FASCÍCULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Purificación Domínguez Soriano
hace 7 años
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1 FASCÍCULO: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una de las aplicaciones más famosas del concepto de determinante es el método para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas, aparece en en la publicación Introduction to the Analsis of Lines of Algebraic Curves, conocida como egla de Cramer, en honor del matemático Gabriel Cramer (-). Más tarde el príncipe de las matemáticas Carl Friedrich Gauss (-), uno de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos; considerado así por las contribuciones hechas en diversos campos como astronomía, álgebra, variable compleja, mecánica, etc. presenta el método para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas llamado Método de Gauss, que es la herramienta matemática para obtener la solución de sistemas presentados en este capítulo.. Ecuación lineal Definición Una ecuación lineal es una epresión de la forma Donde las variables, están elevadas a la primera potencia no puede ser argumento de ninguna epresión trigonométrica, logarítmica, eponencial, en adición no puede el producto entre variables no es permitido. A continuación se presenta un ejercicio donde se verificará el concepto de ecuación lineal.

2 Ejemplo Determinar si las siguientes ecuaciones son lineales o no: c X + = e) + = - b) sen = f) + = c) = g) + + = d) + = - h) + + = Solución a) X + = no e) + = - sí b) sen = no f) + = sí c) = sí g) + + = no d) + = - sí h) + + = no Definición Una solución de la ecuación lineal Es Para aplicar la definición anterior se realiará el siguiente ejemplo: Ejemplo Determinar el conjunto solución de la siguiente ecuación lineal = Solución: Para encontrar la solución se asigna un valor arbitrario a despejar

3 = t = t - Estas epresiones son la solución general de la ecuación en términos del parámetro t. De Por ejemplo si t = = = El conjunto solución de la ecuación lineal es: t, t - t Esta última epresión será útil para el estudio del capítulo de Espacios Vectoriales de la asignatura álgebra Lineal. Sistemas de Ecuaciones Lineales Definición Un sistema de ecuaciones lineales es una epresión de la forma: α + β + θ n n = φ α + β + θ n n = φ α + β + θ n n = φ α m + β m + θ mn n = φ m donde los coeficientes las variables son números Complejos

4 Una solución del sistema de ecuaciones lineales es α a + β a + θ n a n = φ α a + β a + θ n a n = φ α a + β a + θ n a n = φ α m a + β m + θ mn a n = φ m donde el conjunto (a,a,,a n ), satisface simultáneamente a las ecuaciones. Para obtener la solución de este tipo de ecuaciones se utiliarán transformaciones elementales, que son la base del Método de Gauss: a. Intercambiar renglones (ecuaciones) b. Multiplicar un renglón (ecuación) por un escalar diferente de cero c. Multiplicar un renglón (ecuación) por un escalar sumárselo a otro sustituendo el resultado en este último. Antes de continuar se presenta el concepto de matri Definición Una matri es una epresión de la forma Dicho de otra manera es un arreglo rectangular de números dispuestos en renglones columnas. Los renglones son los arreglos horiontales las columnas los arreglos verticales Columnas renglones

5 Una de las aplicaciones de matrices, está en los sistemas de ecuaciones lineales, a que se pueden representar como un producto de matrices, es decir como ecuación matricial, obsérvese el siguiente ejemplo: Ejemplo Determinar el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales siguientes: a) + = + = b) = + = c) = = Solución a) + =... ) + =... () Multiplicando la segunda epresión por ½. No ha solución ectas paralelas + = + = Se observa que no eiste solución para el sistema de ecuaciones. Por lo tanto es un sistema de Ecuaciones lineales Incompatible.

6 b) =... () + =... () Se suman las ecuaciones = = de la segunda ecuación se tiene + = ; = = - su solución es = = -, única Solución única La solución es única, el Sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado. c) = = Se multiplica la primera ecuación por = Se observa que las dos ecuaciones son equivalentes = = Su solución general es X = t t X = t muchas soluciones Solución particular t =, t = -) X =, X = -) X =, X = - rectas coincidentes Tiene muchas soluciones, el Sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado.

A continuación se presenta la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo con su solución Con la finalidad de mostrar la aplicación del Método de Gauss verificar que los sistemas

7 A continuación se presenta la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales de acuerdo con su solución Con la finalidad de mostrar la aplicación del Método de Gauss verificar que los sistemas de ecuaciones se pueden resolver utiliando el concepto de matri, presentan los siguientes ejemplos. Ejemplo. esolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utiliando el método de Gauss. a) + - = () - + = () - - = - () Solución Sistema de ecuaciiones liineales Matri aumentadaasociadaalsistema

8 multiplicando la ecuación () por sumándola a la da. ecuación. multiplicando la ecuación () por sumándola a la ecuación () multiplicando la ecuación () por multiplicando la ecuación () por sumándola a la ecuación () de la ecuación () = - = sustituendo en la ecuación ()

9 = - = sustituendo, en la ecuación () + = = por lo tanto la solución del sistema es = = = b) + = + = + + = (½) (-) + (-) + c) + = + + = + =

10 d) e) + = = = -

11 Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales obtener el conjunto de solución del sistema. Solución del segundo renglón del primer renglón = - + k = k = k el conjunto solución es:

12 . Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos Un caso de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos es: α + β + θ = α + β + θ = α + β + θ = donde una de las características que tienen este tipo sistemas es que todos los términos independientes son iguales a cero, por lo cual son compatibles al menos tienen la solución trivial; = = = α + β + θ = α + β + θ = α + β + θ = Ejemplo homogéneos. Determinar la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales a) + =... () + =... () + =... () Solución Utiliando el concepto de matri aumentada el Método de Gauss

13 = = = = + = = b) + + =... () + =... () =... () del segundo renglón + = = - del primer renglón

14 + + = = solución general una solución particular = k = = -k; k si k = = = k = Ejemplos adicionales Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones lineales: + + = + + = + + k = a) Determinar el valor de k para que el sistema sea compatible indeterminado. b) Con el valor de k obtenido en el inciso anterior, obtener la solución del sistema. Solución: a) k k k Para que el sistema sea compatible indeterminado, el tercer renglón de la matri aumentada debe estar compuesto por ceros, de donde: K = k =

15 b) sustituendo k = del segundo renglón + = = del primer renglón = = + = + a = a a; = a a. Ejemplos de aplicación Ejemplo Dada la matri B Obtener los valores,, que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones. i) que la traa de la matri B sea igual a seis, ii) que el cofactor del elemento b sea igual a dos, i) que la suma de los elementos del primer renglón sea igual a cuatro.

16 Solución de donde: = -; = ; = Ejemplo. Determinar el valor de los coeficientes a, b, c de modo que el polinomio p() = a + b + c; pase por los puntos (-,), (-,) (,). SOLUCIÓN: Sustituendo las coordenadas de los puntos en el polinomio. c b a c b a c b a c b a c b a c b a del tercer renglón c = del segundo renglón b = del primer renglón a = b c a =

17 por lo tanto los valores son: a = b = c = Ejemplo La suma del segundo tercer dígitos de un número de tres es igual al primero. La suma del primer dígito el segundo es igual al tercero más dos, si el segundo tercer dígito se intercambian, el nuevo número es igual al número original más. Obtener dicho número. Solución: El número buscado lo representamos como: = cdu donde u son las unidades, d son las decenas c son las centenas. La suma del segundo tercer dígitos es igual al primero d + u = c La suma del primer dígito el segundo es igual al tercer dígito más dos c + d = u + Si el segundo el tercer dígito se intercambian, el nuevo número es igual al original más cincuenta cuatro c + u + d = c + d + u + A partir de estas condiciones se establece el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

18 c d u c d u d u resolviendo el sistema u =, d = c = el número buscado es.

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