puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma

Transcripción

1 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones es uno de los temas más importantes del algebra lineal. ECUACIONES LINEALES Una recta en el plano puede representarse algebraicamente por una ecuación de la forma siendo, no simultáneamente nulos. Una ecuación de este tipo se denomina ecuación lineal en las variables e. De manera más general, una ecuación lineal en la variables se define como una ecuación que se puede expresar en la forma donde son números reales y, no todos nulos. Las variables en una ecuación lineal se denominan incógnitas. Ejemplo 1 Dadas las siguientes ecuaciones, determinar cuáles son lineales. Todas son ecuaciones lineales, salvo las dos última. Un conjunto finito de ecuaciones lineales de incógnitas se denomina sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Por lo tanto un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir como donde los términos y para, son números reales, no todos nulos. Nos referiremos a este sistema como sistema lineal de. Si para todo,, el sistema se denomina sistema homogéneo. Es decir, 1

2 Una n-upla de números ( ) que satisface todas y cada una de las ecuaciones del sistema se denomina solución del sistema lineal de. No todos los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución Ejemplo 2 (a) Sea una solución del sistema de es ( ), ya que cada uno de estos valores satisfacen ambas ecuaciones (verificarlo). (b) El sistema no tiene solución, ya que si a la segunda ecuación la dividimos por 2, se obtiene Las cuales son ecuaciones contradictorias. Podemos decir que el conjunto solución es vacío. Decimos que si un sistema de ecuaciones lineales tiene por lo menos una solución es compatible o consistente. Si la solución es única el sistema es compatible determinado, si tiene infinitas soluciones es compatible indeterminado. Si el sistema de ecuaciones lineales no tiene solución se dice que el sistema es incompatible o inconsistente. Ejemplo3 Sea una ecuación lineal con dos variables siendo y ambos no nulos. La gráfica de la ecuación lineal es una recta. Así, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas determina dos rectas en el plano. 2

3 En busca de la solución de este sistema, podemos encontrarnos con tres casos posibles: (i) (ii) (iii) Las rectas se intersecan en un solo punto Las ecuaciones describen la misma recta, o Las dos rectas son paralelas En estos tres casos decimos, respectivamente: (i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, el par ordenado de números reales correspondiente al punto intersección de las rectas. (ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todos los pares ordenados de números reales correspondiente a los puntos de la recta. (iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, es decir la solución es el conjunto vacío. Ejemplo4 Una ecuación lineal con tres variables Donde, y no son simultáneamente nulos, determina un plano en el espacio. La solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Es una terna ordenada de la forma ( intersección de los tres planos descrita por el sistema dado puede ser: ) que satisface cada ecuación del sistema. La (i) (ii) (iii) un solo punto infinitos puntos, o ningún punto 3

4 En estos tres casos decimos, respectivamente: (i) El sistema es consistente determinado. Tiene una única solución, es decir, la terna ordenada de números reales correspondiente al punto intersección de los planos. (ii) El sistema es consistente indeterminado. Tiene infinitas soluciones, es decir, todas las ternas ordenadas de números reales correspondiente a los puntos de la recta intersección. (iii) El sistema es inconsistente. No hay soluciones, la solución es el conjunto vacío. Consistente determinado Los planos se intersecan en un punto Consistente indeterminado - Los planos se intersecan en una recta Consistente indeterminado Los planos se intersecan en una recta. Inconsistente Planos paralelos sin punto en común 4

5 Inconsistente Inconsistente En general podemos afirmar que: Todo sistema de ecuaciones lineales no homogéneo o no tiene soluciones, o tiene exactamente una o tiene infinitas soluciones. Todo sistema lineal homogéneo siempre es compatible o consistente. Pues siempre admite la solución trivial o bien además de la trivial pueden existir infinitas soluciones no triviales. Ejemplo 5 Dado el sistema Multiplicando la primera ecuación por -5 y sumándole este resultado a la segunda obtenemos Multiplicando la primera ecuación por -8 y sumándole este resultado a la tercera obtenemos De donde Si elegimos con, tenemos que y. Por tanto las soluciones del sistema constan de todas las ternas ordenadas de la forma ( ). 5

6 Observe que para se obtiene la solución trivial ( )pero para se obtiene la solución no trivial ( ). SISTEMAS EQUIVALENTES Se dice que dos sistemas de ecuaciones con las mismas variables son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Dado un sistema de ecuaciones, si realizamos algunas operaciones en sus ecuaciones podemos obtener un sistema equivalente OPERACIONES para transformar un sistema en un sistema equivalente (i) Intercambiar cualquier par de ecuaciones (ii) Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero (iii) Sumarle un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema. Ejemplo 6 Dado el sistema Multiplicando la primera ecuación por -4, sumándole el resultado a la segunda, multiplicando a la primer ecuación por -2 y sumándole el resultado a la tercera ecuación, se elimina de estas dos ecuaciones; Multiplicando la segunda ecuación por y sumándole este resultado a la tercera ecuación, eliminamos escalonada de la tercer ecuación. Se obtiene un sistema equivalente en forma triangular o Si multiplicamos la segunda ecuación por y la tercer ecuación por, llegamos a otra forma triangular que es equivalente al sistema original 6

7 es inmediato que. Usando este valor y sustituyendo hacia atrás en la segunda ecuación, resulta ( ) Finalmente, sustituyendo y en la primer ecuación, obtenemos ( ) Por tanto, la solución del sistema es ( ) Sistema de Ecuaciones. Uso de matrices aumentadas En el ejemplo anterior podemos simplificar los cálculos ubicando los coeficientes de cada ecuación y los términos independientes de manera ordenada en un arreglo rectangular de números como Este arreglo se denomina matriz aumentada del sistema En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas como La matriz aumentada correspondiente a este sistema es: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Podemos decir que la matriz aumentada tiene filas y columnas, en cuyo caso decimos que la matriz es de orden ( ). Los números, se denominan términos o elementos de la matriz e indican que el elemento se encuentra en la fila y en la columna. En caso en que el número de filas sea igual al número de columnas, decimos que la matriz es cuadrada, y se dice que la matriz es de orden. 7

8 Observación: Al elaborar una matriz aumentada, las incógnitas deben escribirse en el mismo orden en cada ecuación. El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es aplicar las operaciones de transformación al sistema, obteniendo un sistema equivalente de ecuaciones Dado que las filas de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema, las operaciones de transformación mencionadas corresponden a las siguientes operaciones efectuadas en las filas de la matriz aumentada (i) Intercambiar cualquier par de filas (ii) Multiplicar una fila por una constante distinta de cero (iii) Sumarle un múltiplo de una fila a otra fila de la misma matriz. Cuando estas operaciones entre filas se aplican a la matriz aumentada, el resultado es una matriz aumentada de un sistema equivalente. Por esta razón, se dice que la matriz original y la matriz resultante son equivalentes. Por conveniencia, representamos estas operaciones entre filas por los siguientes símbolos: Intercambie la fila i - ésima por la fila j ésima. Multiplique la fila i - ésima por k Multiplique la fila i - ésima por k y sume el resultado a la fila j ésima. Ejemplo 7 En este ejemplo mostraremos un sistema de ecuaciones lineales operando sobre las ecuaciones del sistema, y resolveremos el mismo sistema a través de la matriz aumentada operando sobre las filas de la matriz. Sumar -2 veces la primera ecuación a la segunda para obtener Sumar -2 veces la primera fila a la segunda ( ) para obtener 8

9 Sumar -3 veces la primera ecuación a la tercera para obtener Sumar -3 veces la primera fila a la tercera ( ) para obtener Multiplicar la segunda ecuación por para obtener Multiplicar la segunda fila por ( ) para obtener Sumar -3 veces la segunda ecuación a la tercera para obtener Sumar -3 veces la segunda fila a la tercera ( ) para obtener Multiplicar la tercera ecuación por -2 para obtener Multiplicar la tercera fila por -2 ( ) para obtener Sumar -1 veces la segunda ecuación a la primera para obtener Sumar -1 veces la segunda fila a la primera ( ) para obtener Sumar veces la tercera ecuación a la Sumar veces la tercera fila a la primera y veces la tercera ecuación a la primera ( ) y veces la segunda para obtener tercera fila a la segunda ( ) para obtener 9

10 La solución es: La solución es: Eliminación Gaussiana Daremos un procedimiento sistemático para resolver un sistema de ecuaciones lineales. El método se basa en la utilización de las operaciones elementales entre filas para transformar la matriz aumentada de un sistema dado en una matriz equivalente en forma escalonada. En el ejemplo 7, el sistema lineal se resolvió reduciendo la matriz aumentada a la matriz A partir de la cual la solución del sistema es evidente. Esta matriz es una matriz escalonada reducida, debido a que tiene las siguientes propiedades: (i) Si una fila no consta completamente de ceros, entonces el primer número distinto de cero en la fila es un 1. (Se denomina 1 principal) (ii) Si hay filas que constan completamente de ceros, se agrupan en la parte inferior de la matriz. (iii) En dos filas consecutivas cualesquiera que no consten completamente de ceros, el 1 principal de la fila inferior aparece más a la derecha que el 1 principal de la fila superior. Ejemplo 8 Dadas las matrices siguientes a) b) c) d) Las matrices a), b), c) tienen forma escalonada. La matriz d) no tiene forma escalonada, pues, la primera fila no satisface (i), la segunda fila no satisface (ii) y la tercera fila no satisface (iii). Ejemplo 9 Resolver los siguientes sistemas 10

11 a) b) c) d) Solución a) Formamos la matriz aumentada del sistema y aplicamos operaciones entre filas hasta obtener una matriz en forma escalonada ( ) ( ) ( ) Esta última matriz aumentada está en forma escalonada y corresponde al sistema De la última ecuación resulta que, de la segunda ecuación, obtenemos ( ) ó De la primera ecuación. Luego ( ) es la solución del sistema. b) 11

12 esta última es la matriz aumentada del sistema despejando e en términos de obtenemos Por tanto el sistema dado es consistente, pero como las solución depende del valor de se tienen infinitas soluciones, asignando arbitrariamente valores reales a. Si designamos a con, las soluciones del sistema consta de todas las ternas de la forma ( ) siendo un número real. Es decir el conjunto ( ) } es la solución del sistema c) de la última matriz, obtenemos Por tanto el sistema dado es consistente, las solución depende del valor de se tienen infinitas soluciones, asignando arbitrariamente valores reales a. Si designamos a con, las soluciones del sistema consta de todas las ternas de la forma ( ) siendo un número real. Es decir el conjunto *( ) + es la solución del sistema 12

13 Observación: Cada ecuación del sistema c) representa un plano, cuyos vectores normales son ( ) y ( ). Podemos observar que no son planos paralelos (verificarlo), por lo tanto se cortan en una recta la cual se obtiene como solución del sistema. La ecuación de dicha recta es: con d) ( ) Como podemos observar la tercera ecuación del sistema equivalente es contradictoria, por tanto el sistema es incompatible. Luego el conjunto solución es vacío. Observación: Cada ecuación del sistema d) representa una recta. Podemos observar que las rectas, e, no son paralelas, ni se cortan en un único punto. Aplicación del método de Gauss 13

14 El método de eliminación de Gauss puede aplicarse para estudiar la posición relativa de rectas y de planos, en economía, en química, etc. Ejemplo 10 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas con con Solución El vector director de la recta es ( ) y el vector director de la recta es ( ), además o bien de donde podemos afirmar que las rectas son paralelas. Para determinar si son paralelas coincidentes o no, debemos resolver el siguiente sistema Este sistema es incompatible, por tanto las rectas son paralelas no coincidentes Ejemplo 11 Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas con con Solución El vector director de la recta es ( ) y el vector director de la recta es ( ), y por lo que podemos afirmar que las rectas no son paralelas. Luego se cruzan o se cortan Resolvamos el siguiente sistema 14

15 Obtenemos Este sistema es incompatible, por lo tanto las rectas se cruzan. 15