Examen de Admisión a la Maestría / Doctorado 9 de Diciembre de 2016

Transcripción

1 Examen de Admisión a la Maestría / Doctorado 9 de Diciembre de 26 Nombre: Instruccion En cada reactivo seleccione la respuesta correcta encerrando en un círculo la letra correspondiente. Puede hacer cálculos en las hojas que se le proporcionaron. Duración del examen: 2 horas. Cuál de los siguientes no es un espacio vectorial? (a) {(x, x 2, x 3 ) R 3 x = x 2 = x 3 } (b) {(x,..., x n ) R n x 2 = x 2 2} (c) {(x,..., x n ) R n x 2 = } (c) El conjunto de matrices 2 2, A, tales que traza(a) = (d) El conjunto de funciones continuas f : R R x 2. La tercera potencia de la matriz x es igual a: x x 3 x 3 3x x 3 (a) x 3 (b) x 3 3x (c) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x 2 (d) x 3 3x 2 x 3 x 3 3x 2 3x (e) x 3 3x 2 x 3 3. La matriz (a) antisimétrica (b) autoadjunta (c) ortogonal (d) diagonalizable sobre los reales (e) ninguna de las anteriores

2 4. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado 2 con coeficientes en R, equipado con el producto interno: f, g = Una base ortonormal para V está dada por: f(t)g(t) dt (a), t, t 2 (b) sen t, cos t (c), 2 3(t 2 ), 6 5(t 2 t + 6 ) (d), sen t, cos t (e), (t 2 ), (t2 t + 6 ) 5. El polinomio mínimo de la matriz ( cos θ ) sen θ sen θ cos θ (a) λ 2 (2 cos θ)λ + (b) λ 2 + (c) λ 2 2λ + (d) (λ e iθ ) 2 (e) λ cos 2θ 6. Una matriz n n, A, es antisimétrica si: A t = A. Para toda A antisimétrica: (a) det A = si n es impar (b) det A = si n es par (c) det A = ± (d) det A = si n es impar (e) det A = si n es par 7. Existirá una transformación lineal T : R 4 R 3 tal que T (v i ) = w i, donde v = (,,, ), v 2 = (,,, ), v 3 = (,,, ), v 4 = (,,, ) y w = (, 2, 3), w 2 = (2, 3, ), w 3 = (3,, 2), w 4 = (,, 2)? (a) Si (b) No, porque v, v 2, v 3, v 4 no es una base (c) Si y es inyectiva (d) No, porque w, w 2, w 3, w 4 no es una base (e) Si y su matriz con respecto a las bases canónicas es

3 8. Sea V el conjunto de todas las sucesiones infinitas (a, a 2, a 3,... ) de números reales con la propiedad a i = a i 2 + a i para i 3. Entonc (a) V no es un espacio vectorial (b) V es un espacio vectorial de dimensión 2 (c) V es un espacio vectorial de dimensión 3 (d) V es un espacio vectorial de dimension infinita (e) V consiste de la sucesión cero (,,,... ) 9. Cual es la dimensión del subespacio de R 3 generado por los vectores (, 2, t + 2), (, t +, t) y (, t, ), si t R? (a) 3 para todo t (b) excepto cuando t = (c) 2 excepto cuando t = 3/2 (d) 3 excepto cuando t =, 3/2 (e) 2 para todo t. Sea A M n (C) y A = Āt su matriz transpuesta conjugada. Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? (a) Si λ es valor propio de A, entonces λ es valor propio de A (b) Si λ es valor propio de A, entonces λ es valor propio de A (c) Si λ es valor propio de A, entonces λ 2 es valor propio de A (d) Si λ es valor propio de A, entonces λ es valor propio de A (e) Ninguna de las anteriores. Cuántos subespacios vectoriales posee R 2? (a) dos: {} y R 2 (b) tr {}, R 2 y la diagonal = {(x, x) x R} (c) cuatro: {}, R {}, {} R (los ejes) y R 2 mismo (d) una infinidad (e) cero

4 2. Sea A = ( ) y H el subespacio de las matrices 2 3 dado por Entonces la dimensión de H H = {M M 2,3 (R) AM = } (a) (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 5 3. Considere el sistema de ecuaciones lineales Ax = b dado por a x + a 2 y + a 3 z = b a 2 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 3 x + a 32 y + a 33 z = b 3 El sistema siempre tiene solución si: (a) la matriz A no tiene inversa (b) la filas de A son linealmente dependientes (c) las columnas de A son linealmente dependientes (d) det A = (e) el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada [ A b ] 4. Sea p : R 2 R 2 la proyección ortogonal sobre la recta y = 3x. Si u = (2, 5) y v = (x, ), cuál es el valor de x tal que p(u) = p(v)? (a) -3 (b) (c) 4 (d) (e) 3 5. Sea V el espacio vectorial de funciones continuas f : R R y sea T : V V la transformación lineal T (f)(x) = Entonc x f(t) dt. (a) T es suprayectiva (b) dim(ker T ) = (c) T es biyectiva (d) T no tiene valores propios (e) ninguna de las anteriores

5 6. El valor de la integral indefinida x ln x dx es igual a: (a) 2 x2 ln x (b) 2 x2 (ln x) 2 (c) x(ln x ) (d) 2 x2 (ln x ) (e) 2 x2 ln x 4 x2 7. El valor máximo de la función f(x) = + x + + x 8 (a) /9 (b) 2/5 (c) (d) /9 (e) No existe 8. La serie infinita n=2 n(ln n) 2 (a) converge (b) diverge (c) es negativa (d) es igual a /e (e) es igual a e e 9. Supongamos que las series n= para todo n. Entonces la serie (a) es convergente a 2 n (b) no necesariamente es convergente y b 2 n son convergentes, y que a n, b n, n= a n b n n= (c) es estrictamente menor que las series originales (d) es estrictamente mayor que las series originales (e) es el promedio de las series originales 2. Sean f, g : R R las funciones dadas por f(x) = g(x) = { si x si x =. Entonces el límite lím f(g(x)) es igual a: x (a) (b) (c) f(g()) (d) g(f()) (e) no existe

6 2. Sea f : [, 2π] R una función continua tal que f() = f(2π). Existirá un número real ξ [π, 2π] tal que f(ξ) = f(ξ π)? (a) Siempre existe. (b) Sólo si f es es periódica de periodo π (c) Sólo si f y f existen en el intervalo [, 2π] (d) Sólo si f es diferenciable en [, 2π]. (e) No, f(x) = sen x es un contrajemplo 22. Para que valores x [, π] se cumple la igualdad sen x = sen 2x? (a) Ninguno (b) x = (c) x =, π 3, π (d) x =, π 4, π 2, π (e) x =, 2π 3, π 23. La solución general de la ecuación diferencial y 5y + 6y = (a) y = C cos 3x + C 2 sen 2x (b) y = C cos 2x + C 2 sen 3x (c) y = C e 3x + C 2 e 2x (d) y = C e 3x + C 2 e 2x (e) y = C e 3x + C 2 e 2x 24. Sea f : R 2 R la función f(x, y) = xy. El valor máximo de f sobre la recta x + y = es igual a: (a) (b) /4 (c) /2 (d) 3/4 (e) 25. El área de la región acotada por las curvas y = sen x y y = sen 2x en el intervalo [, π] (a) (b) 5/2 (c) 2 (d) π (e) 3π/2 26. Los valores críticos de a función f(x) = x 3 x son: (a),, (b) 2 3 3, 2 3 3, (c) 3, 3, (d) 3, 2 (e) no tiene

7 27. Supóngase que la función f : [, 2] R es continua en [, 2] y derivable en (, 2) y que f() =, f() =, f(2) =. Cuáles de las siguientes afirmaciones siempre son válidas? (a) Las tres son válidas (b) Sólo () y (2) son válidas (c) Sólo () y (3) son válidas (d) Sólo (2) y (3) son válidas (e) Ninguna es válida () Existe c (, ) tal que f (c ) =. (2) Existe c 2 (, 2) tal que f (c 2 ) = (3) Existe c (, 2) tal que f (c) = /3 28. La fórmula recurrente u n+ = 3u n, u = define una sucesión {u n }. Esta sucesión (a) no acotada (b) divergente (c) convergente y lím n u n = 3 (d) convergente y lím n u n = 3 (e) decreciente 29. Considere las funciones hiperbólicas senh x = ex e x Entonc 2 y cosh x = ex + e x. 2 (a) cosh 2 x + senh 2 x = (b) senh x es acotada (c) cosh x es acotada (d) senh(2x) = cosh 2 x + senh 2 x (e) cosh 2 x senh 2 x = 3. El valor de límite lím x x + sen 3 x 5x + 6 (a) /5 (b) 6/5 (c) 5/6 (d) (e)