Examen de Admisión a la Maestría / Doctorado 24 de Junio de 2016

Transcripción

1 Examen de Admisión a la Maestría / Doctorado 4 de Junio de 6 Nombre: Instrucciones: En cada reactivo seleccione la respuesta correcta encerrando en un círculo la letra correspondiente. Puede hacer cálculos en las hojas que se le proporcionaron. Duración del examen: hrs 3 min. Cuál de los siguientes no es un espacio vectorial? (a) {(x, x, x 3 ) R 3 x x 3 = }. (b) El conjunto de soluciones x de Ax =, donde A es una matriz m n. (c) El conjunto de matrices, A, tales que det(a) =. (d) El conjunto de polinomios p(x) tales que p(x) dx =. (e) El conjunto de soluciones y = y(t) de la ecuación y + 4y + y =.. Sea U el subespacio de R 5 dado por U = {(x, x, x 3, x 4, x 5 ) R 5 x = 3x y x 3 = 7x 4 } Entonces una base para U es: (a) { (, 3,,, ), (,,, 7, ) }. (b) { (3,,,, ), (,, 7,, ), (,,,, ), (,,,, ) }. 3 7 (c) { (3,,,, ), (,, 7,, ) }. (d) { (3,,,, ), (,, 7,, ), ( 6,,,, ) } (e) { (,,,, ), (,, 7,, ), (,,,, ) } Si A es una matriz 5 5 con det A =, cuánto vale det( A)? (a) - (b) (c) 4 (d) -3 (e) 3 4. Sea L una matriz. Cuál de las siguientes afirmaciones siempre es cierta? (a) Si L = entonces L =. (b) Si L = L entonces L = o L = I. (c) Si L = I entonces L = I o L = I. ( ) a (d) Si L =, con a, d = ±, L es la identidad o representa una reflexión con d respecto al eje x, al eje y o al origen. (e) El sistema de ecuaciones Lx = b siempre tiene solución.

2 5. Sea V = C(R) el espacio vectorial de las funciones continuas f : R R, con las operaciones usuales (suma y producto por escalar) y sea W = L{sen x, cos x} el subespacio generado por las funciones sen x y cos x. Entonces: (a) sen x y cos x son linealmente dependientes (b) dim W = + (c) dim V = dim W + (d) Todo vector en W es solución de la ecuación y + y = (e) W = V 6. Sea B una matriz con entradas en C tal que tr(b) = 5 y tr(b ) = [Aquí tr(b) denota la traza, es decir, la suma de las entradas de la diagonal]. Entonces el determinante de B es igual a: (a) 5 (b) (c) 4 (d) (e) 7. Supongamos que la matriz A es semejante a la matriz B = (a) A = A (b) det A = (c) traza(a) = (d) λ = es un valor propio de A. (e) λ = es un valor propio de A. ( ). Entonces: 8. Sea A una matriz n n y λ un valor propio de A con vector propio v. Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (a) v es un vector propio de A con valor propio λ. (b) Si B es una matriz n n y µ es valor propio de B, entonces λµ es un valor propio de AB. (c) Sea c un escalar. Entonces (λ + c) es valor propio de A + ca + c I. (d) Si µ es valor propio de una matriz n n B, entonces λ + µ es un valor propio de A + B. (e) λ es una raíz del polinomio característico de A.

3 9. Sea T : R 3 R 3 la reflexión en el plano ortogonal al vector (,, ). Entonces la matriz de T con respecto a la base canónica es: (a) (b) (c) (d) (e). Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y T : V V una transformación lineal. Entonces T es invertible si y sólo si (a) La matriz de T es cuadrada. (b) T es inyectiva. (c) ker T = V. (d) T tiene al menos un valor propio λ. (e) Existe al menos un vector v V tal que v / Im T. a b d. Considérese la ecuación general de la cónica x t Q x = donde Q = b c e d e f x y x = y. Para qué matriz Q es ésta la ecuación de una hipérbola? 9 3 / 3 (a) 3 (b) / (c) (d) (e) 5. Sea θ( R un número ) real que no es un múltiplo entero de π. Entonces la matriz cos θ sen θ A = sen θ cos θ (a) es simétrica. (b) satisface A = I. (c) no tiene valores propios reales. (d) es una reflexión sobre la recta y = (tan θ)x. (e) tiene determinante.

4 3. Sean u =, u =, u 3 =. Entonces, una matriz 3 3 tal que Au = u, Au = u y Au 3 = 3u 3 es: (a) 3 (b) (c) 7/3 /3 (d) 5/3 /3 /3 /3 7/3 /3 (e) 5/3 /3 /3 /3 4. Sea V = P (R) el espacio vectorial de todos los polinomios reales de grado, equipado con el producto interno p, q = p(x) q(x) dx y sea T : V V el operador dado por T (a + a x + a x ) = a x. Entonces: (a) V posee una base ortonormal de vectores propios de T. (b) T es autoadjunto. (c) T no es autoadjunto. (d) dim V =. (e) dim(ker T ) + dim(im T ) = Si la matriz C = x y posee tres vectores propios linealmente independientes, entonces: (a) det C = (b) det C = xy (c) C tiene rango (d) tr(c ) 3 (e) x + y = 6. Cuál de las siguientes funciones f : (, ) R es biyectiva, diferenciable y con inversa diferenciable? (a) f(x) = tan( π x) (b) f(x) = x sen x (d) f(x) = + e x (e) f(x) = x + x (c) f(x) = + x

5 7. Si f(x) = x 3 + 6x, entonces existe c [, ] tal que (a) f (c) = 4[f() f( )]. (b) f (c) = f() 4. (c) f(c) = f() f( ). (d) f (c) = f( ) f(). (e) f(x) dx = f (c) ( ). 8. Los puntos críticos y extremos de la función f(x, y) = (x 4 8x + y + ) son: (a) máximo local en (, ) y en (, ). (b) máximo local en (, ) y mínimo local en (, ). (c) mínimo local en (, ) y máximo local en (, ). (d) máximo local en (, ). (e) punto silla en (, ). 9. El valor exacto de la suma tan + tan + tan 3 es: (a) π (b) π (c) 3π (d) π 4 (e) π. El área entre las curvas y = x 3 x y y = x x 3 es: (a) - (b) - (c) (d) (e)

6 . El valor de la serie infinita e n es n= (a) racional (b) + (c) e e (d) e e + (e) e e. Si f y g son funciones diferenciables, la segunda derivada de la composición y = g(f(x)) es igual a: (a) y = g (f (x)) (b) y = g (f(x))f (x) (c) y = g (f (x))[f (x)] (d) y = g (f(x))f (x) + [g(f(x))] f (x) (e) y = g (f(x))f (x) + g (f(x))[f (x)] 3. La función f(x) = x x (a) es continua en. (b) es derivable en. (c) es biyectiva. (d) Todas las anteriores (e) no es derivable en. ( ) x y 4. La derivada parcial respecto a x de f(x, y) = arctan + xy (a) + (x y) (b) + x y (c) y x y + xy + (d) es: + x (e) + y 5. El valor de la integral impropia (a) π e x dx es: (b) π (c) (d) π (e) Negativo

7 6. La serie infinita n= (a) converge a ln(ln e e ) n ln n (b) converge a π ln 6 (c) contiene términos negativos (d) es igual a n= n 7. Sea f : R R la función f(x) = (e) diverge { si x Q, x si x / Q. Entonces f es: (a) discontinua en todo punto. (b) derivable en. (c) acotada. (d) continua únicamente en. (e) integrable en el intervalo [, ]. 8. Cuales son los máximos y mínimos de la función f : R R dada por f(x) = x e x? (a) máximo en x =, mínimo en x =. (b) mínimo en x =, máximo en x =. (c) máximo en x =, mínimo en x =. (d) mínimo en x =, máximo en x =. (e) mínimos en x = y x =. 9. Si F (x) = (a) x x t dt, (b) x entonces la derivada de la función inversa F (x) es igual a (c) F (x) (d) F (x) x 3 3y 3. Sea f : R si (x, y) (, ), R dada por f(x, y) = x + y si (x, y) = (, ). Entonces: (e) F (x) (a) (, ) = y (, ) = 3 x y (c) (, ) no existe x (b) (, ) = y (, ) = 3 x y (d) (, ) no existe y (e) las parciales x, y no existen en el punto (, )