DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Examen de Análisis Matemático (Grado ENI) Temas 1 a 5

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1 DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA Examen de Análisis Matemático (Grado ENI) Temas a 5 NOMBRE: DNI: Advertencia: Póngase el nombre en esta hoja en la primera del cuadernillo en blanco CUESTIONARIO DE RESPUESTA MÚLTIPLE (8 %) Las respuestas deben justificarse Cada respuesta correcta vale 0,6 puntos; si es incorrecta puede restar 0, puntos a a+ a+ El rango de la matriz A a a+ 3 a+ a a+ 5 a+ 6 es: a) 3, si a b) 3, si a c), para cualquier valor de a x+ + z El sistema x+ + 6z tiene: 3x+ 5+ 7z a) Una solución única b) Infinitas soluciones c) Ninguna de las anteriores a+ b b 3 Para que la matriz A tenga a a+ b inversa es necesario que: a) a > b b) a b c) a b Los vectores u (, aa, ), v ( 0,0,) w ( 0,, a) son perpendiculares dos a dos: a) Solamente cuando a b) Cuando a o a c) Ninguna de las anteriores 5 Los vectores u ( aa,,0), v (, 0, ) w ( 0, b, a) forman una base de R 3 : a) Cuando a b cualquiera b) Cuando a 0 b cualquier valor c) Ninguna de las anteriores 6 Si B es una matriz cuadrada de tamaño 3 3 que verifica que B I, siendo I la matriz unidad, entonces: a) El determinante de B vale ±8 b) El determinante de B vale ± c) Ninguna de las anteriores 7 La derivada de f( x) toma valores x 3x positivos: a) Siempre, para todo x de su dominio b) Cuando x > 3 c) Ninguna de las anteriores x 8 La función definida como f ( x) e ( x ) a) Tiene un mínimo en x b) Es creciente si x > c) Ninguna de las anteriores PROBLEMAS (5 %) mx + 3z m Dado el sistema: x x + z a) Discútelo según los valores del parámetro m (, puntos) b) Resuélvelo para m (0,6 puntos) 0 3 Diagonaliza la matriz A (Puntuación: Determinación de D, 0,8 puntos; obtención de P, 0,8 puntos; cálculo de P, 0, puntos) 3 Halla el polinomio de Talor de grado 3 de la función f( x) ln ( x + x+ ), en el punto x (Puntuación: Derivadas bien hechas, 0,8 puntos Polinomio de Talor simplificado, 0, puntos) Alcalá de Henares, 0 de marzo de 05

2 SOLUCIONES a a+ a+ El rango de la matriz A a a+ 3 a+ es: a a+ 5 a+ 6 a) 3, si a b) 3, si a c), para cualquier valor de a a) El rango de la matriz dada no varía si se hacen las transformaciones de Gauss que se indican: a a+ a+ a a+ a+ A a a+ 3 a+ A F F 0 a a+ 5 a+ 6 F3 F0 Como la fila 3ª es doble que la ª, F3 F, el rango es siempre menor que 3 a Como el menor + a + a + ( a + ) 0, el rango siempre será x+ + z El sistema x+ + 6z tiene: 3x+ 5+ 7z a) Una solución única b) Infinitas soluciones c) Ninguna de las anteriores Se trata de un sistema homogéneo compatible indeterminado, pues, A 6, a que F3 F+ F (Puede observarse que la tercera ecuación es la suma de las otras dos) Por tanto tiene infinitas soluciones x+ + z x+ z Aunque no se pide, el sistema es equivalente a x+ + 6z x + 3z restando, E E, se obtiene: z; x z x t La solución puede escribirse como: t z t La respuesta es b) a+ b b 3 Para que la matriz A tenga inversa es necesario que: a a+ b b) a > b b) a b c) a b Para que exista la inversa de la matriz A es necesario que A 0 a+ b b A a a+ b a + b ab a + ab + b ab a ab + b a b Como ( ) ( ) dada tendrá inversa siempre que a b La matriz

3 Los vectores u (, aa, ), v ( 0,0,) w ( 0,, a) a) Solamente cuando a b) Cuando a o a c) Ninguna de las anteriores Si a, los vectores son: u (,0,0), v ( 0,0,) w ( 0,, 0) son perpendiculares dos a dos: En este caso: u v ; u w ; v w en todos los casos los vectores son ortogonales u,, v,0, w,, Si a, los vectores son: ( ), ( ) ( ) En este caso: u v No son ortogonales La respuesta es a) 5 Los vectores u ( aa,,0), v (, 0, ) w ( 0, b, a) forman una base de R 3 : a) Cuando a b cualquiera b) Cuando a 0 b cualquier valor c) Ninguna de las anteriores Para que formen base es necesario que sean linealmente independientes: Para ello el determinante asociado debe ser distinto de 0 a a 0 0 a ba a( b a) Su valor es 0 cuando a o cuando a b 0 b a Si a el determinante es 0 los vectores linealmente independientes No vale a) Si a 0 pero b a, el determinante también valdría 0 Luego b debería tomar cualquier valor menos el que tome a No vale b) 6 Si B es una matriz cuadrada de tamaño 3 3 que verifica que B I, siendo I la matriz unidad, entonces: a) El determinante de B vale ±8 b) El determinante de B vale ± c) Ninguna de las anteriores Por una de las propiedades de los determinantes se sabe que: A B A B En este caso, se tendrá que B B B B B Otra propiedad dice: Para una matriz cuadrada, A, de orden n se cumple: ka k A En particular, si I es la matriz unidad de orden 3, Por tanto, como B La respuesta es a) 3 3 I I I, se tendrá que La derivada de f( x) toma valores positivos: x 3x a) Siempre, para todo x de su dominio b) Cuando x > 3 c) Ninguna de las anteriores B I 6 B B ± 8 n

4 x 3 f ( x) x 3x ( ) ( ) Será positiva cuando los sea el numerador: 3 ( x 3) > 0 x+ 6> 0 6> x x< (Habría que quitar x, pues en ese punto la función no está definida) x 8 La función definida como f ( x) e ( x ) a) Tiene un mínimo en x b) Es creciente si x > c) Ninguna de las anteriores x x x Derivando: f ( x) e ( x ) + e e ( x ) La derivada se anula en x Si x <, f (x) < 0 f (x) es decreciente Si x >, f (x) > 0 f (x) es creciente Por tanto, en x se tiene un mínimo relativo La respuesta es b) PROBLEMAS mx + 3z m Dado el sistema: x x + z a) Discútelo según los valores del parámetro m (, puntos) b) Resuélvelo para m (0,6 puntos) Considerando las matrices A, de coeficientes del sistema, M ampliada con los términos independientes, el sistema será compatible cuando esas matrices tengan el mismo rango; cuando el rango de A es menor que el de M el sistema no tiene solución m 3 m m 3 Con esto: A 0 M El determinante de A, A 0 m si m A 0 el rango de A vale 3 En este caso, el sistema será compatible 3 0 si m A el rango de A vale, pues el menor 0 3/ 3 3/ En este caso, la matriz M queda: 0 M 3 3/ Como el menor M , se deduce que el rango de M es 3

5 En consecuencia, si m 3, el sistema es incompatible b) Para m, el sistema inicial, que es compatible determinado, es x x + z Puede resolverse mediante transformaciones de Gauss x x E E3 6z 5 x + z E3 E x z x z Despejando ordenadamente, se obtiene: z ; ; x Diagonaliza la matriz A (Puntuación: Determinación de D, 0,8 puntos; obtención de P, 0,8 puntos; cálculo de P, 0, puntos) La ecuación característica es: λ 0 3 A λ I 3 λ 3 ( λ) ( λ) ( λ ) 0 0 λ Los autovalores son: λ ; λ, doble x 0 x t Si λ, se tiene: 3x+ 3z h z 0 3x+ 3z z t Como ha dos autovectores asociados a λ la matriz es diagonalizable v ; v 0 0 Si λ, el autosistema es x z 0 3z 3x 3+ 3z x t t z v La matriz D 0 La matriz de paso 0 0 t 0 0 ( P ij ) Inversa: P P 0 0 P 0 0 Alternativa: 0 0 D 0 ; P 0 ; P 0 0

6 3 Halla el polinomio de Talor de grado 3 de la función f( x) ln ( x x ) + +, en el punto x Puntuación: Derivadas bien hechas, 0,8 puntos Polinomio de Talor simplificado, 0, puntos) : f( x) ln x + x+ f () ln Solución ( ) x + f ( x) f (0) x + x+ ( x + x+ ) ( x+ ) ( x+ ) x x+ f ( x) x + x+ x + x+ f ( x) f ( x) ( ) ( ) f (0) ( x ) ( x + x+ ) ( x x+ ) ( x + x+ )( x+ ) ( x + x+ ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( x + x+ ) ( x + x+ ) x x + x+ x x+ x+ x + 6x 6x Px ( ) + x+ x x x+ x x! 3! f (0)