Universidad Industrial de Santander Algebra Lineal II. Solución Previo I (Espectacular). Abril 20/2017

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1 Universidad Industrial de Santander Algebra Lineal II. Solución Previo I (Espectacular). Abril 20/2017 solespecta-1-17-a.tex Tema A. Nombre Código Pregunta de escogencia múltiple mal contestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal contestada baja 1 punto. Para sacar nota máxima (4.0) haga 80 puntos de 128 posibles! Para completar 5l 5.0 resuelva U1 y U2 1. [6] Los números reales de la forma a+b 3 con a,b Q forman un campo en donde (a+b 3) 1 = 1 d (a b 3) cuando d es: a) a 2 3b 2 b) a 3 +b 3 c) a 2 +3b 2 d) 3a 2 +b 2 e) Ninguna 2. [8] En Z 7 la ecuación x 2 + a = 0 tiene dos raíces diferentes cuando (Falso/Verdadero): a = 3 Fb) a = 1 Vc) a = 6 Vd) a = 5 3. [8] Sea V un espacio vectorial, p,q V no nulos y S V ; se tiene (Falso/Verdadero): a) F V b) c) F Vd) {p, q} es linealmente independiente. {p} es linealmente independiente. Si S es generador de V entonces S {p} también. Si S es linealmente independiente entonces S {p} también. 4. [8] Si U = {(x,y,z) x + y = 0} y W = {(t,0,t) t R} podemos asegurar (Falso / Verdadero): Fa) Fb) V W W es subespacio de V Vc) R 3 = V +W Vd) R 3 = V W 5. [8] Los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el espacio R R (Falso/Verdadero): Fa) Vb) e t, e 2t, e 2t +2e t 1, e t, e 2t, e 3t Fc) t, 2et, et 2 d) V e t, e 2t, e 3t 6. [8] El conjunto S = { (x,y) R 2 : y 0 } con las operaciones usuales de R 2 cumple (Falso/Verdadero): F(a) V(b) F(c) V(d) S es cerrado bajo la suma. existe un elemento neutro para la suma en S. S es cerrado bajo el producto por escalar. dados α,β R, y X S necesariamente se cumple que (α + β)x = αx +βx. 7. En Z 11 la ecuación x 2 +3 = 0 no tiene raíces. Supongamos u una raíz de x 2 +3 = 0 y la agregamos a Z 11 obteniendo el campo Z 11 [u] con 121 elementos de la forma a+bu con a,b Z 11. Exprese de esta forma: a) [4] (u+1)u = 8+u b) [4] (u+1) 2 = 9+2u c) [6] u 1 = 7u [10] Z 11 [u] es espacio vectorial sobre Z 11 de dimensión 2. Una base para Z 11 [u] es: 1,u 1

2 8. [10] Sean u1 = (1, 3,4), u2 = (6,2, 1), u3 = (2, 2,3) y u4 = ( 4, 8,9) entonces (Falso/Verdadero): gen{u1,u2,u3,u4} = gen{u1,u2} Vb) dim(gen{u1,u2,u3,u4}) = 2. Fc) u1, u2, u3, u4 son l. independientes. u1,u2,u3,u4 generan R 3 9. [8] Los vectores (x,y,z) de R 3 que cumplen x y z = 0 forman un espacio vectorial. Muestre una base de dicho espacio: (0, 1,1) y (1,1,0) 10. [6] Los vectores (1,2,0), (2,1,0) y(0,0,0) en (Z 3 ) 3 generan: a) Todo el espacio (Z 3 ) 3 b) El plano x+y = 0. c) La recta {t(1,2,0) t Z 3 }. d) Ninguna de las anteriores. 11. [8] Sean β 1 y β 2 base de un espacio vectorial V es correcto afirmar (Falso/Verdadero): Fa) β 1 β 2 es l. indepeniente en V. Vb) β 1 β 2 es generador de V. c) V β 1 β 2 es l. indepeniente de V. β 1 β 2 es generador de V. 12. Sea A = (2,2,0,1), B = (0,1,0, 1) en R 3. [8] Pertenecen al generado de A y B (Falso o verdadero) V a) (0,0,0,0) F b) (1,3,0,2) V c) (0,6,0, 6) V d) (2,3,0,0) [6] Se puede asegurar que el generado de A y B comprende exactamente los vectores (u 1,u 2,u 3,u 4 ) tales que: a) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 4 b) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 +2u 4 c) u 3 = 3u 1 2u 2 2u 4 d) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 e) Todas las anteriores 13. [10] Se sabe que los elementos de xyzu (Z 2 ) 4 que cumplan el sistema: x+u = 0 y +z = 0 forman un subespacio vectorial de (Z 2 ) 4. Muestre una base: 1001, [6] Considérese W los códigos de 6 bits que tienen un número par de 1 s. Como ellos obedecen a la ecuación en Z 2 : x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 0 podemos asegurar que W es un subespacio vectorial de (Z 2 ) 6. Los vectores (códigos) , , , no forman una base de W porque: a) No generan W aunque sí son linealmente independientes b) Generan W pero no son linealmente independientes c) No generan W ni son linealmente independientes d) Sí forman una base de W 15. [8] Sea n > 2 y V es el espacio de las matrices cuadradas n n con las operaciones usuales. Los siguientes conjuntos de matrices A = (a ij ) forman subespacio de V cuando (Falso/Verdadero): Si i j se tiene a ij = 0. Vb) A = A t Fc) det(a) = 0 Para todo i,j se tiene a ij 0. 2

3 IMPORTANTE: Espere la solución de este previo y envíe su PUNTAJE, se ganará una espectacular bonificación! Para completar el 5.0 resuelva plenamente U1 y U2. U1 Demuestre que en cualquier espacio vectorial si A,B,C es base, entonces A+2B,B,C también es base. Si w V por ser A,B,C base entonces A,B,C es generador y existen x 1,x 2,x 3 escalares tales que w = x 1 A+x 2 B +x 3 C entonces existen escalares y 1,y 2,y 3 tales que w = y 1 (A+2B)+y 2 B +x 3 C (haciendo y 1 = x 1, y 2 = x 2 2x 1 y y 3 = x 3 ). Por tanto A+2B,B,C es generador de V. Por otra parte, si α 1 (A +2B) +α 2 B +α 3 C = 0 entonces α 1 A +(α 2 +2α 1 )B +α 3 C = 0 por ser A,B,C linealmente independientes tenemos que α 1 = (α 2 + 2α 1 ) = α 3 = 0 de esto, fácilmente se llega a que α 1 = α 2 = α 3 = 0 y concluímos que A+2B,B,C son linealmente independientes. Como A+2B,B,C es generador de V y son linealmente independientes se llega a que A+2B,B,C es base. 3

4 ( ) ( ) ( ) U2 Sean M 1 =, M = y M =. Demuestre que M 1 0 1, M 2, M 3 son linealmente independientes en el espacio de matrices dos por dos con coeficientes reales. 4

5 Tema A. Nombre Código 5

6 Tema A. Nombre Código 6

7 Universidad Industrial de Santander Algebra Lineal II. Solución Previo I (Espectacular). Abril 20/2017 solespecta-1-17-a.tex Tema B. Nombre Código Pregunta de escogencia múltiple mal contestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal contestada baja 1 punto. Para sacar nota máxima (4.0) haga 80 puntos de 128 posibles! Para completar 5l 5.0 resuelva U1 y U2 1. [6] Los números reales de la forma a+b 3 con a,b Q forman un campo en donde (a+b 3) 1 = 1 d (a b 3) cuando d es: a) a 3 +b 3 b) a 2 3b 2 c) 3a 2 +b 2 d) a 2 +3b 2 e) Ninguna 2. [8] En Z 7 la ecuación x 2 + a = 0 tiene dos raíces diferentes cuando (Falso/Verdadero): a = 6 Vb) a = 5 Fc) a = 1 a = 0 3. [8] Sea V un espacio vectorial, p,q V no nulos y S V ; se tiene (Falso/Verdadero): F a) b) V Vc) d) V {p, q} es linealmente independiente. {p} es linealmente independiente. Si S es generador de V entonces S {p} también. Si S es linealmente independiente entonces S {p} también. 4. [8] Si U = {(x,y,z) x + y = 0} y W = {(t,0,t) t R} podemos asegurar (Falso / Verdadero): R 3 = V +W Vb) Fc) R 3 = V W V W W es subespacio de V 5. [8] Los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el espacio R R (Falso/Verdadero): Fb) Vc) e t, e 2t, e 3t e t, e 2t, e 2t +2e t 1, e t, e 2t, e 3t t, 2et, et 2 6. [8] El conjunto S = { (x,y) R 2 : y 0 } con las operaciones usuales de R 2 cumple (Falso/Verdadero): (a) F V(b) V(c) (d) V S es cerrado bajo la suma. existe un elemento neutro para la suma en S. S no es cerrado bajo el producto por escalar. dados α,β R, y X S necesariamente se cumple que (α + β)x = αx +βx. 7. En Z 11 la ecuación x 2 +3 = 0 no tiene raíces. Supongamos u una raíz de x 2 +3 = 0 y la agregamos a Z 11 obteniendo el campo Z 11 [u] con 121 elementos de la forma a+bu con a,b Z 11. Exprese de esta forma: a) [4] (u+1)u = 8+u b) [4] (u+1) 2 = 9+2u c) [6] u 1 = 7u [10] Z 11 [u] es espacio vectorial sobre Z 11 de dimensión 2. Una base para Z 11 [u] es: 1,u 7

8 8. [10] Sean u1 = (1, 3,4), u2 = (6,2, 1), u3 = (2, 2,3)010001, y u4 = ( 4, 8,9) entonces (Falso/Verdadero): u1, u2, u3, u4 son l. dependientes. Fb) u1,u2,u3,u4 generan R 3 Vc) gen{u1,u2,u3,u4} = gen{u1,u2} Vd) dim(gen{u1,u2,u3,u4}) = [8] Los vectores (x,y,z) de R 3 que cumplen x y+z = 0 forman un espacio vectorial. Muestre una base de dicho espacio: (1,1,0) y (0,1,1) 10. [6] Los vectores (1,2,0), (2,1,0) y(0,0,1) en (Z 3 ) 3 generan: a) Todo el espacio (Z 3 ) 3 b) El plano x+y = 0. c) La recta {t(1,2,1) t Z 3 }. d) Ninguna de las anteriores. 11. [8] Sean β 1 y β 2 base de un espacio vectorial V es correcto afirmar (Falso/Verdadero): Fa) β 1 β 2 es l. indepeniente en V. Vb) β 1 β 2 es generador de V. Fc) 0 (β 1 β 2 ). β 1 β 2 es generador de V. 12. Sea A = (2,2,0,1), B = (0,1,0, 1) en R 4. [8] Pertenecen al generado de A y B (Falso o verdadero) V a) (0,0,0,0) F b) (1,1,0,0) F c) (0,0,1,0) F d) (1,3,0,2) [6] Se puede asegurar que el generado de A y B comprende exactamente los vectores (u 1,u 2,u 3,u 4 ) tales que: a) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 b) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 4 c) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 +2u 4 d) u 3 = 3u 1 2u 2 2u 4 e) Todas las anteriores 13. [10] Se sabe que los elementos de xyzu (Z 2 ) 4 que cumplan el sistema: x+z = 0 y +u = 0 forman un subespacio vectorial de (Z 2 ) 4. Muestre una base: 1010, [6] Considérese W los códigos de 6 bits que tienen un número par de 1 s. Como ellos obedecen a la ecuación en Z 2 : x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 0 podemos asegurar que W es un subespacio vectorial de (Z 2 ) 6. Los vectores (códigos) , , , , no forman una base de W porque: a) No generan W aunque sí son linealmente independientes b) Generan W pero no son linealmente independientes c) No generan W ni son linealmente independientes d) Sí forman una base de W 15. [8] Sea n > 2 y V es el espacio de las matrices cuadradas n n con las operaciones usuales. Los siguientes conjuntos de matrices A = (a ij ) forman subespacio de V cuando (Falso/Verdadero): a) V A = A t Fb) det(a) = 0 c) V Para todo i se tiene a ii = 0. Vd) Si i j se tiene a ij = 0. 8

9 IMPORTANTE: Espere la solución de este previo y envíe su PUNTAJE, se ganará una espectacular bonificación! Para completar el 5.0 resuelva plenamente U1 y U2. U1 Demuestre que en cualquier espacio vectorial si A,B,C es base, entonces A+2B,B,C también es base. Si w V por ser A,B,C base entonces A,B,C es generador y existen x 1,x 2,x 3 escalares tales que w = x 1 A+x 2 B +x 3 C entonces existen escalares y 1,y 2,y 3 tales que w = y 1 (A+2B)+y 2 B +x 3 C (haciendo y 1 = x 1, y 2 = x 2 2x 1 y y 3 = x 3 ). Por tanto A+2B,B,C es generador de V. Por otra parte, si α 1 (A +2B) +α 2 B +α 3 C = 0 entonces α 1 A +(α 2 +2α 1 )B +α 3 C = 0 por ser A,B,C linealmente independientes tenemos que α 1 = (α 2 + 2α 1 ) = α 3 = 0 de esto, fácilmente se llega a que α 1 = α 2 = α 3 = 0 y concluímos que A+2B,B,C son linealmente independientes. Como A+2B,B,C es generador de V y son linealmente independientes se llega a que A+2B,B,C es base. 9

10 ( ) ( ) ( ) U2 Sean M 1 =, M = y M =. Demuestre que M 1 0 1, M 2, M 3 son linealmente independientes en el espacio de matrices dos por dos con coeficientes reales. 10

11 Tema B. Nombre Código 11

12 Tema B. Nombre Código 12

13 Universidad Industrial de Santander Algebra Lineal II. Solución Previo I (Espectacular). Abril 20/2017 solespecta-1-17-a.tex Tema C. Nombre Código Pregunta de escogencia múltiple mal contestada baja 2 puntos, falso y verdadero mal contestada baja 1 punto. Para sacar nota máxima (4.0) haga 80 puntos de 128 posibles! Para completar 5l 5.0 resuelva U1 y U2 1. [6] Los números reales de la forma a+b 3 con a,b Q forman un campo en donde (a+b 3) 1 = 1 d (a b 3) cuando d es: a) a 3 +b 3 b) a 2 +3b 2 c) a 2 3b 2 d) 3a 2 +b 2 e) Ninguna 2. [8] En Z 7 la ecuación x 2 + a = 0 tiene dos raíces diferentes cuando (Falso/Verdadero): a = 3 Vb) a = 6 Vc) a = 5 a = 1 3. [8] Sea V un espacio vectorial, p,q V no nulos y S V ; se tiene (Falso/Verdadero): b) F V c) d) F Si S es linealmente independiente entonces S {p} también. {p, q} es linealmente independiente. {p} es linealmente independiente. Si S es generador de V entonces S {p} también. 4. [8] Si U = {(x,y,z) x + y = 0} y W = {(t,0,t) t R} podemos asegurar (Falso / Verdadero): V W = {0} Fb) W es subespacio de V Vc) R 3 = V +W Vd) R 3 = V W 5. [8] Los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes en el espacio R R (Falso/Verdadero): b) V e t, e 2t, e 3t 1, e t, e 2t, e 3t Fc) t, 2et, et 2 e t, e 2t, e 2t +2e t 6. [8] El conjunto S = { (x,y) R 2 : y 0 } con las operaciones usuales de R 2 cumple (Falso/Verdadero): V(a) V(b) (c) V V(d) existen elementos en S que no tienen inverso aditivo. existe un elemento neutro para la suma en S. S no es cerrado bajo el producto por escalar. dados α,β R, y X S necesariamente se cumple que (α + β)x = αx +βx. 7. En Z 11 la ecuación x 2 +3 = 0 no tiene raíces. Supongamos u una raíz de x 2 +3 = 0 y la agregamos a Z 11 obteniendo el campo Z 11 [u] con 121 elementos de la forma a+bu con a,b Z 11. Exprese de esta forma: a) [4] (u+1)u = 8+u b) [4] (u+1) 2 = 9+2u c) [6] u 1 = 7u [10] Z 11 [u] es espacio vectorial sobre Z 11 de dimensión 2. Una base para Z 11 [u] es: 1,u 13

14 8. [10] Sean u1 = (1, 3,4), u2 = (6,2, 1), u3 = (2, 2,3) y u4 = ( 4, 8,9) entonces (Falso/Verdadero): Fa) u1, u2, u3, u4 son l. independientes. Fb) u1,u2,u3,u4 generan R 3 Vc) gen{u1,u2,u3,u4} = gen{u1,u2} Vd) dim(gen{u1,u2,u3,u4}) = [8] Los vectores (x,y,z) de R 3 que cumplen x+y z = 0 forman un espacio vectorial. Muestre una base de dicho espacio: (1, 1,0) y (0,1,1) 10. [6] Los vectores (1,1,0), (2,1,0) y(0,0,1) en (Z 3 ) 3 generan: a) Todo el espacio (Z 3 ) 3 b) El plano x+y = 0. c) La recta {t(1,2,1) t Z 3 }. d) Ninguna de las anteriores. 11. [8] Sean β 1 y β 2 base de un espacio vectorial V es correcto afirmar (Falso/Verdadero): Fa) β 1 β 2 es l. indepeniente en V. Vb) β 1 β 2 es generador de V. c) V β 1 β 2 es l. indepeniente de V. β 1 β 2 es generador de V. 12. Sea A = (2,2,0,1), B = (0,1,0, 1) en R 3. [8] Pertenecen al generado de A y B (Falso o verdadero) F a) (2,5,1,5) V b) (0,0,0,0) V c) (0,6,0, 6) V d) (2,3,0,0) [6] Se puede asegurar que el generado de A y B comprende exactamente los vectores (u 1,u 2,u 3,u 4 ) tales que: a) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 4 b) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 +2u 4 c) u 3 = 3u 1 2u 2 2u 4 d) u 3 = 0 y 3u 1 = 2u 2 e) Todas las anteriores 13. [10] Se sabe que los elementos de xyzu (Z 2 ) 4 que cumplan el sistema: x+y = 0 z +u = 0 forman un subespacio vectorial de (Z 2 ) 4. Muestre una base: 1100, [6] Considérese W los códigos de 6 bits que tienen un número par de 1 s. Como ellos obedecen a la ecuación en Z 2 : x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 0 podemos asegurar que W es un subespacio vectorial de (Z 2 ) 6. Los vectores (códigos) , , , , no forman una base de W porque: a) No generan W aunque sí son linealmente independientes b) Generan W pero no son linealmente independientes c) No generan W ni son linealmente independientes d) Sí forman una base de W 15. [8] Sea n > 2 y V es el espacio de las matrices cuadradas n n con las operaciones usuales. Los siguientes conjuntos de matrices A = (a ij ) forman subespacio de V cuando (Falso/Verdadero): Fa) det(a) = 0 Fb) Para todo i,j se tiene a ij 0. c) V Si i j se tiene a ij = 0. Vd) A = A t 14

15 IMPORTANTE: Espere la solución de este previo y envíe su PUNTAJE, se ganará una espectacular bonificación! Para completar el 5.0 resuelva plenamente U1 y U2. U1 Demuestre que en cualquier espacio vectorial si A,B,C es base, entonces A+2B,B,C también es base. Si w V por ser A,B,C base entonces A,B,C es generador y existen x 1,x 2,x 3 escalares tales que w = x 1 A+x 2 B +x 3 C entonces existen escalares y 1,y 2,y 3 tales que w = y 1 (A+2B)+y 2 B +x 3 C (haciendo y 1 = x 1, y 2 = x 2 2x 1 y y 3 = x 3 ). Por tanto A+2B,B,C es generador de V. Por otra parte, si α 1 (A +2B) +α 2 B +α 3 C = 0 entonces α 1 A +(α 2 +2α 1 )B +α 3 C = 0 por ser A,B,C linealmente independientes tenemos que α 1 = (α 2 + 2α 1 ) = α 3 = 0 de esto, fácilmente se llega a que α 1 = α 2 = α 3 = 0 y concluímos que A+2B,B,C son linealmente independientes. Como A+2B,B,C es generador de V y son linealmente independientes se llega a que A+2B,B,C es base. 15

16 ( ) ( ) ( ) U2 Sean M 1 =, M = y M =. Demuestre que M 1 0 1, M 2, M 3 son linealmente independientes en el espacio de matrices dos por dos con coeficientes reales. 16

17 Tema C. Nombre Código 17

18 Tema C. Nombre Código 18