Unidad 0: Sistemas de ecuaciones lineales

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1 RSOLUCIÓN D LOS JRCICIOS Y PROBLMAS BÁSICOS 1. Se considera el sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: + = = a) Añade una tercera ecuación con dos incógnitas de manera que el sistema resultante sea incompatible b) s posible añadir una tercera ecuación con dos incógnitas de modo que el sistema resultante sea compatible indeterminado? a) Basta añadir una ecuación que no verifique la solución del sistema Como la solución del sistema es: x=2 y=2, la ecuación podría ser x+2y=7 b) No es posible 2. Dado el sistema: ++ =, añade una ecuación con el fin de que el sistema resultan- + = te sea: a) Incompatible b) Compatible indeterminado c) Compatible determinado a) Por ejemplo, añadiendo la ecuación: 2 x + 2z = 0 b) Por ejemplo, añadiendo la ecuación: 2 x + 2y + 2z = 6 c) Por ejemplo, añadiendo la ecuación: x + y = 0 3. Responde a las siguientes cuestiones y, en los casos en que la respuesta sea afirmativa, pon un ejemplo. Se considera un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas: a) Puede ser compatible determinado? b) Y compatible indeterminado? c) incompatible? a) Nunca b) Sí. por ejemplo: ++ = 1 + = 2 c) Sí, por ejemplo: ++ = = 3 4. Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, puede ser incompatible? n caso afirmativo pon un ejemplo. Sí, por ejemplo: = = 1 sistema incompatible = 2 0 = 2 5. Aplica el método de Gauss para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a) + = = + = b) + = + + = + = c) = = d) + = + = + = + = ++ = + + = Matemáticas CCSS II Página 1 de 6

2 a) = 3 = =3 = 2. =5 l sistema es compatible determinado y la solución es: x=-2, y= b) = 1 + = l sistema compatible indeterminado, la solución será: x = -λ+1, y = λ-1, z = λ, λ R c) = = 1 2 = =3+2+3= =2 2 3 = = = = 1 l sistema es compatible determinado y la solución es (x, y, z)=(2, 1, -1) d) = = 3 = 5 +t = 0 2 = 16 = 6 + 2= = 9 = 5 3= = 21 = = 8 =8 l sistema es compatible determinado y la solución es x = -9, y = -21, z = -8, t =8 6. studia las soluciones del siguiente sistema según los valores de m: + = = + = Matemáticas CCSS II Página 2 de 6

3 +2 = 3 5 = 2 0 = Si m=, el sistema es compatible determinado, (x, y) =, Si m, el sistema es incompatible. 7. Discute y resuelve, si es posible, en función del parámetro a este sistema de ecuaciones lineales: + = +++ = +++ = + + = = + = Si a -2 y a 0 (x, y, z)= (0, 0, 0), sistema compatible determinado Si a=-2, sistema compatible indeterminado + = (x, y, z) =(λ, λ, 2λ), λ R = Si a=0, sistema compatible indeterminado + = = y=0, x=-z; (x, y, z)=(-λ, 0, λ), = λ R 8. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: + + = + = determina el valor de a + = para que tenga infinitas soluciones y resuélvelo para ese valor. = l sistema es = 2 y su matriz asociada es = l sistema equivalente al dado es 3 2+ = 2 7+ = 1 y tendrá infinitas soluciones si a-4=0 a=4. 4 = 0 Así, resulta el sistema: + = (x, y, z)=(λ, 1-7λ, 4-17λ), λ R + = 9. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, discútelo y resuélvelo para los valores de m que = lo hacen compatible: ++ = = Matemáticas CCSS II Página 3 de 6

4 + + = = = Si m-9=0 m=9 = = Sistema compatible indeterminado. = La solución será (x, y, z)=(1+5λ, 2-7λ, λ), λ R Si m-9 0 m 9 Sistema compatible determinado. Despejando de abajo arriba z=0, y=2, x =1 (x, y, z)=(1, 2, 0) ++ = 10.Dado el sistema de ecuaciones: ++ =. Discútelo en función del valor ++ = de a y resuélvelo si es posible. = ++ = = = Si a-1=0 a=1 ++ = Sistema incompatible. = Si a-1 0 a 1 Sistema compatible determinado para cada valor del parámetro. Despejando: z= ; = = = ; = = = La solución es (x, y, z)=,, PROBLMAS 1. La suma de tres números es 40. Se sabe que la suma de los dos mayores es igual a tres veces el menor, y que el mayor de los números es ocho unidades inferior a la suma de los dos menores. Halla dichos números. Se designa por x, y, z los números mayor, mediano y menor, respectivamente. ntonces planteamos: Matemáticas CCSS II Página 4 de 6

5 ++ = = + =, resolviendo este sistema tenemos: = = + = 2. Con el fin de conseguir dinero para un viaje de fin de curso, los alumnos han vendido camisetas, pantalones y bufandas de un equipo de fútbol a 30, 10 y 5 euros, respectivamente, siendo los precios a los que los adquirieron 10, 5 y 1 euro, respectivamente, la unidad. Sabiendo que se han gastado 1300 euros, que han obtenido unos ingresos brutos por las ventas de 3750 euros y que han vendido un total de 200, cuántas prendas se han vendido de cada clase?. Sean x, y, z el número de camisetas, pantalones y bufandas vendidas, respectivamente. l sistema que planteamos será: ++ = ++ =, resolviendo el sistema: ++ = Vendieron, pues, 50 pantalones, 50 bufandas y 100 camisetas. = = = 3. Azucena y Jacinto quieren comprar plantas para adornar su nueva casa y deciden adquirir tres tipos de plantas a un precio de 7, 10 y 13 euros, respectivamente. Si estiman que pueden colocar 15 macetas en su casa y disponen de un total de 150 euros para realizar la compra, qué opciones tienen? Si x = nº de plantas compradas a 7, y= plantas compradas a 10 y z= plantas a 13. De esta manera se tiene el sistema: ++ =, este sistema es compatible inde- ++ = terminado, la solución es (x, y, z)=(λ, 15-2λ, λ), donde λ es un número natural y, además, 15-2λ 0, λ 0, λ 7,5; es decir λ=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4. Un estudiante obtuvo un 6 en un examen de Matemáticas que constaba de tres preguntas. n la primera pregunta consiguió una calificación igual al doble de la calificación que obtuvo en la segunda pregunta, y en la tercera pregunta tuvo una calificación igual a la suma de las calificaciones anteriores. Averiguar la calificación que obtuvo en cada pregunta. Si x, y, z son las calificaciones en cada una de las preguntas del examen. Se tiene: ++ = = = = = + = Obtuvo un 2 en la primera pregunta, un 1 en la segunda y un 3 en la tercera. 5. Una gestoría tiene abiertas tres oficinas en la ciudad. l número total de clientes es 352, pero los clientes de la tercera oficina son sólo una cuarta parte de los clientes que hay en la primera. Además, la diferencia entre el número de clientes de la primera oficina y el número de clientes de la segunda es inferior en dos unidades al doble de los clientes de la tercera. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de clientes en cada oficina y resuélvelo. Si x, y, z son el número de clientes de la 1ª, 2ª y 3ª oficina. Se tiene: Matemáticas CCSS II Página 5 de 6

6 ++ = = ++ = = = = = = = l número de clientes de la primera oficina es 200, de la segunda 102 y de la tercera 50 clientes. Matemáticas CCSS II Página 6 de 6