Maestría en Matemáticas

Transcripción

1 Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (ASN) Ingreso en Agosto de 203. Sea R el conjunto de los números reales y S el conjunto de todas las funciones valuadas en los reales con dominio en R. Muestre que no existe una función biyectiva entre R y S. 2. Sea f : B A una función y U α A para cada α Λ. Demuestre que ( ) f U α = f (U α ). α Λ α Λ 3. Sea x n una sucesión monótona y acotada en los números reales y considere el conjunto S = {x x 2...}. Pruebe que x n converge al supremo de S. 4. Considere R 2 con la norma (x y) = x + y. Esta norma proviene de un producto interno?. 5. Sea R el conjunto de los números reales con la topología usual. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Las unión finita de conjuntos abiertos es abierto. b) La unión arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado. c) Todo conjunto infinito y acotado tiene una sucesión de puntos distintos que converge en R. 6. Sea A un conjunto finito con n elementos demuestre que el conjunto potencia P(A) es finito con 2 n elementos. 7. Verifique cuáles de las siguientes series convergen use los criterios de la razónraiz etc. a) 2 n. b) n 2. c) ( n n+) n(n+). d) 3 n ( n n+ ) n Usando multiplicadores de Lagrange hallar la distancia mínima que hay desde cualquier punto (a a 2 a 3 ) al plano dado por b x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 0 = 0.

2 9. Dada la sucesión a n = n n muestre que a n Sean a b R tales que a > 0 y b > 0. Calcular el siguiente límite lím n n a n + b n. 2

3 Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (EM) Ingreso en Agosto de 203. Enunciar y probar el Teorema de Rolle. 2. Calcular los siguientes límites a) lím (cos x) x 2 x ( b) lím x sin 2 x ) x Calcular lím x x 0 sin3 t dt x Sea A un conjunto cerrado y acotado de números reales y sea p = sup(a). Demostrar que p A. 5. Determinar si los siguientes subconjuntos de R son completos o no. a) El conjunto de enteros positivos N. b) El conjunto de números irracionales Q c. 6. Dar un ejemplo de dos funciones f : R R y g : R R discontinuas en todos los puntos pero cuya suma f + g sea continua en todo R. 7. Probar que W = {(a b c) R 3 a + b + c = 0} es un subespacio vectorial de R 3. Hallar la dimensión y una base para este subespacio. 8. Supóngase que A es una matriz simétrica 2 2 con valores propios y 9 y que ( 3) T es un vector propio correspondiente al valor propio. a) Hallar un vector propio v correspondiente al valor propio 9. b) Hallar la matriz A. c) Hallar una raíz cuadrada de A. 9. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y T una transformación lineal en V tal que T S = I para alguna transformación lineal S en V (S inversa derecha). a) Probar que T es invertible. b) Probar que S = T.

4 Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (FGEZ) Ingreso en Agosto de 203. Calcular f (x) donde f(x) = x 2 e sin2 t dt. 2. Evaluar la siguiente integral de línea σ xdx + ydy + zdz para cada una de las siguientes trayectorias: σ(t) = (cos t sin(nt) 2e t ) 0 t n = Una partícula se mueve en el espacio con vector de posición α(t) = t a + t 2 b + 2 ( 2 3 t ) 3 2 a b donde a y b son dos vectores unitarios fijos que forman un ángulo de π 3 radianes. Calcular la velocidad de la partícula en el instante t y determinar en cuánto tiempo recorre una distancia de 2 unidades de longitud de arco desde la posición en t = Sea M 2 (R) el espacio vectorial de matrices 2 2 con componentes reales y sea P 2 [x] el espacio vectorial de polinomios de grado a los más dos con coeficientes reales. Defínase T : M 2 (R) P 2 [x] mediante ( ) a b T = (a + b) + (2d)x + bx 2. c d Sean B = {( ) ( ) ( ) ( )} y B = { x x 2 }. Calcular la representación matricial de T respecto a las bases B y B. 5. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre el campo F y sea T una transformación lineal de V en V tal que la imagen y el espacio nulo de T sean idénticos. Demostrar que n es par. 6. Sea {x y z} un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V. Serán los conjuntos de vectores siguientes linealmente independientes? a) {x x + y x + y + z}. b) {x y y z z x}.

5 Reactivos Propuestos para Examen de Admisión (VPG) Ingreso en Agosto de 203. Justifica la veracidad de cada sentencia o proporciona un contraejemplo: La unión de dos subespacios vectoriales no triviales es un subespacio vectorial. El conjunto de funciones pares (aquellas que f( x) = f(x)) es un subespacio del espacio vectorial de funciones de R a R. El conjunto de funciones diferenciables es un subespacio del espacio vectorial de las funciones continuas de R a R. Sean V y W espacios vectoriales sobre el campo F. Aquí B denota al subespacio generado por B V. Si B V f : V W es lineal entonces f( B ) = f(b). 2. Sean V el espacio de matrices 2 2 sobre el campo de los números reales y W el subconjunto de las matrices A tales que A 2 + A 2 = 0. Determina si W es un subespacio de V ; en caso afirmativo encuentra una base de W. 3. Sean α = (x x 2 ) y β = (y y 2 ) vectores en R 2 tales que x y + x 2 y 2 = 0 x 2 + x 2 2 = y 2 + y 2 2 =. Prueba que B = {α β} es una base de R 2. Encuentra las coordenadas del vector (a b) en dicha base. Si la primera ecuación la reemplazamos por x y x 2 y 2 = 0 sigue siendo B una base para R 2? 4. Sea f : R 2 R la función definida por Calcula f(0 0) = 0 f(x y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2. 2 f x y (0 0) y 2 f (0 0). y x 5. Sean α a y b números reales con α (0 ). Encuentra el valor máximo de la función sujeta a la condición α x 2 + ( α) y 2 =. f(x y) = ax + by 6. Supongamos que {x n } y {y n } son sucesiones de Cauchy en un espacio métrico (X d). Demuestra que la sucesión {d(x n y n )} converge.