Apellidos: Nombre: NIF:

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1 Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas Algera Lineal 4//8 Segunda parte Apellidos: Nomre: NIF: Ejercicio puntos) Se considera la aplicación lineal f : R R [x] definida como sigue f a, ) = a + + x + a + )x a) Calcular la matriz asociada a f en las ases canónicas de R y R [x]. ) Decir si es f inyectiva. Es suprayectiva?. Justifica las respuestas. c) Calcular f + x + x y expresar el resultado en la ase B =, ),, )} de R. Se considera ahora la aplicación lineal g : R [x] R cuya matriz asociada en la ase B = + x, x + x, + x + x } de R [x] y la ase canónica de R es M = d) Dado el endomorfismo T : R R definido como sigue: T v) = gf v)), calcular la matriz de T en la ase canónica de R. e) Calcular A n, n Z siendo A la matriz asociada al endomorfismo T calculada en el apartado anterior. f) Decir si existe algún vector u R tal que T n u) = u, n N. Razona la respuesta. g) Existe algún vector u R distinto de tal que lím n + T n u) =? Razona la respuesta. Solución: a) Las imágenes de los vectores de la ase canónica de R son f, ) = + x f, ) = + x + x con lo que la matriz de la aplicación en las ases canónicas de R y R [x] es N = } ) f inyectiva Ker f = a N = luego f es inyectiva. Por el teorema del rango entonces dim Im f = y a = dim R = dim Imf + dim Ker f f suprayectiva Im f = R [x] lo que es imposile ya que dim Im f = < dim R [x]. a + = = a = =

2 c) Para calcular la imagen recíproca en la ase B, se utiliza la matriz N calculada anteriormente, que la expresa en la ase canónica de R y después se hace un camio de ase para expresarla en la ase pedida. f + x + x = a, ) R / f a, ) + x + x } B c Por tanto a N = α a = α f + x + x =, ) a + = α = α a = = α en la ase canónica. Para expresar el suespacio en la ase B =, ),, )} de R, se resuelve el sistema siguiente: a a + = a = = = = B c B c B B en el que la matriz de coeficientes es la matriz de camio de ase de la ase canónica a la ase B, con lo que f + x + x =, ) en la ase B. d) Como el endomorfismo T es composición de las aplicaciones lineales f y g, la matriz asociada a T es el producto de las matrices asociadas a g y f respectivamente y en este orden. Dee tenerse en cuenta que la matriz asociada a g dee estar expresada en una cierta ase de R [x] y la canónica de R y que la matriz asociada a f dee estar expresada en la ase canónica de R y una cierta ase de R [x] que dee coincidir con la ase inicial para la matriz de g. Para que la ase del espacio R [x] coincida en amos casos, se calcula la matriz asociada a g en las ases canónicas de R [x] y R, ya que se conoce la matriz asociada a f en las ases canónicas de dichos suespacios teniendo en cuenta el siguiente esquema de camio de ase M g: R [x] B P A R [x] Bc en el que P es la matriz de camio de ase tomando como ase antigua la ase canónica y como ase nueva la ase B de R [x] y B la matriz asociada a g en las ases canónicas de R [x] y R P =, P = La matriz asociada a T en la ase canónica de R es A = BN = R B c I R B c y B = MP = e) Para calcular A n, n Z, dee tenerse en cuenta que la matriz A dee ser inversile si n < y, en este caso no lo es. Para el caso de valores de n positivos, se puede calcular A n sin prolemas, ya que: λ pλ) = deta λi) = det = λ) λ) λ )

3 por lo que el conjunto de valores propios de T es σt) =, }. S) = X / A I)X = []} es decir x = x = α, y = y y S) =, ) Con respecto a S) = X / AX = []} es decir x = x = α, y = α y y S) =, ). De esta forma A n = ) n n ) = f) Los vectores u R que cumplen la condición T n u) = u, n N son los asociados al valor propio, así que se calcula dicho suespacios) =, ) luego los vectores α, ) R cumplen la condición. g) Los vectores u R distintos de que cumple la condición lim n T n u) = son los vectores propios asociados a valores propios con valor asoluto menor que, en este caso S) =, ) luego los vectores α, α) R cumplen la condición. Ejercicio punto) Dada la aplicación q : R 4 R, cuya expresión en una ase e, e, e, e 4 } de R 4 es q α, x, y, z, t) = αx + y + αz + t + xz + yt a) Decir para qué valores de α, R q α, es definida positiva. Decidir para qué valores de α, R q α, es definida negativa. ) Escoger el valor más pequeño de α, Z para que la aplicación dada sea un producto escalar y calcular una ase v, v, v, v 4 } de R 4 en la que la matriz asociada al producto escalar sea diagonal. Dar la relación matricial que existe entre las matrices asociadas a q en las ases e, e, e, e 4 } y v, v, v, v 4 } de R 4. Solución a) La matriz asociada a q α, en la ase e, e, e, e 4 } de R 4 es α A = α Aplicando el método de Gauss, se expresa la forma cuadrática como suma de cuatro cuadrados. Como los elementos de la diagonal principal si la forma es definida tanto negativa como positiva) son no nulos, se tiene que α y q α, x, y, z, t) = αx + y + αz + t + xz + yt = α x + x z ) + y + y t ) + αz + t = α = α x + z ) z α α + y + t ) t + αz + t = = α x + z ) + y + t ) + α ) z + ) t α α )

4 y haciendo el camio de variales x = x + z α y = y + t z = z t = t la forma cuadrática se expresa como suma de los cuatro cuadrados citados q α, x, y, z, t ) = αx + y + α α z + Entonces q α, será definida positiva si los cuatro coeficientes de los cuadrados son positivos, es decir α > > α > α α > > > y definida negativa si los cuatro coeficientes son negativos α < < α < α α < < < ) Escogiendo α = =, que son los valores enteros más pequeños que hacen que q α, sea definida positiva, se tiene q x, y, z, t) = x + y + z + t + xz + yt y, teniendo en cuenta las operaciones del apartdo anterior q x, y, z, t) = x + z ) + y + t ) + z + t El camio de variales del apartado anterior permite expresar las variales antiguas en función de las nuevas x = x z y = y t z = z t = t lo que lleva asociado un camio de ase de la ase inicial e, e, e, e 4 } a una ase ortogonal v, v, v, v 4 } en la que la matriz asociada al producto escalar es diagonal. La matriz que relaciona las coordenadas de un vector en la ase inicial x, y, z, t) con las de ese vector en la ase final x, y, z, t ) es la matriz de camio de ase P de e, e, e, e 4 } a v, v, v, v 4 } x y z t = x y z t t X = PX y la ase v, v, v, v 4 } es v = e v = e v = e + e v 4 = e + e 4

5 La matriz de la forma cuadrática en la ase v, v, v, v 4 } es y se cumple que D = D = P t AP Ejercicio punto) En el espacio euclídeo R se considera el suespacio H = x, y, z) R / x + y z = }. Se pide: a) Calcular una ase ortonormal B de H. ) Calcular la proyección ortogonal T de R sore H. c) Calcular la simetría ortogonal respecto de H. d) Calcular un giro de ángulo π 4 en torno al eje V =,, ). Solución: a) Podemos resolver este apartado de dos formas alternativas: Método Lo primero, oservamos que H es un suespacio de un espacio de dimensión, que está definido por una ecuación implícita, por lo que su dimensión es =, por lo que uscamos una ase con vectores ortogonales y unitarios. Buscamos un vector cualquiera no nulo que cumpla las ecuaciones implícitas que definen H, por ejemplo,, ), este vector dividido por su longitud será el primer vector de la ase pedida. El segundo vector dee estar en H, es decir, dee cumplir la ecuación implícita de H: x + y z = y además dee ser ortogonal al vector que ya hemos calculado, es decir x + z =, por lo tanto deemos resolver el sistema lineal: } } x + y z = x + z = x = z = Tomaremos el vector,, ), así una ase ortonormal de H puede ser: B = u =,,, u =, 6 6, )} 6 Método Considerando el producto escalar estandar y teniendo en cuenta que H = v =,, ), v =,, ) se calcula una ase ortogonal de H por el método de ortogonalización de Schmidt, a partir de la que se otendrá una ase ortonormal de H. La ase ortogonal que se usca se llamará w, w } y se calcula como sigue w = v v = α w + w, w w =

6 con de lo que se deduce α = v w w w = w = v w con lo que la ase w, w } es,, ),,, )}. Una ase ortonormal construida a partir de w, w } es u, u } con u = w w =,, ), u = w w = 6,, ) ) Se calcula una ase ortonormal de R a partir de la ase ortonormal de H y su suplemento ortogonal H = u =,, ). En la ase ortonormal u, u, u }, la matriz asociada a la proyección ortogonal de R sore H es ya que A = T u ) = u, T u ) = u, T u ) = c) En la ase ortonormal calculada en el apartado anterior, se cumple T u ) = u, T u ) = u, T u ) = u con lo que la matriz asociada a la simetría ortogonal respecto de H en la ase ortonormal u, u, u } es M = d) Considerando una ase ortonormal u, u, u } de R formada por un vector de V y dos de su suplemento ortogonal, V, al matriz asociada al giro de ángulo π 4 en torno al eje V es El suplemento ortogonal de V = cos π sen π N = 4 4 sen π cos π 4 4 u =,, ) es 6 = V = v R / v u =, u V } y para uscar vectores v ortogonales a V asta que sean ortogonales a una ase de V, queda V = x, y, z) R / x, y, z),, ) = } = = x, y, z) R / x + y z = } =,, ),,, )

7 Los vectores de la ase dada de V no son ortogonales, así que se usca una ase ortogonal de V aplicando a los vectores dados el método de ortogonalización de Schmidt. V = v =,, ), v =,, ) La ase ortogonal uscada será w, w } y se calcula como sigue w = v v = α w + w, w w = con de lo que se deduce α = v w w w = = w = v + w con lo que la ase w, w } es,, ),,, )}. Una ase ortonormal construida a partir de w, w } es u, u } con u = w w =,, ), u = w w =,, )