EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ÁLGEBRA)

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1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS (ÁLGEBRA) 1.- Sea el sistema de inecuaciones x+ y 6 3x y 13 x + 3y 3 x 0 a) Dibuje el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtenga sus vértices. b) Halle los puntos del recinto en los que la función F( x, y) = x y toma los valores máximo y mínimo, y determine éstos..- Sean las matrices a) Calcule la matriz P que verifica A=, B=, C = t t B P A= C. ( C, indica transpuesta de C) b) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto AM C. t c) Determine la dimensión de la matriz N para que C N sea una matriz cuadrada. 3.- Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de λ : x+ λ y+ z = 0 λx+ y+ z = 0 x + y + λz = 0 A X = B 4.- Resuelve la ecuación matricial:, siendo: A= y B= Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 10, la mitad de la suma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros y para no fumadores al precio de 60 euros. Al no fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 0 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg, cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio?

2 7.- Estudiar, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + ay z = a ax y + az 3x y+ z = 0 Resolverlo, si es posible, utilizando la regla de Cramer para el valor a = Dados los vectores de e1=(1,1,), e=(,5,1), e3=(0,1,1) y e4=(-1,1,0), encontrar tres de ellos que formen una base de 3 3 y escribir el otro como combinación lineal de esa base. 9.- La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 108 unidades. Calcula dicho número Sea a) Calcula x 1 A = 1 y A b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que x + 1 A = Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3, cuyas columnas son respectivamente C 1, C y C 3 y cuyo determinante vale. Se considera la matriz A cuyas columnas son C, C 3 +C y 3C 1. Calcúlese razonadamente el determinante de A 1 en caso de que exista es matriz. x+ y+ z = λ x + y + λz x + λ y + z a) Discútase según los valores del parámetro λ b) Resuélvase para λ =-3 c) Resuélvase para λ =1 1.- Se considera el sistema 13.- Dada la matriz XB+ B = B B = 3 1 hállese una matriz X que verifique la ecuación 14.- Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3, cuyas columnas son respectivamente C 1, C y C 3 y cuyo determinante vale. Se considera la matriz A cuyas columnas son C, C 3 +C y 3C 1. Calcúlese razonadamente el determinante de 1 A en caso de que exista es matriz.

3 15.- Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y cada kg de B cuesta 4 euros, calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo. a 0 b c 16.- Hallar todas las matrices X = ; a, b, c que satisfacen la ecuación matricial X = X Dado el sistema (1 ax ) y+ 4z = 0 x (1 a) y + z = 0 x + ay z = 0 a) Estudiar la compatibilidad según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado Dadas las matrices: se pide: 19.- A 1 a) Hallar b) Hallar la matriz X, tal que: A X A A= y B= t = B t ( donde A significa la matriz transpuesta de A) x+ y 3x y = a) Dado el sistema, escribir una tercera ecuación de la forma ax+by=c (distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas resultante siga siendo compatible. x + y z, escribir un tercera ecuación de la forma x + y + z α x + βy+ γz (distinta de las dos anteriores) de manera que el sistema de tres b) Dado el sistema ecuaciones y tres incógnitas resultante sea compatible indeterminado.

4 0.- Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre 0,0 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 4 fotografías que le han ocupado un total de 9, megabytes de memoria. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que ha realizado. Estudia la compatibilidad del sistema. (b) Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calidad óptima? (c) La semana pasada también hizo 4 fotos y ocupó 9, megabytes de memoria en total. Es posible que el número de fotos de cada tipo fuera diferente al de esta semana? 1.- El jefe de seguridad de un museo estudia de seguridad de un museo estudia combinar nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de euros, y cada cámara cuesta 1000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros. (a) Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas? b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas cuántos ha de colocar de cada modalidad? En ese caso cuál será el coste total?.- Dadas las matrices A= 1x C = 01 D= 01 1 x a) Para qué valores de x la matriz A posee inversa? b) Calcula la inversa de A para el valor x = -1. c) Qué dimensiones debe tener una matriz B para que la ecuación matricial AB = CD tenga sentido? Calcula B para el valor x = Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones: La edad del padre es α veces la de su hijo. El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 18 años. El doble de la edad del niño más la del abuelo es 100. a) Establece las edades de los tres suponiendo queα =. b) Para α = 3, qué ocurre con el problema planteado? c) Siguiendo con α = 3, qué ocurre si en la segunda condición la suma es 00 en vez de 18?

5 4.- Resuelve la ecuación matricial X. A + A t = X. B, siendo A t la matriz transpuesta de A. Halla la matriz X sabiendo que 1 A = y 3 1 B = Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos. 6.- Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos A y B. El modelo A requiere, para su elaboración, 0 cm de papel, 10 cm de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo B requiere: 60 cm de papel, 80 cm de lámina de madera y 1 enganche metálico. El coste de producción de cada modelo es 1,0 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada uno, independientemente del modelo.. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm de papel, 700 cm de lámina de madera y 70 enganches. 1) Representa la región factible. ) Determina el número de abanicos de cada modelo que ha de hacer para obtener un beneficio máximo. 3) Calcula cuál es ese beneficio. 7.- a) Determina la matriz X para que tenga solución la ecuación C(A+X)B = I donde A, B y C son matrices con inversa de orden n e I es la matriz identidad de orden n. 3 A = 1 4, 1 B = 0 1, 1 1 C = 1 b) Aplica el resultado anterior para Se considera el sistema de ecuaciones: a) Discútelo para los distintos valores de m. b) Resuélvelo para m. ( m + ) x + ( m 1) y z mx y + z x + my z = = = Un camión de 9 Tm debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a 4 Tm ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transporte gana 0.03 euros por cada Kg de A y 0.0 euros por cada kg de B, cómo debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia? A cuánto ascendería esa ganancia? 30.- Hallar la matriz X que cumple AXA = BA, siendo: 1 10 A=, B= 3 3

6 31.- Para cada a se considera la matriz A(a) dada por 1 a 1 A( a) = 0 1 a t A ( a) A ( a) Encontrar el rango de la matriz en función del valor de a. t A ( a ) A ( a) Se recuerda que es la matriz multiplicada por sí misma y es la matriz traspuesta. 3.- Dado el sistema x+ y+ z = S = x+ y = 0 3x + y+ az = a Demostrar que es compatible para todos los valores de a. Resolver en los casos en que sea compatible indeterminado Una matriz cualquiera, siempre se puede multiplicar por su transpuesta? 34.- Todo sistema con más ecuaciones que incógnitas es incompatible, verdadero o falso? 35.- Calcula el determinante de las siguientes matrices: A= B= A= 31 y B= Se consideran las matrices. a) Calcular AB y BA. x y = 5 z 0 b) Discutir si existe solución del sistema AB. En caso afirmativo resolverlo utilizando el método de Gauss.

7 37.- Se considera la función f ( x, y) = x y a) Representar el conjunto A {( x, y) / 3x y 15, y x 5, x 3y 60, y 0} = + + y calcular el valor máximo de f(x, y) en A. Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A se podrían eliminar de forma que siguiera siendo el mismo conjunto? b) Decir si la función f(x, y) alcanza valor máximo en el conjunto {(, ) / 3 15, 5, 0} B= x y x+ y x y x. En caso afirmativo calcular dicho valor Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores Sea el sistema x+ 3y+ z = 5 ax + z = 0 ay + z = a Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es compatible indeterminado Tres familias van a una pizzería. La primera familia pide 1 pizza grande, medianas y 4 pequeñas, la segunda familia pide 1 grande y 1 pequeña, y la tercera familia, 1 mediana y dos pequeñas. a) Sea A una matriz 3x3 que expresa el número de pizzas grandes, medianas y 1 pequeñas que pide cada familia. Calcular A. b) Si la primera, la segunda y la tercera familia se han gastado en pizzas 51.50, y 1 euros respectivamente, calcular el precio de una pizza grande, el de una pizza mediana, y el de una pizza pequeña En la preparación de dos paquetes de café, C 1 y C, se usa café brasileño y café colombiano. Cada paquete del tipo C 1 contiene 300 g. de café brasileño y 00 g. De café colombiano, y cada paquete del tipo C contiene 100 g. de café brasileño y 400 g. de café colombiano. Con cada paquete del tipo C 1 se obtiene un beneficio de 0.90 euros y con cada paquete del tipo C se obtiene un beneficio de 1.0 euros. Se dispone de 900 Kg. de café brasileño y 1600 Kg. de café colombiano. a) Cuántos paquetes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio máximo? b) Cuál es este beneficio máximo?

8 4.- Diga para qué valores de k el siguiente sistema es compatible determinado. Cómo es el sistema para k =? (1 kx ) + (k + 1) y+ (k + ) z= k kx + ky = k + x + ( k + 1) y+ ( k 1) z = 9 k + k A = A 43.- Determinar todas las matrices a tales que. (De estas matrices determina las que tienen la suma de todos sus elementos igual a cero Juan, Pedro y Luis corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los tres, fue de 45 kilómetros, cuántos kilómetros recorrió cada uno? 45.- Una tienda de café recibe 700 kilos de café natural y 800 kilos de café torrefacto. Envasa paquetes de un kilo con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kilo de café natural y medio kilo de café torrefacto, y el tipo B con un cuarto kilo de natural, y tres cuartos kilos de torrefacto. La ganancia por cada kilo de mezcla del tipo A es de un euro, y por cada kilo del tipo B es de dos euros. Determinar los paquetes de cada tipo de mezcla que deben prepararse para obtener la ganancia máxima Discutir y resolver según los valores del parámetro m: x y+ z = m x + y = 0 mx y + z 47.- a) Determinar para que valor de m tiene inversa la matriz: 1 m 0 m b) Calcular la matriz inversa para ese valor de m Sea S la región del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen que: (i) La media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5. (ii) El doble de la abscisa más la ordenada es mayor o igual que 5. a) Represente gráficamente el conjunto S. b) Determina en qué puntos de S la función f( x, y) = x+ y toma el valor máximo.

9 49.- El cuadrilátero ABCD es la región solución de un sistema de inecuaciones lineales. Los lados del cuadrilátero también forman parte de la región solución. a) Halle el valor máximo y el mínimo de la función f( x, y) = x+ 3y en dicha región. b) En qué puntos de la región solución toma la función del apartado anterior el valor máximo y en qué puntos el valor mínimo? 50.- Juana y Mercedes tenían 0000 cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la misma forma en tres partes P, Q y R y las ingresan en una entidad financiera. Al cabo de un año, a Juana le han dado un 4% de interés por la parte P, un 5% por la parte Q y un 4% por la parte R y a Mercedes le han dado un 5% por la parte P, un 6% por la parte Q y un 4% por la parte R. Juana ha recibido en total 850 de intereses, mientras que Mercedes ha recibido 950. De qué cantidad de euros constaba cada una de les partes P, Q y R? 51.- Consideramos los puntos del espacio A(1,1,0), B(0,1,) y C( 1,,1). Nos dicen que estos tres puntos forman parte del conjunto de soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Se pide: a) Están alineados estos puntos? b) Podemos averiguar el rango de la matriz asociada al sistema de ecuaciones? Razona adecuadamente las respuestas. 5.- Tres hermanos tienen edades diferentes, pero sabemos que la suma de las edades de los 3 hermanos es de 37 años, y la suma de la edad del mayor más el doble de la edad del mediano más el triple de la edad del menor es de 69 años. a) Expresa las edades de los tres hermanos en función de la edad del hermano menor. b) Es posible que el hermano menor tenga 5 años? y 1 años? Razona la respuesta. c) Calcula las edades de los tres hermanos.

10 53.- Dado el sistema y+ z = x + y + z = 1 ( mx ) + (m ) z= m 1 donde m es un parámetro, se pide : a) Discutir el sistema según los valores de m. b)re solver los casos compatibles. c) En cada uno de los casos de la discusión del apartado a), hacer una interpretación geométrica del sistema Tres trabajadores A, B y C, para terminar un determinado mes, presentan a su empresa la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de mantenimiento y Km. de desplazamiento fijadas por cada uno de ellos. HORAS DE TRABAJO DIETAS KILÓMETROS A B C Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x euros por hora trabajada, y euros por cada dieta y z euros por Km. de desplazamiento y que paga ese mes un total de 94 euros al trabajador A, 1390 euros al B y 646 euros al C, calcular x, y, z Un concesionario de coches comercializa dos modelos de automóviles uno de gama alta, con el que gana 1000 euros por unidad vendida y otro de gama baja con beneficios por unidad vendida de 600 euros. Por razones de mercado, la venta anual de estos modelos está sujeta a las siguientes restricciones: El número de modelos de gama alta vendidos no será menor de 50 ni mayor de 150 coches. El número de modelos de gama baja vendidos tendrá que ser mayor o igual que el número de modelos de gama alta vendidos. El concesionario puede vender hasta un máximo de 500 automóviles de los dos modelos al año. a) Formula las restricciones y representa gráficamente la región factible. b) Cuántos automóviles de cada modelo debe vender anualmente con el fin de maximizar los beneficios? 56.- Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del tercero le restamos seis resulta la suma del segundo y el tercero, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho Demuestra que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

11 A B = y que 3A + B = a) Cuáles son las dimensiones de A y B? b) Calcula las matrices A y B Sabiendo que 59.- Una fábrica de helados elabora tres tipos de helados, H1, H y H3, a partir de tres ingredientes A, B y C. Se desea saber el precio unitario de cada ingrediente sabiendo que el helado H1 se elabora con unidades de A, 1 unidad de B y 1 unidad de C y supone un coste de 0.9 euros. El helado H se elabora con 1 unidad de A, unidades de B y 1 unidad de C y supone un coste de 0.8 euros. El helado H3 se compone de 1 unidad de A, 1 unidad de B y unidades de C y supone un coste de 0.7 euros Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a y resuélvelo en los casos en que sea compatible: x+ y+ z = 0 x + ay + 3z x + y + ( a) z = a 61.- Halla la inversa de la matriz 1 1 A = Dadas las matrices A=, B= y C = Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB = C Juan decide invertir una cantidad de 1000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4 %, las de B un 5% y las de C han perdido un % de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 43.5 euros. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.

12 65.- Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 7 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 1 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son 540 euros por vagón de coches y 360 euros por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio Dado el sistema de ecuaciones lineales x y+ z = λ λx+ y z = 3λ x+ λ y z = 6, con λ parámetro real, se pide: a) Determinar razonadamente para qué valores de λ es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible determinado. b) Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado Determinar el valor real de x para el que se cumple la siguiente propiedad: El determinante de la matriz B es 160, siendo x 3 1 B = x+ 1 4 x x Una tienda de ropa deportiva tiene en su almacén 00 balones y 300 camisetas. Para su venta se hacen dos lotes (Ay B). El lote A contiene 1 balón y 3 camisetas y el lote B está formado por balones y camisetas. La ganancia obtenida con la venta de un lote tipo A es de 1 euros y de 9 euros con cada lote tipo B. Sabiendo que el número máximo de lotes del tipo A es de 80, determinar: a) El número de lotes de cada tipo que deben prepararse para obtener una ganancia máxima. b) La ganancia máxima. Justificar las respuestas 69.- Determinar la matriz X que verifica la ecuación BX-A = X siendo: Justificar la respuesta A= y B = Determinar todas las matrices X tales que AX=XA, donde: 11 A = Hallar una matriz con 3 filas y 3 columnas que tengan 3 elementos nulos y tal que ninguno de sus menores de orden sea nulo.

13 7.- Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada: por las existencias, que son 0 coches del modelo A y 10 del B y por el deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de euros. 1. Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?. Cuál es el importe de la venta? 73.- Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 1915 euros. La última versión del videojuego ha salido a la venta por un importe de 36 euros. Además de la última versión ha vendido, con un descuento del 30% y del 40%, otras dos versiones anteriores del videojuego. El número total de ejemplares vendidos de las dos versiones anteriores ha sido la mitad del de la última versión. Cuántos ejemplares vendió de cada versión? 74.- Considera la siguiente matriz: a 0 a A= 0 a 0 a 0 a a) Calcula A b) Calcula A 1 c) Calcula razonadamente d) Calcula razonadamente, donde a es distinto de cero. 0 A 19 Det( A ) 75.- a) El siguiente sistema es compatible determinado. Calcula su solución. b) Considera ahora el sistema: x+ y+ z 4y+ 3z = x + y x + 3y+ z x+ y+ z 4y+ az = x + y x + ay + z Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea incompatible? En caso afirmativo, indica cuáles. Justifica tu respuesta. Es posible encontrar valores para a tales que el sistema sea compatible indeterminado? En caso afirmativo, indica cuáles. Justifica tu respuesta.