 1 : b b b b 1 +4b b b 1 +4b 3 Álgebra - p. 24/31
55 Para hacer un cero en la posición (3,2) haremos R 3 R 3 +R 2 obteniéndose: b b b 1 +4b b 1 +4b b 1 +4b b 2 +4b 3 Observamos que las posiciones de los pivotes son (1,1), (2,2) y (3,3), y por tanto no hay posibilidad de tener un pivote en la columna de las constantes. Por tanto, no importa cual sea el vector b =< b 1,b 2,b 3 > el sistema [A b] es siempre consistente Álgebra - p. 25/31
56 Ejemplo Indique si el sistema [A b] es consistente para todos los vectores b R 3 si A es la matriz: Álgebra - p. 26/31
57 Solución Como en el problema anterior, busquemos escalonar [A b] donde b =< b 1,b 2,b 3 > representa un vector arbitrario de R 3. Haciendo R 2 4R 2 y R 3 2R 3 sobre [A b] obtenemos: [A b] = b b b b b b 3 Álgebra - p. 27/31
58 Ahora haciendo R 2 R 2 +5R 1 y R 3 R 3 R 1 obtenemos: b b b b 1 +4b b b 1 +2b 3 Álgebra - p. 28/31
59 Ahora haciendo R 3 35R 3 obtenemos: b b b 1 +4b b 1 +4b b 1 +2b b 1 +70b 3 Álgebra - p. 29/31
60 Ahora haciendo R 3 R 3 3R 2 obtenemos: b b 1 +4b b b 1 +4b b 1 +70b b 1 12b 2 +70b 3 de donde la consistencia depende del valor de la expresión 50b 1 12b 2 +70b 3 : Álgebra - p. 30/31
61 50b 1 12b 2 +70b 3 = 0 da consistencia: todo vector b =< b 1,b 2,b 3 > de R 3 que cumpla 50b 1 12b 2 +70b 3 = 0 nos dará un sistema [A b] consistente. 50b 1 12b 2 +70b 3 0 da inconsistencia: todo vector b =< b 1,b 2,b 3 > de R 3 que cumpla 50b 1 12b 2 +70b 3 0 nos dará un sistema [A b] inconsistente. Por ejemplo, tomando b =< 1,0,0 > dará b 1 = 1, b 2 = 0 y b 3 = 0, que al ser sustituidos en la expresión dan como resultado: 50b 1 12b 2 +70b 3 = 50(1) 12(0)+70(0) = 50 0 lo cual indica que [A b] es inconsistente. Resumiendo, para la matriz A se cumple que es falso que para todos los vectores b de R 3 el sistema [A b] es consistente Álgebra - p. 31/31
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