Universidad Industrial de Santander Álgebra Lineal II Solución Examen diagnóstico. Marzo

Transcripción

1 Universidad Industrial de Santander Álgebra Lineal II Solución Examen diagnóstico. Marzo Tema D. Nombre Código Grupo PARTE I: Preguntas sin justificar. Instrucciones: Para obtener la nota máxima en esta parte del examen (,0) debe sumar 80 puntos de 1 posibles. Tenga en cuenta que cada respuesta incorrecta en las preguntas de selección múltiple resta 2 puntos y en las de falso o verdadero resta 1 punto. No se permite el uso de teléfonos celulares, calculadoras, o cualquier dispositivo electrónico; ni el préstamo de borradores, lápices, etc. durante el examen. Preguntas de selección múltiple. 1. [6] En cuál de las siguientes operaciones el resultado tiene la mayor parte imaginaria? a) e πi 2 ( 5e πi 2 ) b) (2+3i)+(5 i) c) (2+3i)(5 i) d) (1+i) 5 2. [6] En el plano complejo, el efecto geométrico de multiplicar por 2(1 i) es a) duplicar el módulo y girar π en sentido antihorario. b) multiplicar el módulo por 2 y girar π en el sentido de las manecillas del reloj. c) duplicar el módulo y girar π en el sentido de las manecillas del reloj. en sen- d) duplicar el módulo y girar 3π tido antihorario. 3. [6] En C la función f(z) = iz tiene el si-guiente efecto en el plano complejo: a) Un giro alrededor del origen de 90 grados. b) Una reflexión sobre la recta y = x. c) Una reflexión sobre el eje y = x. d) Ninguna de las anteriores.. [6] Un sistema homogéneo conmecuaciones lineales y n incógnitas, a) es compatible si y solo si n = m. b) tiene infinitas soluciones, si n > m. c) tiene solución única, si n = m. d) siempre es incompatible. e) es incompatible, si n < m. 5. [6] Si por el método de Gauss un sistema de 3 ecuaciones se puede reducir a la matriz: 1 b 1 c 0 3 a 0, podemos asegurar que a) El sistema no posee solución. b) El sistema posee infinitas soluciones que forman una recta. c) Todo depende de c y b. d) El sistema posee solución única. 6. [6] Los vectores (1,2,1), (1, 1,0) y (0,1,1) generan: a) Todo el espacio R 3 b) El plano x+y 3z = 0. c) La recta {t(1,0, 1) t R}. d) Ninguna de las anteriores. 1

2 7. Sea la matriz M = [10] Siendo Z una matriz de filas y una columna, A = (0,2, 2,0) y B = (a,b,c), podemos afirmar (Falso/Verdadero): Va) MA t = 0 Fb) Si MZ = 0 entonces Z = 0 c) F d) F Si MZ = 0 entonces Z = A t Si existe Z tal que MZ = B t entonces b = a+c Fe) Siempre existe Z tal que MZ = B t. 8. [6] Si A es una matriz y B la matriz: B = El producto BA se obtiene haciendo únicamente lo siguiente: 9. [6] Al convertir por el método de Gauss el sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas correspondiente a la matriz: , se llega a la matriz: a 1 3, 0 b 1 c donde: a = _ 5 c = _ 7. b = _0 10. [6] X = 5 6 (2, 1, 1) es un vector con norma 5 que es perpendicular a los vectores (1, 1, 1) y (0, 1,1). 11. [6] Si los planos x + 5y + z = 6 y kx y + z = 17 son perpendiculares, entonces k =. 12. [6] Sean A = y B = Si C es tal AC = B, entonces det(c) = a) a la fila 1 de A se le suma el doble de la fila. b) a la fila de A se le suma el doble de la fila 1. c) a la columna de A se le suma el doble de la columna 1. d) a la columna 1 de A se le suma el doble de la columna. e) Ninguna de las anteriores. 2

3 13. [25] Considere el triángulo formado por los vectores en negrilla de la siguiente figura ( ) [6] Sea A =. El efecto geométrico de la transformación represen- 1 0 tada por A (en las bases usuales) es: θ z a) Una reflexión sobre el eje x. b) Un giro alrededor del origen de 90 grados. c) Una reflexión sobre el eje y = x. d) Ninguna de las anteriores. x 3 a) El área del triángulo es 61_ b) El perímetro del triángulo es: c) cosθ = d) Sea Π el plano que contiene el triángulo. La ecuación cartesiana del plano Π es x+6y +3z = 2. e) La distancia del origen al plano Π es [12] Sean A, B, C matrices de orden n y α un número real se tiene (Falso/Verdadero): Fa) Si AB = AC, entonces B = C. b) F c) F d) V e) V f) V AB = BA. (AB) 1 = A 1 B 1 det(ab) = det(a)det(b). det(αa) = α n det(a). det(a 1 ) = 1/det(A). 2 y 16. [8] Sean A y B subconjuntos finitos de vectores de R n tales que A B (Falso/Verdadero): a) V b) F c) V d) F Si B tiene más de n vectores, entonces B es linealmente dependiente. Si B tiene exactamente n vectores, entonces B es una base para R n. Si A es un sistema de generadores para R n, entonces B también lo es. Si A es una base para R n, entonces B es una base para R n. 17. [8] Si los vectores A 1, A 2 y A 3 son linealmente independientes podemos afirmar que (Falso/Verdadero): Va) La dimensión del generado de A 1, A 2, A 3 es tres. b) F c) F d) F Existen escalares a, b, c no todos nulos tal que aa 1 +ba 2 +ca 3 = 0. A 1 A 2, A 2 A 3 y A 3 A 1 son linealmente independientes. A 1, A 2, A 3 formas una base del espacio. 18. [6] Las soluciones de la ecuación 2 x 3 5 x 11+x = 0, son x 1 = y x 2 =. 3

4 Nombre Código Grupo

5 PARTE II: Preguntas argumentadas Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. Para obtener la nota máxima en esta parte del examen (1,0), debe sumar 60 puntos de 10 posibles. 1. [20] Encuentre una expresión para un polinomio P(x) de grado tres, tal que P(0) = 0, P(1) = 6, P( 1) = 2 y P( 2) = [20] Tres especies de ardillas han sido llevadas a una isla con una población inicial total de Después de 10 años, la especie I ha duplicado su población y la especie II ha incrementado su población en un50%, la especie III se ha extinguido. Si el incremento en la población de la especie I es igual que el de la especie II y si la población total se ha incrementado en 500, determine la población inicial de las tres especies. 3. [10] Pruebe que A = B si y solo si los vectores A+B y A B son perpendiculares.. [20] Sean A, B y C vectores de R 3, tales que C = A B+B, B = 1 y A B = 3. Hallar (a) La norma del vector C. C = 2 (b) El ángulo θ entre el vector B y el vector C. θ = π 3 5. [0] El plano mediatríz del segmento AB, es el plano que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular a AB. Considere los puntos A = (2, 3, 0) y B = ( 2, 1, ). (a) Halle la ecuación del plano mediatriz Π del segmento AB. 2x + y + 2z = 2 (b) Determine la ecuación de la recta L perpendicular al plano Π que pasa por el origen. x = 2t, y = t, z = 2t ( 2 (c) Calcule el punto S simétrico de P = (2,0,1) respecto a la recta L. S = 3, 3, 5 ). 3 (d) Calcule la distancia del punto S al plano Π [10] Dada la matriz A = por , calcular las raíces del polinomio P(x) dado P(x) = det(a xi 3 ), donde I 3 es la matriz identidad de orden [10] Calcular el siguiente determinante donde a, b R. a 2 b 2 2ab (a b) 2 cos 2 a sin 2 a

6 Nombre Código Grupo 6

7 Nombre Código Grupo 7

8 Nombre Código Grupo 8