2-2 1., y la matriz S -1, que es la matriz inversa de la matriz S. Indicar la

Transcripción

1 . [04] [EXT-A] Obtener razonadamente: a) El valor del determinante de la matriz S = - - 5, y la matriz S -, que es la matriz inversa de la matriz S. Indicar la relación entre que el determinante de una matriz S sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa S -. b) El determinante de la matriz 4T -, sabiendo que T es una matriz cuadrada de filas y que 0 es el valor del determinante de dicha matriz T. a a - - a a+ - c) La solución a de la ecuación a+ a +4 = a - 4a. - 4a - a +4 (- )x+y+ z= 4. [04] [EXT-B] Se tiene el sistema de ecuaciones lineales x+ y- z= -4, donde es un parámetro real. Obtener x+4y-( +)z = - razonadamente: a) Los valores del parámetro para los que el sistema es incompatible. b) Los valores del parámetro para los que el sistema es compatible y determimado. c) Todas las soluciones del sistema cuando =. x+y+z = -. [04] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones x+4y+5z = k-, donde k es un parámetro real x+k y+z = k a) Discutir razonadamente el sistema según los valores de k. b) Obtener todas las soluciones del sistema cuando k = -. c) Resolver el sistema cuando k = [04] [JUN-B] Se dan las matrices A = , B = a) La matriz inversa A - de la matriz A. b) La matriz X que es solución de la ecuación AX = BC. - - y C = -. Obtener razonadamente: c) El determinante de la matriz M, siendo M una matriz cuadrada de orden cuyo determinante vale. 5. [0] [EXT-A] Comprobar razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado que: a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo, es decir que AB = BA, entonces se deduce que A B = (AB). 0 0 b) Que la matriz A = satisface la relación A -A+I = O, siendo I y O, respectivamente, las matrices de orden x unidad y nula, y que una matriz A tal que A -A+I = O tiene matriz inversa. c) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores de y tales que A = A+ I, sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A -A+I = O. x+ y+z= 6. [0] [EXT-B] Se da el sistema de ecuaciones x+ y+z=, donde es un número real. Obtener razonadamente, escribiendo x+5y+z= todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Todas las soluciones del sistema cuando = 7. b) Los valores de para los que el sistema es compatible indeterminado. c) Los valores de para los cuales el sistema es compatible determinado. 4 de marzo de 05 Página de 8

2 x+5y = a 7. [0] [JUN-A] Se tiene el sistema de ecuaciones -x-4y = b, donde a, b y c son tres números reales. Obtener razonadamente, x+y = c escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La relación que deben verificar los números a, b y c para que el sistema sea compatible. b) La solución del sistema cuando a = -, b = y c =. c) La solución del sistema cuando los números a, b y c verifican la relación a = c = -b. 8. [0] [JUN-B] Dadas las matrices A = y B = siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) A+B y (A+B)-. b) (A+B) - A y A - (A+B). c) ABA - y A B , obtener razonadamente el valor de los determinantes x- y-z=0 9. [0] [EXT-A] Sea el sistema de ecuaciones S: x + 0y - z = 0, donde es un parámetro real. x+4y+ z=0 Obtener razonadamente: a) La solución del sistema S cuando a = 0. b) El valor de a para el que el sistema S tiene infinitas soluciones. c) Todas las soluciones del sistema S cuando se da a a el valor obtenido en el apartado b). 0. [0] [EXT-B] Se dan las matrices A = -, U = 0 y B, donde B es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene 0 ningún elemento nulo y que verifica la relación B = -7B +U. Obtener razonadamente: a) Los números reales a y b tales que A = aa+bu. b) Los números reales p y q tales que B - = pb+qu, justificando que la matriz B tiene inversa. c) Obtener los valores x e y para los que se verifica que B = xb+yu. x + z=5. [0] [JUN-A] Se da el sistema de ecuaciones S: x+(- )y + z =, donde a es un parámetro real. Obtener razonadamente: x+ y+ z= a) La solución del sistema S cuando = 0. b) Todas las soluciones del sistema S cuando = -. c) El valor de para el que el sistema S es incompatible.. [0] [JUN-B] Obtener razonadamente: x a) Todas las soluciones y z de la ecuación 0 - x y z = b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación B = B. 000 c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación: A = 0 0 sabiendo además que el determinante de A es positivo , 4 de marzo de 05 Página de 8

3 . [0] [EXT-A] Se dan las matrices A = 0-, I = 0 y M, donde M es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica 0 M = M. Obtener razonadamente: a) Todos los valores reales k para los que la matriz B = A-kI tiene inversa. b) La matriz inversa B - cuando k =. c) Las constantes y para las que se verifica que A + A = -I. d) Comprobar razonadamente que la matriz P = I-M cumple las relaciones P = P y MP = PM [0] [EXT-B] Se dan las matrices M = y T, y se sabe que T es una matriz cuadrada de filas y columnas cuyo - determinante vale. Calcular razonadamente el determinate de las siguientes matrices, indicando explícitamente las propiedades utilizadas en su cálculo: a) T. b) M 4. c) TM T -. x+ y+ z= m 5. [0] [JUN-A] Sea un sistema de ecuaciones S: x + z = m+ x + y + (m-)z = m- razonadamente: a) Todas las soluciones del sistema S cuando m =. b) Todos los valores de m para los que el sistema S tiene una solución única., donde m es un parámetro real. Obtener c) El valor de m apra el que el sistema S admite la solución (x,y,z) =,, [0] [JUN-B] Se da la matriz A = 0 m 0, donde m es un parámetro real. m - a) Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz A en función de los valores de m. b) Explicar por qué es invertible la matriz A cuando m =. c) Obtener razonadamente la matriz inversa A - de A, para m =, indicando los distintos pasos para la obtención de A -. Compriobar que los productos AA - y A - A dan la matriz unidad. 7. [00] [EXT-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales x+ y+z = x+ y+z = x+ y+z =, donde es un parámetro real a) Deducir, razonadamente, para qué valores de es compatible determinado. b) Deducir, razonadamente, para qué valores de es compatible indeterminado. c) Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado. 8. [00] [EXT-B] Dadas las matrices A(x) = x+4 x+6 x+8 y B(x) = y+ 4 y+6 y+ 8 a) Obtener razonadamente el valor de x para que el determinante de la matriz A(x) sea 6. b) Calcular razonadamente el determinante de la matriz A(x). c) Demostrar que la matriz B( y) no tiene matriz inversa para ningún valor real de y. 9. [00] [JUN-A] Dadas las matrices cuadradas I = y A = de marzo de 05 Página de 8

4 a) Calcular las matrices (A-I) y A(A-I). b) Justificar razonadamente que b.) Existen las matrices inversas de las matrices A y A-I. b.) No existe matriz inversa de la matriz A-I. c) Determinar el valor del parámetro real para el que se verifica A - = (A-I). 0. [00] [JUN-B] Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros a, b y c ax+by+z = c x-by-cz = a 5ax-y+cz = -4b a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a = 0, b = - y c = el sistema es incompatible. b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros a, b y c, para los que se verifica que (x, y, z) = (,,) es solución del sistema. c) Justificar si la solución (x, y, z) = (,,) del sistema del apartado b) es, o no, única. -. [009] [EXT] Dada la matriz A( ) = 4-6 a) Calcular, en función de, el determinante de la matriz A( ), escribiendo los cálculos necesarios. b) Determinar, razonadamente, los números reales para los que el determinante de la matriz inversa de A( ) es igual a /66. x+y+z = 0. [009] [EXT] Dado el sistema de ecuaciones lineales x+y+4z = 0 se pide: 5x+7y+ z = 0 a) Deducir, razonadamente, para qué valores de el sistema sólo admite la solución (x,y,z) = (0,0,0). b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de que lo hace indeterminado.. [009] [JUN] Dadas las matrices cuadradas A = 60 0, B = e I = a) Justificar que la matriz A tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa A -, incluyendo todos los pasos que llevan a la obtención de A -. b) Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz A -, incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados. c) Obtener razonadamente los valores reales x, y, z que verifican la ecuación xi+ya+za = B. 4. [009] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones lineales ( +)x-4y-z = 4 x-y-( +)z = x+( -)y-z = 4 se pide, razonando las respuestas: a) Justificar que para el valor = 0 el sistema es incompatible. b) Determinar los valores del parámetro para los que el sistema es compatible y determinado. c) Resolver el sistema para el valor del parámetro para el cual es compatible indeterminado. 5. [008] [EXT] Dada la matriz A = - 4 y el vector X = x y a) El vector X tal que AX = 0X. b) Todos los vectores X tales que AX = X. c) Todos los vectores X tales que AX = X., se pide obtener razonadamente: 6. [008] [EXT] Dado el sitema de ecuaciones lineales x+y+z = + x-y+z = + x+ y+z = 4 a) Probar que es compatible para todo valor de. b) Obtener razonadamente el valor de para el que el sistema es indeterminado. 4 de marzo de 05 Página 4 de 8

5 c) Resolver el sistema cuando = 0, escribiendo los cálculos necesarios para ello. x+y+z = 7. [008] [JUN] Dado el sistema dependiente del parámetro real x+ y+z = x+y+ z = a) Determinar, razonadamente, los valores de para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado. c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando = [008] [JUN] Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: I = 0 0 explícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A y A. b) Los números reales y para los que se verifica (I+A) = I+ A. 7 9, A =. Se pide calcular, escribiendo [007] [EXT] Dado el sistema de ecuaciones lineales 6x+y+z = 5 x+4y+6z = x+y+z = se pide: a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real, el sistema tiene solución única. b) Hallar la solución del sistema en función del parámetro. c) Determinar el valor de para el que la solución x,y,z del sistema satisface x+y+z =. 0. [007] [EXT] Dadas las matrices A = y X = x y a) Obtener razonadamente todos los valores de para los que 0 0 es la única solución de la ecuación AX = X. b) Resolver la ecuación matricial AX = X.. [007] [JUN] Dadas las matrices B(x) = x+ 4 6 x+ 6 4x+4 6 y C(y) = y+57 y+ 6 y+4 6 a) Calcular el determinante de la matriz B(x) y obtener el valor de x para el que dicho determinante vale 6. b) Demostrar que la matriz C(y) no tiene inversa para ningún valor real de y. :. [007] [JUN] Dado el sistema de ecuaciones lineales x+ y+z = 9 x+5y+z = 9 x+y+z = 9 se pide: a) Probar que es siempre compatible, obteniendo los valores de para los que es indeterminado. b) Resolver el sistema anterior para = 7. ( +)x-y+z = 0. [006] [EXT-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales con un parámetro real e icógnitas x, y, z x+( +6)y-z = 0 5x+5y+( -)z = 0 a) Calcular para qué valores de el sistema sólo admite la solución (x,y,z) = (0,0,0). b) Para cada valor de que hace indeterminado el sistema, obtener todas sus soluciones. c) Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando = -. se pide: 4. [006] [EXT-B] A es una matriz x tal que A = y A = a) Calcular el determinante de la matriz A y la matriz inversa de A Se pide: 4 de marzo de 05 Página 5 de 8

6 b) Calcular la matriz fila X = x y z que es solución de la ecuación matricial XA = BA, donde B es la matriz fila B =. c) Calcular la matriz inversa de A. x+y-z = 5. [006] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z: x+6y-z = x-y+7z = a) Determinar razonadamente el valor de para el cual el sistema es compatible. b) Para ese valor obtenido en a) de, calcular el conjunto de soluciones del sistema. c) Explicar la posición relativca de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en función de los valores de. 6. [006] [JUN-B] Dadas las matrices A = y T = a) Probar que la matriz T tiene matriz inversa, y calcular dicha matriz inversa T -. b) Dada la ecuación con matriz incógnita B, A = T - BT, calcular el determinante de B. c) Obtener los elementos de la matriz B considerada en el apartado b). 7. [005] [EXT-A] Dadas las matrices A = X = x y z, B = 7 -, C = , D = 0 y E = que satisface la ecuación AB t +C X = A t D E, donde M t significa la matriz traspuesta de la matriz M. 5, calcular razonadamente la matriz 8. [005] [EXT-B] En el mercado podemos encontrar tres alimentos preparados para gatos que se fabrican poniendo, por kilo, las siguientes cantidades de carne, pescado y verdura: > Alimento Migato: 600 g de carne, 00 g de pescado y 00 g de verdura. > Alimento Catomeal: 00 g de carne, 400 g de pescado y 00 g de verdura. > Alimento Comecat: 00 g de carne, 600 g de pescado y 00 g de verdura. Si queremos ofrecer a nuestro gato 470 g de carne, 70 g de pescado y 60 g de verdura por kilo de alimento, qué porcentaje de cada uno de los compuestos anteriores hemos de mezclar para obtener la proporción deseada? 9. [005] [JUN-A] Calcular los valores x, x, x, x 4, y, y, y, y 4 que satisfacen las siguientes ecuaciones: AX-AY = B AX-AY = C, donde X = x x x x 4, Y = y y y y 4, A = -5 -, B = , C = 0 8. x+ y+ z = 40. [005] [JUN-B] El sistema de ecuaciones lineales x+ y+ z = depende del parámetro real. Discutir para qué valores de x+ y+ z = es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado y resolverlo en los casos compatibles. 4. [004] [EXT-A] Obtener todos los valores reales x, y, z, t para los que se verifica AX = XA, siendo X = xy z t y A = [004] [EXT-B] Dadas las matrices reales: A = , I a) Justificar que existe la matriz A -, inversa de A, y calcular el determinante de A -. b) Calcular la matriz B = A(A+4I). c) Determinar los números reales x, y, z, t que cumplen: A - = xa-yi, A = za+ti. 4 de marzo de 05 Página 6 de 8

7 x-y+z = 4. [004] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales x+y-z =, con parámetro real x+ y-z = 6 a) Determinar razonadamente para que valores de es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. b) Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible determinado. c) Hallar el conjunto de las soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado. 44. [004] [JUN-B] Determinar el valor real de x para que se cumpla la siguiente propiedad: x El determinante de la matriz B es 60, siendo B = x+ 4. x -x 45. [00] [EXT-A] Considerar las matrices A = 0m 0-5 -(m+) y B = a) Para qué valores reales de m es A invertible? Calcular la matriz A -. b) En la anterior matriz con m = 0, obtener la matriz real cuadrada de orden que satisface la igualdad B-AX = AB [00] [EXT-B] Se consideran las matrices cuadradas reales de orden, P = y Q = 0 0. Calcular: a) La matriz P -. b) La matriz real cuadrada X de orden, tal que P - XP = Q. c) La matriz PQP [00] [JUN-A] Dado el sistema de ecuaciones lineales x+z = 0 y-z = x+y+z = 5, dependiente del parámetro a) Determinar para qué valores de el sistema es: compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible. b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado y compatible indeterminado. 48. [00] [JUN-B] a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden, X e Y, que satisfacen las ecuaciones siguientes:, donde B = 0 0 y C = b) Si X e Y son las matrices anteriores, calcular la matriz (X+Y)X-(X+Y)(Y). X+Y = B X-Y = C Soluciones. a) 0, b) k- c). a) 4 b) {,4} c), k,k. a) k=: inc; k=-: c.i.; k {-,}: c.d. b) (-7k,k,k-) c) (6,-,-) 4. a) c) 5. b) A - = - (A-I) c) 7, a) -k 8,-k 8,k b) {,7} c) {,7} 7. a) 7a+8b-c=0 b) (,-) c) (-b,0) 8. a) 4, 9 b), 6 c) -, a) 6 (0,0,0) b) 5 c) (-4k,k,-k) 0. a), - b), 7 c) 50, -7. a) 5,- 4,- 4 b) (4+k,k--4k) c). a) -k -k k b) c) 8. a) k {0,} b) b) c), k a) b) 96 c) 6 5. a) 8,k-.k b) m c) 6. a) m = 0: ; m 0: 7. a) {-,0,} b) {-,0,} c) =0: (k,m,); =-: (k,m,+k+m); =: (k,m,-k-m) a) b) 6x-48 c) 0 9. a) ; 0-0 b) si, si, no c) - 0. b), -, c) si. a) +0 b) 6. a) 9 b) (k,-k,k). a) A - = b) c),, 4. b) {-,0} c) = -: (k+m+,k,m) 5. a) 0 b) k -k : comp. ind; {-,}: comp. det. b) +,, +, c) +,, 8. a) c) k -k , 6. = 0: comp. ind; k,5-k,k ; 0: comp. det. 7. a) = -: incomp; = 5- b) -, 9. b) 5, - 5,4- a c) = 0. a) {,5} b) 0 -a 4 de marzo de 05 Página 7 de 8

8 a. a) 6x ; x = b) C = 0. a) {,7}: c.i. ; {,7}: c.d. b) (k,k,9-8k), k. a) {-,0} b) = -: (a,b,a+b) ; = 0: a,-a,-5a c) coincidentes a) - ; b) 5 6 c) 5. a) = : c.i. ; : inc. b) -k, 5k,k, k c) = : se cortan en una recta; : se cortan dos a dos 6. a) m-k k k m m -4m+ 48. a) 5 b) c) , k,m 4. a) - 8 m +m+ -m m-4-5 5m -m - - ; ,, 6 9. X= ; Y= = 0: inc; = : c.i. (-k-m,k,m); {0,}: c.d. 0, +, - b) -4I c) - 4 +,, -4, a) = -: inc; = : c.i.; {-,}: c.d b) 4 +, -, - c) (k,-4k,5-5k) a) + b) b) a) - - b) c) a) = -, inc; = 0. c.i; {-,0} c.d. b) = 0: (5-k,k,0); : , + +, + 4 de marzo de 05 Página 8 de 8