( b) No se puede ya que la matriz tiene 2 columnas y el vector tiene 3 filas x x + 2y 3z.

Transcripción

1 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales EJERCICIO : Escribir las siguientes matrices: a A (a ij 4, a ij i j. b B (b ij 4, b ij ( i+j. { si i j, c C (b ij 4, c ij si i < j. A, B C. EJERCICIO : Realizar (si se puede las siguientes operaciones: a, b, c x y z. a b No se puede ya que la matriz tiene columnas y el vector tiene filas. x x + y z c y x y + z z y + z EJERCICIO : Calcular AB y BA en los dos casos siguientes: ( a A, B, b A a AB BA ( ( ( ( ( 7 4 ( ( ( ( b AB + + ( ( ( ( + BA 4 + (, B Dpto. EDAN Licenciatura en Biología

2 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales EJERCICIO 4: El director de una residencia de ancianos espera cuatro ancianos para pasar las vacaciones. Estos necesitan tres tipos de medicamentos distintos. La matriz A (a ij representa las necesidades diarias de dichos medicamentos (por ejemplo, en mg., siendo i,, cada tipo y j,,, 4 los ancianos. El vector x (x j, j,,, 4 representa el número de días que cada anciano va a permanecer en el asilo. a Obtener las cantidades totales necesarias de cada producto si A 4 5, x b Si el coste (en euros de los medicamentos viene dado por el vector (,, 4, calcular el coste total de los tratamientos. a Las columnas de la matriz A representan las cantidades de cada medicamento que necesita diariamente cada anciano: el anciano necesita diariamente mg. del medicamento, mg. del medicamento y mg. del medicamento, etc. El producto de la matriz A por el vector x dará como resultado un vector-columna de longitud conteniendo las cantidades de cada medicamento que se necesitarán: es decir, se necesitarán 6 mg. del medicamento, 49 mg. del medicamento y mg. del medicamento. b El coste total de estos medicamentos se obtiene multiplicando cada cantidad por el precio unitario y sumando todas estas cantidades: 6 mg. e + 49 mg. e + mg. 4 e 4.8 e Esto es equivalente al siguiente producto matricial: ( , EJERCICIO 5: Comprobar que: ( a det b det c det ( 4, det, 4, det det (, det ,. 5. det Dpto. EDAN Licenciatura en Biología

3 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales EJERCICIO 6: Resolver la ecuación: det x x. Para obtener la expresión estándar de esta ecuación hay que calcular el determinante: det x x ( x + 6 x x x x Luego la ecuación a resolver es x x + 48 y sus soluciones son x ± ± 8 6 { 8 EJERCICIO 7: Determinar el rango de las siguientes matrices: A 5 7 5, B 6 4 5, C 6 4 a A es una matriz 5, luego se tendrá rango (A. Se tiene rango (A, ya que, por ejemplo, el menor de orden det También se tiene det 7 b B ejemplo, det ( 6 ( 6 7, luego rango (A. 4 es una matriz 4 4, luego se tendrá rango (A 4, ya que, por 6 8. Buscamos ahora un menor no nulo de orden tres: det rango (A , luego Dpto. EDAN Licenciatura en Biología

4 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales Por último, comprobamos si det(b, desarrollando por los elementos de la fila : det det 4 5 det 6 4 luego, finalmente, se tiene rango (A 4. c C 6 4 es una matriz 4 luego rango (A. ( det 8, luego rango (A. 6 det 6 4 4, luego se tiene rango (A , EJERCICIO 8: Estudiar el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro λ: λ λ A λ, B λ λ. λ λ a Para estudiar el rango de la matriz A, comenzamos por calcular su determinante y ver los valores que toma, en función del valor de λ: λ det(a det λ λ (λ, si y sólo si λ y λ. Luego, en estos dos λ casos (λ,, el rango de la matriz A es. ( Si λ, A, que tiene un menor no nulo de orden : det, luego rango (A. ( Si λ, A, que también tiene un menor no nulo de orden : det, luego rango (A. En resumen: b det(b det λ λ λ λ rango (A { si λ ó λ en caso contrario. λ λ λ +, y esta expresión (polinomio en la variable λ sólo se anula para dos valores de λ: para λ y para λ. En consecuencia, salvo para esos dos valores, det(b. Dpto. EDAN 4 Licenciatura en Biología

5 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales Si λ, B pueden formar a partir de ella son iguales a det Si λ, B., que tiene rango ya que todos los menores de orden que se (., que tiene rango ya que, por ejemplo, det En resumen se tiene, para la matriz B: si λ rango (A si λ en el resto de los casos. ( EJERCICIO 9: Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas: (a x + y + z x + y + z x + y + z 6 (b x + x + x x x + x x + x + x (c x + y + z y + z + t x + y + t x + z + t (a En primer lugar escribimos el sistema en forma matricial: x y z 6 de modo que la matriz del sistema y la matriz ampliada son, respectivamente: A, [A b] 6 Se tiene que det(a, luego rango (A. Por lo tanto, al tratarse de un sistema lineal de dimensión con matriz cuadrada con determinante no nulo, el sistema tiene solución única: el sistema es compatible determinado. (b Ahora se tiene Ax b, con A,, b y det(a 4, luego el sistema es, también, compatible determinado, es decir, posee una única solución. (c En este caso el sistema se escribe, en forma matricial, x y z t Dpto. EDAN 5 Licenciatura en Biología

6 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales y se tiene, desarrollando por la primera columna, det det + det det luego, también en este caso, el sistema es compatible determinado. EJERCICIO : Utilizar el Método de Gauss para resolver los siguientes sistemas lineales: (a (d x + x + x x x + x x x x y + z 4x 4y + z x y + z (a [A b] F F + F (b (e x + y x y + z x + y z + t x t F F F x + 5y z x y + z 9 4x + y z (c (f F F F x y + z 6 4x + y + 6z 9 x y + z x y + z 4 x y + z 6 x 6y + z 8, que ya corresponde a un sistema con matriz triangular: x + y + z y + z La última ecuación ( se verifica siempre, independientemente del valor que tome z. Esto significa que z puede tomar cualquier valor; pongamos z α R. Por tanto el sistema es compatible indeterminado. Fijado el valor de z α, de la segunda ecuación se tiene y z/ α/. Y, por último, de la primera ecuación, x y z + α α α. Así pues, este sistema tiene infinitas soluciones, una para cada valor que demos a α en x α, y α, z α, α R. (b [A b] 6 F F F F F F F 4 F F 4 F 4 F + F F F F F 4 F 4 F Dpto. EDAN 6 Licenciatura en Biología

7 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales El sistema triangular correspondiente es: x + y y z z + t 6 6t x y y ( z 4 z ( (6 t 9 4 z 6 El sistema tiene, por tanto, una única solución que es: x 7/4 y z /4 9/4 4 t / (c [A b] F F F F F F x y + z 6 4y 4z , que, escrito en forma de sistema es: F F + 4F x (6 + y z ( y 4 z 4 Luego la (única solución es x y z / /4 /4 4. (d [A b] 4 4 F F F F F F 4, donde ya se ve que el sistema es incompatible, ya que las dos últimas ecuaciones son: { y + z 4 y + z (e [A b] F F F F F 4F F F 4F Dpto. EDAN 7 Licenciatura en Biología

8 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales x + 5y z y + z 7 9z 657 Luego la (única solución es (f [A b] , que, escrito en forma de sistema es: F F F F F F x y z x ( 5y + z ( + y (7 z 6 (7 z , que ya está en forma triangular. El sistema es por tanto compatible indeterminado, siendo sus soluciones: x 4 + y z 4 + 6( α α 7α x y + z 4 y + z y z ( α z α R cualquiera EJERCICIO : Determinar los coeficientes a i, i,... 7 para la siguiente reacción química: a H Cl + a K Mn O 4 + a H As O a 4 H As O 4 + a 5 MnCl + a 6 K Cl + a 7 H O El número de átomos de cada elemento debe ser el mismo en cada lado de la igualdad, luego: (S H : a + a a 4 + a 7 Cl : a a 5 + a 6 K : a a 6 Mn : a a 5 O : 4a + a 4a 4 + a 7 As : a a 4 H : a + a a 4 a 7 Cl : a a 5 a 6 K : a a 6 Mn : a a 5 O : 4a + a 4a 4 a 7 As : a a 4 Puesto que tres de las incógnitas se encuentran trivialmente a partir de las otras (a 6 a 5 a y a 4 a, podemos sustituirlas y reducir el sistema a uno con 4 incógnitas y ecuaciones: H : a + a a a 7 a a 7 Cl : a a a a a O : 4a + a 4a a 7 4a a a 7 Dpto. EDAN 8 Licenciatura en Biología

9 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales que, en forma matricial se escribe 4 a a a a 7 Vamos a calcular su solución (si existe por el método de Gauss: [A b] F F F a a 7 a +a 7 a +5a 7. a a 7 a a 7 a 5 a 7 F 4F + F Es decir, a 7 puede tomar cualquier valor, pongamos a 7 t R, y todas las demás incógnitas vienen dadas en función de t. Son, por lo tanto soluciones del sistema global (S todas las de la forma a t, a t, a 5 t, a 4 5 t, a 5 t, a 6 t, a 7 t, con t R. Ahora bien, en la ecuación de la reacción química se necesita que los coeficientes sean números enteros, ya que representan el número de moléculas de los diferentes reactivos. Por lo tanto, habrá que elegir el valor de t adecuado que haga que todos los a i sean enteros, que, claramente, es t : Así pues, la solución del ejercicio es: a 6, a, a 5, a 4 5, a 5, a 6, a 7. EJERCICIO : La población de cierta especie de animales en un bosque está dividida en dos grupos de edad: jóvenes y adultos. La correspondiente matriz de Leslie es: ( / /4 Interpretar el significado de los elementos de la matriz anterior. Ponemos:. J t número de jóvenes de la población en el tiempo t, A t número de adultos de la población en el tiempo t. El modelo de Leslie se escribe, en este caso: ( Jt+ A t+ ( / /4 ( Jt A t { Jt+ A t A t+ J t + 4 A t Supongamos, para más claridad, que el tiempo se mide en años. La primera ecuación indica que el número de individuos jóvenes en un año determinado es proporcional al número de individuos adultos Dpto. EDAN 9 Licenciatura en Biología

10 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales del año anterior, concretamente igual a veces dicho número. Esto significa que, de media, cada adulto tiene hijos. Como sólo tienen hijos las hembras, y suponiendo que la mitad de la población son hembras, esto significa, en realidad que cada hembra tiene, de media, 6 hijos. Por otro lado, la segunda ecuación indica que el número de adultos en un año determinado tiene dos orígenes: por un lado, la mitad de los jóvenes del año anterior sobreviven y alcanzan la edad adulta. Por otro lado, /4 de los adultos del año anterior sobreviven un año más. EJERCICIO : Se considera una población de hembras dividida en tres clases de edad: un año de edad, dos años de edad y tres años de edad. Se sabe que las hembras de año producen un promedio de hembras, las de dos años de edad producen 7 hembras y las de años de edad producen un promedio de.5 hembras. Además, se sabe que el % de las hembras de edad sobrevive hasta la edad y el 4 % de las hembras de edad sobreviven hasta la edad.. Escribir la matriz de Leslie correspondiente.. Determinar la evolución de esta población durante dos siguientes periodos reproductivos, comenzando con hembras de edad.. Denotemos: A t número de hembras de año de edad, B t número de hembras de años de edad, C t número de hembras de años de edad. Las relaciones entre las tres poblaciones en un año y el siguiente se pueden expresar: A t+ A t + 7B t +.5C t B t+.a t C t+.4b t Al escribirlo en forma matricial se obtiene la matriz de Leslie: A t+ B t+ C t A t B t C t. Comenzando con la población inicial A, B, C, y calculando, mediante la relación anterior, los valores para t,, y, se obtiene: Tiempo Edad Edad Edad t A t B t C t Dpto. EDAN Licenciatura en Biología

11 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales EJERCICIO 4: Sea la matriz de Leslie: Determinar el número de clases de edad de la población.. Determinar el porcentaje de hembras de años de edad que sobreviven hasta el final del siguiente periodo reproductivo.. Este modelo corresponde a una población dividida en tres clases de edad: Edad (A t, Edad (B t y Edad (C t. Las ecuaciones del modelo se escriben: A t+ B t+ C t A t B t C t A t+ 5B t B t+.8a t C t+.b t. Claramente, el porcentaje de individuos de edad (B t que sobreviven y pasan a la edad (C t es el % (C t+.b t B t. EJERCICIO 5: Tenemos una población de hembras dividida en tres clases de edad: un año de edad, dos años de edad y tres años de edad. Se sabe que el % de las hembras de edad y el 7 % de hembras de edad sobreviven hasta el final de la siguiente estación reproductiva. Además, las hembras de edad tienen un promedio de.6 crías hembra y que las hembras de edad tienen un promedio de.7 crías hembra. (a Escribir la matriz de Leslie correspondiente. (b Determinar la distribución de edades en el instante, sabiendo que en el instante inicial la población consta de hembras de edad, 8 de edad y de edad. Denotemos por: A t número de hembras de año de edad, B t número de hembras de años de edad, C t número de hembras de años de edad. (a Las relaciones entre las tres poblaciones en un año y el siguiente se pueden expresar: A t+.6b t +.7C t B t+.a t C t+.7b t Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial se obtiene la matriz de Leslie: A t+.6.7 A t B t+. B t. C t+.7 C t Dpto. EDAN Licenciatura en Biología

12 Ejercicios resueltos tema : Matrices y sistemas lineales (b Para determinar la distribución en edades de la población en el instante t, construimos una tabla, a partir de las ecuaciones anteriores, es decir, calculando: A B C 8, A B C ,... Tiempo Edad Edad Edad t A t B t C t Indicación: para calcular la distribución de la población en el instante t también se puede usar la fórmula: A A A B M B.64.8 B C C.4.8 C siendo M la matriz de Leslie. EJERCICIO 6: Supongamos que la edad máxima de una población de hembras es años y que esta población se divide en cuatro clases de edad con intervalos de 5 años. La matriz de Leslie viene dada por /4 / / Si inicialmente hay individuos de la primera clase, 6 en la segunda, en la tercera y en la cuarta, determinar la evolución de la población dentro de años. Denotemos por:. A t número de hembras de entre y 5 años de edad, B t número de hembras de entre 6 y años de edad, C t número de hembras de entre y 5 años de edad, D t número de hembras de entre 6 y años de edad. La tabla con la evolución de la población es: Tiempo Edad Edad Edad Edad 4 Años t A t B t C t D t Dpto. EDAN Licenciatura en Biología