FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas

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1 EXÁMENES DE MATEMÁTICAS Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha 5 de julio de 99. Dada la aplicación lineal: T : IR 4 IR T (x, y, z, w) = (x z, y + 3w) a) Encuentre su representación matricial respecto a las bases canónicas. b) Halle su núcleo y su imagen. c) Calcule la imagen por T de un vector ortogonal a v = (,,, ). d) Halle la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en IR 4 y la base B = {(, 3), (, )} en IR.(3 puntos). Dado el subespacio S, generado por los vectores: {(,, ), (,, ), (,, )}, calcular la proyección ortogonal del vector v = (,, ) sobre S.(.5 puntos) 3. Sea ω : IR 4 IR la forma cuadrática que, en la base canónica, tiene por expresión: ω(x, x, x 3, x 4 ) = x x + x 3 x 4 + x x 3 + x x 4 a) Hallar la representación matricial de ω en la base canónica de IR 4. b) Encontrar la matriz ortogonal P que reduzca ω a forma diagonal. c) Estudiar el carácter de ω. (.5 puntos) 4. Dada la matriz A: A = α β donde α y β son dos números reales. a) Estudiar para que valores de α y β la matriz A es diagonalizable. b) Para aquellos valores para los que no sea diagonalizable hallar la forma canónica de Jordan y la matriz de paso correspondiente en función de α y β.(3 puntos)

2 3 de enero de 998. Se considera el endomorfismo f definido en IR 3 por las siguientes condiciones f( e ) = e + t e + e 3 f( e ) = t e e t e 3 f( e 3 ) = e e + 3 e 3 donde { e, e, e 3 } es una base de IR 3. a) Hallar la dimensión del núcleo y de la imagen de f para todos los posibles valores de t. ( punto) b) Hallar las ecuaciones y una base del núcleo y la imagen de f para cualquier valor de t. (.5 punto). a) Descomponer el vector (3, 7, ) en suma de un vector proporcional a (, 3, 4) y de otro ortogonal a (, 3, 4). (.5 puntos) b) Calcular la proyección ortogonal de b = (,, ) sobre el espacio generado por los vectores (,, ) y (,, ). ( punto) 3. Sea P (x) el espacio vectorial real formado por los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que. Se define las aplicaciones lineales f : P (x) P (x) tal que f(p(x)) = p (x) y g : P (x) P (x) tal que g(p(x)) = xp (x), siendo p(x) un polinomio de grado menor o igual que. a) Estudiar si f es diagonalizable. En caso de que lo sea hallar la matriz diagonal del endomorfismo f indicando la matriz de paso y en caso de que no lo sea hallar la matriz de Jordan junto con la matriz de paso. (.5 puntos) b) Estudiar si g es diagonalizable. ( punto) 4. Se considera la forma bilineal: f( x, y) = (x, x, x 3, x 4 ) a) Hallar una base del espacio vectorial conjugado del vector (,,, ). ( punto) b) Determinar una base que exprese la forma cuadrática asociada por una matriz diagonal. ( punto) c) Estudiar el carácter de la forma cuadrática asociada. (.5 puntos) y y y 3 y 4

3 8 de noviembre de 998. Sea H el subespacio de IR 3 definido por la ecuación cartesiana x + y z = (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y la dimensión de H. (b) Encuentra una base ortonormal de H para el producto escalar usual de IR 3. (c) Determina las coordenadas del vector v = (,, ) en la base calculada en el apartado anterior. (d) Calcula la proyección del vector u = (,, ) sobre el subespacio H. (e) Halla el vector de H más próximo a u = (,, ) y la distancia de u a H. (f) Encuentra una base ortonormal de IR 3 que contenga a la base hallada en segundo apartado.. Sea P (IR) el conjunto de polinomios de grado menor o igual que uno con el producto escalar < p, q >= p(x)q(x)dx. p (x) = sobre el subespacio engendrado por p (x) = x. Hallar la proyección ortogonal del polinomio 3

4 4 de marzo de. Dada la aplicación lineal: (3,5 puntos) T : IR 4 IR T (x, y, z, w) = (x z, y + 3w) (a) Encuentra su representación matricial respecto a las bases canónicas. (b) Halla su núcleo y su imagen. (c) Halla la matriz de la aplicación con respecto a la base canónica en IR 4 y la base B = {(, 3), (, )} en IR. (d) Calcula la imagen por T de un vector ortogonal a v = (,,, ). (e) Halla la proyección ortogonal de (,,, ) sobre el núcleo de T.. Dada la aplicación lineal T : IR 3 IR 3, que tiene por matriz asociada en la base canónica (3 puntos) A = α α 3 (a) Estudia para que valores de α A es diagonalizable. (b) En los casos en que sea diagonalizable halla la correspondiente matriz diagonal y la base en la que la aplicación tiene esa expresión diagonal. (c) En los casos en que no sea diagonalizable halla la forma canónica de Jordan, la matriz de paso y la base en la que la aplicación tiene esa expresión. 3. Sea f : IR 3 IR 3 IR la forma bilineal definida por Se pide: (3,5 puntos) f( x, y) = x y 3x y 3 + x y 3x 3 y + x y x 3 y 3 (a) Hallar la matriz A de f respecto de la base canónica. (b) Hallar la matriz A de f respecto de la base {(,, ), (,, ), ( 3,, )} (c) Clasificar la forma cuadrática asociada. (d) Hallar el subespacio conjugado del vector x = (,, ). 4

5 3 de junio de 999. Sabiendo que la aplicación f transforma los vectores u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, ) de IR 3 en los vectores w = (,, ), w = (, 4, ), w 3 = (, 5, ) respectivamente, encuentre la matriz de f en las bases siguientes: (,5 puntos) (a) La base canónica de IR 3. (b) La base B = { u, u, u 3 }.. Estudie si la aplicación del ejercicio anterior es diagonalizable, si lo es halle su forma diagonal, la base en la que la matriz de la aplicación es diagonal y la matriz de paso. (,5 puntos) 3. Sea f : IR 3 IR 3 IR la forma bilineal definida por f( x, y) = x y 3x y 3 + x y 3x 3 y + x y x 3 y 3 Se pide: (,5 puntos) (a) Hallar la matriz A de f respecto de la base canónica. (b) Hallar la matriz A de f respecto de la base {(,, ), (,, ), ( 3,, )} (c) Clasificar la forma cuadrática asociada. (d) Hallar el subespacio conjugado del vector x = (,, ). 4. Sea E el espacio vectorial definido de la siguiente manera: E = {f : [, ] IR, f es derivable, f() = }, en el que está definido el producto escalar f, g = f (x)g (x)dx. Aplique el método de ortogonalización de Gram-Schmidt a las funciones f (x) = x y f (x) = x. Halle la proyección de la función h(x) = e x sobre el espacio generado por {f (x), f (x)}. (,5 puntos) 5

6 de febrero de. Sea H el subespacio de IR 3 definido por la ecuación cartesiana x + y z = (a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal de H para el producto escalar usual de IR 3. (b) Determina las coordenadas del vector v = (,, ) en la base calculada en el apartado anterior. (c) Calcula la proyección del vector u = (,, ) sobre el subespacio H. (d) Halla el vector de H más próximo a u = (,, ) y la distancia de u a H. (e) Encuentra una base ortonormal de IR 3 que contenga a la base hallada en segundo apartado.. Consideramos la base de IR 3 y sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal tal que B = { u = (,, ), u = (, 3, 5), u 3 = (,, )}, T ( u ) = u + u T ( u ) = u u + u 3 T ( u 3 ) = 4 u u + u 3 (a) Determina la matriz de la aplicación lineal en la base B. (b) Halla la matriz de la aplicación en la base canónica de IR 3. (c) Halla las ecuaciones cartesianas del núcleo y la imagen de la aplicación T. (d) Cuáles son las dimensiones de ker(t ) e Im(T )? (e) Di si T es inyectiva, sobreyectiva, isomorfismo e isometría y justifica tu respuesta. 3. Dada la aplicación lineal T : IR 3 IR 3, que tiene por matriz asociada en la base canónica A = α Estudia para que valores de α A es diagonalizable. En caso de ser diagonalizable halla la correspondiente matriz diagonal, la matriz de paso y la base en la que la aplicación tiene esa expresión diagonal. 4. Sea P (IR) el conjunto de polinomios de grado menor o igual que uno. Se define la forma bilineal ϕ : P P IR de la siguiente forma ϕ(p, q) = p(x)q(x)dx. (a) Halla la matriz asociada a dicha forma bilineal en la base canónica de P (IR). (b) Escribe la forma cuadrática asociada. (c) Estudia el carácter de dicha forma cuadrática. (d) Se puede decir que es un producto escalar? Razona la respuesta. (e) Halla una forma canónica de la forma cuadrática y la base en la que dicha forma es canónica.

7 3 de junio de (corregido). Se considera el endomorfismo f definido en IR 3 por las siguientes condiciones donde { e, e, e 3 } es una base de IR 3. f( e ) = e + t e + e 3 f( e ) = t e e t e 3 f( e 3 ) = e e + 3 e 3 (a) Halla la dimensión del núcleo y de la imagen de f para todos los posibles valores de t. ( punto). La matriz asociada a la aplicación es A f = t t t 3 Calculamos el rango de A f. El determinante es det (A f ) = 4 + 4t, luego los puntos críticos( son,{t = } ) y {t = }. Para estos dos valores el rango es dos ya que el menor tiene rango. Por tanto la dimensión de la imagen es dos y la t 3 del núcleo es uno. Si t IR, con t ±, entonces la imagen tiene dimensión 3 y el nucleo se reduce al cero. (b) Halla las ecuaciones y una base del núcleo y la imagen de f para t =. (.5 puntos). Para t =, la matriz asociada a la aplicación es A f = 3 Una base de la imagen viene dada por B Imf =, y su ecuación 3 x cartesiana viene dada por y = Imf : 4x y z =. Para calcular z 3 x una base del núcleo, recordemos que viene dado por ker f : y = 3 z. Como sabemos que hay dos ecuaciones l.i., las ecuaciones cartesianas del núcleo vendrán dadas por { x y + z = x y z = cuya solución es (t, t, ) para todo t IR, luego B ker f = {(,, )}. 7

8 (c) Encuentra la forma diagonal de la matriz asociada a f y una matriz de paso para t =. ( punto). Calculamos el polinomio caracteristico, obteniendo χ (λ) = det (A f λi) = det λ λ 3 λ = λ + λ λ 3 =. Sus autovalores son λ =, λ = 3, λ 3 = + 3. Los correspondientes autovectores son x λ = y = v = 3 z λ = 3 λ 3 = En IR 3 con su producto escalar usual se pide x y z = x y z = v = v = (a) Descomponer el vector v = (,, ) en suma de un vector proporcional a (,, ) y de otro ortogonal a (,, ). (.5 puntos) Tomamos el plano ortogonal a (,, ) que es x y =. Una base de este subespacio viene dada por que = a luego (,, ) =, + b. Procedemos a descomponer el vector. Tenemos + c ( ) ( ) 5, 4 5, + 8 5, 4 5,. { a + b = a + b = c = { a = 5 b = 4 5 (b) Calcular la proyección ortogonal de b = (,, ) sobre el espacio generado por los vectores (,, ) y (,, ). ( punto). Estos dos vectores son ortogonales, por tanto para obtener { una base ortonormal solo } hay que normalizarlos. Tenemos pues la base ortonormal u = (,, ), u = (,, ), luego la proyección es proy Hb = b, u u + b, u u = (,, ) + 3 (,, ) = (,, ) 8

9 3. Consideremos la base de IR 3, B = {u = (,, ), u = (, 3, 5), u 3 = (,, )} y sea T : IR 3 IR 3 la aplicación lineal tal que T (u ) = u + u T (u ) = u u + u 3 T (u 3 ) = 4u u + u 3 (a) Demuestra que la matriz asociada a la aplicación en las bases canónicas es. (.5 puntos) 3 8 A = La aplicación en las base B es A f = Las matrices de cambio de base son M BC = 3 5 luego A = M CB = M BC = = (b) Halla las ecuaciones cartesianas del ker T expresadas en función de la base canónica. (.5 puntos) Calculamos el determinante de A f que es cero. Como hay un menor con determinante distinto de cero, el rango es dos. Calculemos pues el núcleo en las bases canómicas tomando dos ecuaciones cualesquiera { x 3y + 8z = 3x 3y + 4z =. 4. Dado el espacio vectorial E = {p P 3 (IR) : p() =, p () = }, con la base { x (x ), x (x ) } y el producto escalar < f, g >= f (x)g (x)dx, calcula la matriz de la forma bilineal asociada a este producto escalar. ( punto). Tenemos A(, ) = A (, ) = A (, ) = (x ) dx = 3 ( ) (x ) 3x x dx = ( ) 3x x dx = 5 9 ( ) x 3 7x + x dx =

10 Luego A = ( 3 5 ) (a) Diagonaliza la forma cuadrática asociada y encuentra una matriz de paso. ( punto) El polinomio caracteristico es ) luego los autovalores son χ (λ) = det ( 3 λ 5 λ = 7 5 λ + λ Entoces ker (A λ I) : ker (A λ I) : χ (λ) = λ = ( ) 3 ( ) 3 34, λ = ( 3 + ) 34 ( 3 ) 34 ( x y ( x y ) ) = = ( ( ) ( 3 v = 5 + ) 5 34 ) v = ( ) Para hallar la matriz de paso solo habría que normalizar estos vectores, ya que son ortogonales. (b) Estudia su carácter. (.5 puntos) Al ser sus dos autovalores mayores que cero, esta forma es definida positiva.

11 de septiembre de. Se considera el endomorfismo f definido en IR 3 por las siguientes condiciones f( e ) = e + e + e 3 f( e ) = e e e 3 f( e 3 ) = e e + 3 e 3 donde B = { e, e, e 3 } es la base canónica de IR 3. (a) Encuentra su representación matricial respecto de la base B. (.5 puntos) (b) Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los subespacios ker(f)+l(,, ), Im(f) L(,, 4). ( punto) (c) Calcula la imagen por f de un vector ortogonal a v = (,, ). ( punto) (d) Halla la proyección ortogonal de (,, ) sobre el núcleo de f. ( punto). Dada la aplicación lineal f : P 3 (x) P 3 (x) que transforma los elementos de una base de P 3 de la forma siguiente f() = x x 3, f(x) = 3x + x 3, f(x ) = 4x, f(x 3 ) = x + 3x 3. (a) Halla la matriz de la aplicación en la base B = {, x, x, x 3 }. (.5 puntos) (b) Halla el núcleo y la imagen de esta aplicación. ( punto) (c) Indica si es inyectiva, suprayectiva o biyectiva. (.5 puntos) (d) Es diagonalizable? en caso de serlo halla la matriz diagonal y la matriz de paso. ( punto) (e) Halla la matriz de la aplicación en la base B = {, + x, x, x 3 }. ( punto) 3. Se considera la forma bilineal: f( x, y) = (x, x, x 3 ) y y y 3 (a) Halla una base del espacio vectorial conjugado del vector (,, ). ( punto) (b) Determina una base que exprese la forma cuadrática asociada por una matriz diagonal. ( punto) (c) Estudiar el carácter de la forma cuadrática asociada. (.5 puntos)

12 MATEMÁTICAS Parte I Álgebra Parcial Noviembre 7 Primero de Ciencias Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha. Consideramos la base de R 3 B = { u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, )}, y sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal tal que T ( u ) = u + u T ( u ) = u + u 3 T ( u 3 ) = u + u + u 3 a) Determina la matriz de la aplicación lineal en la base B. b) Halla la matriz de la aplicación en la base canónica de R 3. c)halla las ecuaciones cartesianas y una base del núcleo y de la imagen de la aplicación T. d) Es T una aplicación inyectiva? Es sobreyectiva? e) Calcula la imagen inversa por T del vector ( 3,, ).. Sea H el subespacio de R 4 definido por las ecuaciones cartesianas { x + y z = y + t = a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal para el producto escalar usual de R 4. b) Calcula la proyección del vector u = (,,, /) sobre el subespacio H. c) Obtén el subespacio ortogonal a H, H, y una base para el mismo. d) Calcula el ángulo formado por u y proy H u. 3. Sabiendo que la aplicación lineal f transforma los vectores u = (,, ), u = (,, ) y u 3 = (,, ) en los vectores w = (, α, α), w = (,, ) y w 3 = (,, 3) respectivamente: a) Estudia para qué valores de α R la matriz de f es diagonalizable. b) En los casos en que sea diagonalizable, halla la matriz diagonal D, la correspondiente matriz de paso P y comprueba que D = P AP, donde A es la matriz de la aplicación f.

13 MATEMÁTICAS Parte I Álgebra Final 3 Junio 8 Primero de Ciencias Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha. Consideramos la base de R 3 B = { u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, )}, y sea T : R 3 R la aplicación lineal tal que T ( u ) = e T ( u ) = e T ( u 3 ) = e + e donde B c = { e = (, ), e = (, )} es la base canónica de R. a) Determina la matriz de la aplicación lineal en la bases canónicas de R 3 y R. b)halla las ecuaciones cartesianas y una base del núcleo de la aplicación T referidas a la canónica de R 3. c) Obtener las ecuaciones implícitas del subespacio imagen por T del subespacio V =< (,, ), (,, ) >. Sea H el subespacio de R 3 definido por las ecuaciones cartesianas { x + y = z = a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal para el producto escalar usual de R 3. b) Calcula la proyección ortogonal del vector u = (,, ) sobre el subespacio H. c) Obtén el subespacio ortogonal a H, H, y una base para el mismo. 3. Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal dada por f(x, y, z) = (x y, x, x z) a) Encuentra la matriz de f respecto a la base canónica de R 3. b) Halla la imagen mediante f del espacio vectorial V : x y + z =. 4. Consideramos en R 3 los subespacios V =< (,, ) > y V =< (,, ), (,, ) >. Determina las ecuaciones implícitas de V y V y una base de cada uno de ellos. Nota: Los alumnos que tengan que realizar examen de 3 o 4 partes sólo deben hacer los ejercicios y. Los alumnos que tenga o partes deben hacer los cuatro ejercicios.

14 MATEMÁTICAS Parte I Álgebra Final 7 Julio 8 Primero de Ciencias Químicas FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha. Consideramos la base de R 3 B = { u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, )}, y sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal tal que T ( u ) = u + u T ( u ) = u + u 3 T ( u 3 ) = u + u + u 3 a) Halla la matriz de la aplicación en la base canónica de R 3. b)halla las ecuaciones cartesianas y una base del núcleo y de la imagen de la aplicación T. c) Es T una aplicación inyectiva? Es sobreyectiva?. Sea H el subespacio de R 3 definido por las ecuaciones cartesianas { x + y = z = a) Determina las ecuaciones paramétricas de H y una base ortonormal para el producto escalar usual de R 3. b) Calcula la proyección ortogonal del vector u = (,, ) sobre el subespacio H. c) Calcula el ángulo formado por u y proy H u. 3. Consideramos en R 3 los subespacios V =< (,, ) > y V =< (,, ), (,, ) >. Determina las ecuaciones implícitas de V y V y una base de cada uno de ellos. 4. Sabiendo que la aplicación lineal f transforma los vectores u = (,, ), u = (,, ) y u 3 = (,, ) en los vectores w = (, α, ), w = (,, ) y w 3 = (,, 3) respectivamente: a) Estudia para qué valores de α R la matriz de f es diagonalizable. b) En los casos en que sea diagonalizable, halla la matriz diagonal D, la correspondiente matriz de paso P y comprueba que D = P AP, donde A es la matriz de la aplicación f. Nota: Los alumnos que tengan que realizar examen de 3 o 4 partes sólo deben hacer los ejercicios y. Los alumnos que tenga o partes deben hacer los cuatro ejercicios.

15 Examen FInal de Matemáticas Primero de Licenciatura Química 5 de Junio de 9 Facultad de Ciencias Químicas Universidad de Castilla-La Mancha PARTE DE ÁLGEBRA. Se considera el endomorfismo f definido en R 3 por las siguientes condiciones: f( e ) = e + 5 e 3 e 3 f( e ) = 4 e + 7 e 4 e 3 f( e 3 ) = e + 3 e + e 3 (a) Determinar una base del núcleo y de la imagen de la función f. (b) Determinar las ecuaciones implícitas del núcleo y de la imagen de f. (c) Indicar si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.. En R 3 con su producto escalar usual consideramos su subespacio H y un vector u t = (, t, 3). H : x + y 3z = (a) Para t = calcula la proyección ortogonal del vector u sobre H. (b) Para qué valor de t, H = L{ u t }? 3. Sea f : R 3 R 3 un endomorfismo dado por f(x, y, z) = ( x + y z, x y z, x y + z). (a) Encontrar la matriz A de f respecto a la base canónica. (b) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz A. (c) Diagonalizar (si es posible) la matriz A y encontrar la matriz de paso P. 4. Buscar una base del subespacio F = (,,, ), (,,, ), (,,, ) de R 4 y ampliarla hasta una base de R 4. Buscar un suplementario de F. Observaciones: Si te presentas a una ó dos partes tienes que hacer todos los ejercicios. Si te presentas a tres partes tienes que hacer los ejercicios, y 3. Si te presentas a cuatro partes tienes que hacer los ejercicios y.

16 Examen Final de Matemáticas Primero de Licenciatura Química 7 de Julio de 9 Facultad de Ciencias Químicas Universidad de Castilla-La Mancha PARTE DE ÁLGEBRA. Sea B = { u = (,, ), u = (,, ), u 3 = (,, )} una base de R 3 y sea f : R 3 R la aplicación lineal definida por: f( u ) = 3 e + e, f( u ) = e + e, f( u 3 ) = 3 e + e, donde B c = { e, e } es la base canónica de R. Se pide: (a) Calcular la matriz de la aplicación f respecto de las bases B de R 3 y B c de R. (b) Calcular la matriz de la aplicación f respecto de las bases canónicas de R 3 y R. (c) Determinar las ecuaciones cartesianas y paramétricas del Ker f en la B c de R 3. (d) Indicar si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.. En el espacio euclideo R 4 con su producto escalar usual consideramos su subespacio H: H = {(x, y, z, t) R 4 : x + y z + t =, x + y z + 3t = }. (a) Calcula las ecuaciones paramétricas y cartesianas de H. (b) Sea u = (,,, 5). Calcula proy H ( u ). (c) Recordando que R 4 = H H, y que, por tanto, existe una única pareja de vectores h y h, con h H y h H tales que u = h + h, encuentra estos vectores h y h. 3. Sea f : R 3 R 3 un endomorfismo definido por f(x, y, z) = ( x + y z, 3x + y + z, 3x y + 3z). (a) Calcular la matriz A de la aplicación f. (b) Calcular los autovalores y autovectores de la matriz A. (c) Diagonalizar, si es posible, la matriz A y encontrar la matriz de paso P.