AUTÓNOMA DE MADRID. Dpto. Análisis Económico: Economía Cuantitativa UNIVERSIDAD. Soluciones de los ejercicios de Álgebra Lineal.

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1 Soluciones de los ejercicios de Álgebra Lineal Curso 016/017 Versión

2 Índice general 1. Espacios vectoriales 1.1. Cuestiones test Problemas Matrices y aplicaciones lineales 5.1. Cuestiones test Problemas Traza y determinante Cuestiones test Problemas Sistemas lineales Cuestiones test Problemas Diagonalización. Autovalores y autovectores Cuestiones test Problemas Formas cuadráticas Cuestiones test Problemas Convexidad de conjuntos y funciones Cuestiones test Problemas

3 Capítulo 1 Espacios vectoriales 1.1. Cuestiones test 1. a,c. b,c 3. a,d 4. c 5.a,b,d 6. b 7.a, c. 1.. Problemas 1. α = arc cos( 1 = π ; β = arc cos(0 = π.. El módulo de v es H no es subespacio vectorial de R 3 [x]. 4. Sólo los conjuntos A, B y F son subespacios vectoriales de R W 1 W = {(x, y, z R 3 x = 0, y = z} = W, W 1 + W = {(x, y, z R 3 x = 0} = W El sistema de vectores {(1, 1,, ( 1, 1,, (0, 0, 1} no genera R {(1, 0,, 0, (0, 1, 0, 0, (0, 0, 0, 1} es un sistema de generadores del subespacio A. {(1, 1, 0, 0, (0, 0, 1, 1} es un sistema de generadores del subespacio B. {(0, 0,, 1} es un sistema de generadores del subespacio F. 8. (1,, 3 no es combinación lineal de los vectores del sistema S y tampoco lo es el vector (1, 1, (a, (b, (e linealmente dependientes; (c, (d linealmente independientes. 10. a (1,, (, 3 b (1,, 3, (, 0, 1 c (1,, 1(3, 1, 1(1, 0, 1 d (1,, 1, 1, (3, 0,,, (0, 4, 1, 1

4 e (1,, 3, 0, (1, 0, 0, 1, (1, 0, 0, 1 a R b {(x, y, z R 3 : 4z = 7y x} c R 3 d {(x, y, z, t R 4 : 8x 3y 13z t = 0} e {(x, y, z, t R 4 : 3y z = 0} 11. (a No Si. (b Si. 1. {(0, 1, 0, 0, (0, 0, 0,, (1, 0,, 0} es una base del subespacio A; dim A = 3. {(0, 0, 1, 1, (1, 1, 0, 0} es una base del subespacio B; dim B =. {(0, 0,, 1} es una base del subespacio F ; dim F = a u 1 u = u 1 u 3 = u 1 u 4 = u u 3 = u u 4 = u 3 u 4 = 0. b v = (1, 3, 5, 6 = 9 4 u u u u 4. c v = (a, b, c, d = a+b+c+d 4 u 1 + a+b c d 4 u + a b c+d 4 u 3 + a b+c d 4 u 4. d B = { u 1 u 1 = ( 1, 1, 1, 1, u u = ( 1, 1, 1, 1, u 3 u 3 = ( 1, 1, 1, 1, u 4 u 4 = ( 1, 1, 1, 1 }. 14. dim U = 3. {(1, 0, 0, 0, (0, 1, 0, 1, (0, 0, 1, } es una base de U. dim V =. {(0,, 1, 0, (1, 0, 0, 1} es una base de V. U V = {(x, y, z, t R 4 x = t = 0, y = z}; dim(u V = 1; {(0,, 1, 0} es una base de U V. U + V = L((1, 0, 0, 0, (0, 1, 0, 1, (0, 0, 1,, (0,, 1, 0, (1, 0, 0, 1 = R 4 ; dim(u + V = 4; {(1, 0, 0, 0, (0, 1, 0, 1, (0, 0, 1,, (0,, 1, 0} es una base de U + V. 15. a (, 1 y (5, 3 b (3, 1 y (5, 16. (1, 0, 1, / V. (1, 0, 1, V 1 ; (1, 0, 1, = (1, 0, 1, 0 + 0(0, 1, 1, 0 (0, 0, 0, 1. Coordenadas = (1, 0,. (1, 0, 1, V 3 ; (1, 0, 1, = (1, 1, 0, 1 + (1, 0, 0, 0 + (0, 1, 1, 0 (0, 0, 0, 1. Coordenadas = ( 1,, 1, a {(1, 1, 0, 0, (0, 0, 1, 1} es una base de H y dim H =. 3

5 b dim L = 3; L = {(x, y, z, t : x = y + z + t}. H L = {(x, y, z, t : x = y = 0, z + t = 0}; dim(h L = 1; {(0, 0, 1, 1}} es una base de H L dim(h + L = 4; {(1, 1, 0, 0, (1, 0, 1, 0, (1, 0, 0, 1, (1, 1, 0, 0} es una base de H + L. 4

6 Capítulo Matrices y aplicaciones lineales.1. Cuestiones test 1. a,d. a,d 3. a,b 4. a,b... Problemas 1. Sólo las aplicaciones de los apartados (b y (d son aplicaciones lineales.. Expresión matricial (en las bases canónicas: ( (a f(x, y, z = (b f(u 1, u = (c f(u, v, w = ( u1 u x y z (d f(u 1, u, u 3 = u v w ( ( 1 0 x (e f(x, y = 0 1 y (f f(x, y = a ker(f = {(x, y, z R 3 : 4x + 5y = 0, z = x}. dim ker(f = 3 = 1. dim Im(f =, Im(f = R. b ker(f = {(0, 0}. dim ker(f = 0. dim Im(f =, Im(f = {(x, y, z R 3 : z = 3x 4y}. c ker(f = {(0, 0, 0}. dim ker(f = 0. dim Im(f = 3, Im(f = R 3. d ker(f = {(x, y, z R 3 : z = 0, x = y}. dim ker(f = 1. dim Im(f =, Im(f = {(x, y, z R 3 : y = 0}. e ker(f = {(0, 0}. dim ker(f = 0. dim Im(f =, Im(f = R. 5 ( x y. u 1 u u 3

7 f ker(f = {(0, 0}. dim ker(f = 0. dim Im(f =, Im(f = {(x, y, z, t R 4 : x = y z, t = y + z}. 4. f(x, y, z = (x + y, x + z. 5. No existe ninguna aplicación lineal f : R R tal que f(, 3 = (0, 1, f(, 3 = (1, 0. Pues toda aplicación lineal tal que f(, 3 = (0, 1 debe verificar también que f(, 3 = f(, 3 = (0, A = a a a. Si a {0, 5, 5} entonces dim Imf =. Por tanto Imf R 3. Si a / {0, 5, 5} entonces dim Im(f = 3. Por tanto Imf = R Se tiene: (f + g(x, y, z = (4x, 4x + 3z, x + z, (f g(x, y, z = (4x 3y, 5x 3z, x z (f g(x, y, z = (4y z 3x, z + y, y (g f(x, y, z = (z + x, 14x 3y, x. M(f = , M(f g = M(fM(g = 8. a M B1 B (f = b M B1 B (f = c M B1 B (f =, M(g = ( ( ( , M(f g = M(f M(g =, M(g f = M(gM(f = (d M B1 B (f = (e M B1 B (f = 9. a f(x, y, z = (11x 5y, x y, y + z, ( b f(x, y, z = 80x+31y+530z 4, 13x+y 10z 4, 8x y+10z 1, c f(x, y = (1x y, 36x y, x y, d f(x, y, z = (4x 3 y + z, 6x + 5 y z, (f M B1 B (f =

8 e f(x, y, z = ( 7x 19y+19z, 11x 31y+33z, 8x y + 3z 10. rg(a =, rg(b =, rg(c = (a 4A + C t = 3, (b (BA t C = (c B + AC = 0 9, (d CA = (e (B I = 13. a = 1 y b = ( (, (f (CA 1 = ( , 0 1/3 1/14 1/4 (a f 1 (x, y = (x, y (c f 1 (x, y, z = ( x y 3, x+y 3, z (b f no posee inversa. (d f 1 (x, y, z, t = ( x+y 4, y, z + t 3, t Las matrices A, C y D no poseen inversa. B 1 =, B es triangular inferior, C es triangular superior, D es simétrica y E es antisimétrica. ( A = A es idempotente, B es ortogonal, C es unipotente y D es nilpotente. 7.

9 Capítulo 3 Traza y determinante 3.1. Cuestiones test 1. b.. a,b 3. a 4. b 3.. Problemas 1. tr (A = 4, tr (B = 16, tr (D = 4 y las matrices C, E y F no tienen traza.. Las matrices A + B y 15E 14F no tienen traza y tr (A + 3D = 16. α α 4α 3. αa = α 0 3α, tr(a = 4, tr(αa = 4α = αtr(a. α 3α 5α 4. tr(ab = 7 = tr(ba I3 = I 3I 3 = 0 1 0, 3 = tr(i3 tr(i 3tr(I 3 = 9, por tanto tr(atr(a. 6. A = 1, B = 1, C = 1, D = A = 60, B = 8, C = a Los menores complementarios son M 13 = 11, M = 0, M 11 = 1. tr(a b Los adjuntos de los elementos de la segunda fila son A 1 = 0, A = 0, A 3 = 5. c A = A + B = A + B = 7 = 9. 8

10 10. A = B = 1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b = El rango de la matriz A es 3. 1 a + b + c b + c 1 a + b + c c + a 1 a + b + c a + b = a F 1 a F 3 a F a F = Los vectores (4, 0, 1, (1, 5, 1, (7, 5, 1 son linealmente dependientes, = 0. W = L{(4, 0, 1, (1, 5, 1, (7, 5, 1} = {(x, y, z R 3 : 5x = 0z 3y} y dim W =. 13. La matriz A tiene rango completo si a 0 y a 1. Para a = 1/ 1/ 1/ 0 A 1 = 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1/ 3/ A = 1, B = 454, C = 18. 9

11 Capítulo 4 Sistemas lineales 4.1. Cuestiones test 1. a. b,c 3. c,d 4. a, c. 4.. Problemas 1. x = 14, y = 46.. i x = 13 5, y = ii x = 0, y = 3. iii Incompatible. 3. i Sistema compatible indeterminado (x, y, z = ( z 6, 5z 6, z. iisistema compatible indeterminado (x, y, z, t = ( t 13z 5, z 3t 5, z, t. 4. k = i W 1 = {(x, y, z R 3 x = 1 5 8z, y = 8 z}, dim(w 1 = 1. ii W = {(x, y, z, t R 4 x = z 3t, y = t 3z}, dim(w =. 6. i Sistema compatible determinado (x, y, z, t = (0, 0, 0, 0. ii Sistema compatible indeterminado (x, y, z, t = ( 9z 39t 17, 19z 0t 17, z, t. iii Sistema compatible determinado (x, y, z, t = (, 1, 3, 4. iv Sistema Incompatible. 7. Si, f(0, 1, 3 = (1, 3, i (x, y, z = (, 1, 3. ii (x, y, z = (3, 1,. 9. i Si k = entonces el sistema es compatible indeterminado. Si k = 3 entonces el sistema es incompatible. Si k y k 3 entonces el sistema es compatible determinado. 10

12 ii Si k = 4 entonces el sistema es compatible determinado. Si k 4 entonces el sistema es incompatible. 10. i Si c 5a + b = 0 entonces el sistema es compatible indeterminado. Si c 5a + b 0 entonces el sistema es incompatible. ii Si a 4 y b cualquiera entonces el sistema es compatible determinado. { b = 7 el sistema es compatible indeterminado. Si a = 4 entonces si b 7 el sistema es incompatible. 11. Solución de la primera cuestión es : x 1 = 40,000 5x 3, x = x , 5000 x Solución de la segunda cuestión es : x 1 = 30,000 5x 3, x x = x , 5000

13 Capítulo 5 Diagonalización. Autovalores y autovectores 5.1. Cuestiones test 1. c. c 3. a 4. b 5. a 6. b,d. 5.. Problemas 1. a B 1 = {(1, 0, 0, (0, 0, 1, (0, 1, } ; D 1 = b B = {(1, 0, 1, (, 0, 1, (0, 1, } ; D = c f 3 no es diagonalizable a Sí, pues f 1 (0, 1, = (0,, 4. (b No, ya que f (4, 0, 3 = (0, 0, 1 (1, 0, 9. b Sí, pues f 3 (, 0, 0 = (, 0, a Autovalores: λ 1 = 0, λ = 1 y λ 3 = 1. Además.. V (λ 1 = 0 = {(x, y, z R 3 / x = y = 0} V (λ = 1 = {(x, y, z R 3 / x + y = 0, z = 0} V (λ 3 = 1 = {(x, y, z R 3 / x = z, x = y}. b ker(f = V (λ 1 = 0 = {(x, y, z R 3 / x = y = 0}; Im(f = {(x, y, z R 3 / x + y + z = 0}. ( ( a D 1 = ; P = 3 1 1

14 b La matriz A no es diagonalizable c D 3 = ; P 3 = d D 4 = e D 5 = ; P 4 = ; P 5 = f La matriz A 6 no es diagonalizable g D 7 = ; P 7 = h D 8 = ; P 8 = a det A 1 = det D 1 = 3; tra 1 = trd 1 = 6. b La matriz A no es diagonalizable. c det A 3 = det D 3 = 36; tra 3 = trd 3 = 13 d det A 4 = det D 4 = ; tra 4 = trd 4 = e det A 5 = det D 5 = 18; tra 5 = trd 5 = 8 f La matriz A 6 no es diagonalizable g det A 7 = det D 7 = 4; tra 7 = trd 7 = 6 h det A 8 = det D 8 = 0; tra 1 = trd 1 = 4 ( a a = 3, b = 7. b a = 4, b =. 8. a = 0, b = 5 3, c = 1; a =, b = 1, c = 1; a = 3, b = 7 3, c = a = 3, b = 4. 13

15 11. a a 1. b a = 0. c a 0 y b a D 1 = b D = ; P 1 = ; P = 13. a λ 1 = 1 doble (m 1 = ; λ = b λ 1 = 1; λ = 1 3 ; λ 3 = n 4 5 n n+1 5 n n 14. a A n 1 = n+1 n ( 3 n 3 n ( 3 n 1 3 n +5 ( 3 n 17 6 n b A n = 0 3 n 4(3 n 6 n n Si denotamos por x(t e y(t respectivamente los porcentajes de telespectadores de los informativos de las cadenas WW y R7 al pasar t días, entonces o equivalente en notación matricial. x(t + 1 = 0,6x(t + 0,3y(t y(t + 1 = 0,4x(t + 0,7y(t. z(t + 1 = A z(t ( 0,6 0,3 donde z(t = (x(t, y(t, z(0 = (0,5, 0,5 y A = 0,4 0,7 z(7 = Az(6 = A z(5 =... = A 7 z(0 = ( 3+4 (0, (0, (0, (0, Así pues ( 0,5 0,5 = por lo que al cabo de una semana el informativo nocturno de la cadena WW tendrá una audiencia del 4,85 % frente a un 57,14 % para R7. 14 ( 0,485 0,5714

16 Capítulo 6 Formas cuadráticas 6.1. Cuestiones test 1. a. a 3. a 4. b 5. b 6.. Problemas 1. A 1 = , A = , A 3 =. a Se deja al lector. 1 1 b Q = Q = A 1+A t = A +A t = A 3+A t a q 1 es semidefinida positiva. b q es indefinida. c q 3 es indefinida. d q 4 es definida positiva. e q 5 es indefinida. f q 6 es semidefinida positiva. g q 7 es semidefinida negativa. h q 8 es definida negativa. definida negativa si a < 5 semidefinida negativa si a = 5 4. a q 1 es indefinida si 5 < a < 5. semidefinida positiva si a = 5 definida positiva si a >

17 b q es semidefinida positiva cuando a 1 y b = 1. En el resto de casos es indefinida. definida negativa si a < semidefinida negativa si a = c q 3 es indefinida si < a < semidefinida positiva si a = definida positiva si a > 16

18 Capítulo 7 Convexidad de conjuntos y funciones 7.1. Cuestiones test 1. a. a 3. c. 7.. Problemas 1. a si. b no. c si. a si b si a Ni cóncava ni convexa en. estrictamente convexa si a > 0 y 4ab c > 0 estrictamente cóncava si a < 0 y 4ab c > 0 ni cóncava ni convexa si 4ab c < 0 convexa si a > 0 y 4ab c b f es = 0 cóncava si a < 0 y 4ab c = 0 convexa si a = c = 0 y b > 0 cóncava si a = c = 0 y b < 0 cóncava y convexa si a = b = c = 0 c Es cóncava en R d Ni cóncava ni convexa en R