DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I UNIVERSIDAD DE SEVILLA BOLETINES DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS I. (b) f(x) = x2 1 x 2 + 3x + 2 (e) f(x) =

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1 BLOQUE I: CÁLCULO IFERENCIAL. Tema 1: Funciones de una variable EPARTAMENTO E ECONOMÍA APLICAA I UNIVERSIA E SEVILLA BOLETINES E PROBLEMAS E MATEMÁTICAS I 1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: f() = 2 + ( 3 2 ) f() = log 2 1 f() = (e) f() = (c) f() = (f) f() = Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico. Qué condiciones debe verificar este punto para que la derivada esté definida? f() = 4 f() = e 1 (c) f() = f() = e sen() (e) f() = 2 cos() (f) f() = (g) f() = arctan 3 + ln 3 (h) f() = sen 2 ()cos 4 () + 1 (j) f() = 3 ( + 2) (k) f() = e 3e 2 (l) f() = 1 + e (i) f() = sen(15) cos(2) cos() 1 sen 2 () 3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en los que son continuas y derivables (a, b > 0). f() = 2e 2 +1 ln( 3 + ) (c)f() = ln ( 2 + 1) f() = a 2 2 (e)f() = 3 a2 2 2 a (f)f() = ( + 2 ) (g)f() = (b + 1)e a2 +1 (h)f() = ea + 1 a + b (i)f() = ln 2 1 a b (j)f() = sen(a) cos(a) (k)f() = sen(a) (l)f() = arctg (a 2 + b) cos (m)f() = cos() (n)f() = (o)f() = (sen ) Tema 2: Funciones de varias variables. 4. Estudiar el dominio de eistencia de las siguientes funciones: f(, y) = 2 + y 2 ( ) y f(, y) = (c) f(, y) = log y y 5. Estudiar las curvas de nivel de las siguientes funciones: f(, y) = 2 + y f(, y) = y 6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones ( ) + y + y f(, y) = g(, y) = ln y y 1

2 7. Calcular las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones en un punto genérico. Qué condiciones debe verificar este punto? f(, y) = y f(, y) = 32 2y 2 (c) f(, y) = 2 y + y 2 + y 2 + y 2 y + y f(, y) = (e) f(, y) = 2 1 +y (f) f(, y) = y + y y (g) f(, y) = arctan y + arctan (h) f(, y) = e (i) f(, y) = 2 y 2 y 2 y y 2 (j) f(, y, z) = ln(cos( + y + z)) (k) f(, y, z) = cos(z + yz) (l) f(, y, z) = e sen y cos z 8. Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto P que se indica. f(, y) = + y y ey P (1, 1) f(, y) = + y P (1, 0) (c) f(, y) = + y P (0, 1) f(, y) = e sen( + y) P (0, π) (e) f(, y, z) = y+z P (1, 1, 1) (f) f(, y, z) = 2 z +y P (1, 1, 1) (g) f(, y, z) = yz P (1, 1, 1) (h) f(, y, z, t) = (t) yz P (1, 1, 1, 1) 9. Para f(, y) = 3 2y f(, y) = ln(3 2y) f(, y) = 3 3 2y eterminar y representar el dominio de f. Es continua en su dominio? eterminar y representar el vector gradiente en el punto (2, 1) junto con la curva de nivel pasa por este punto. Es derivable con respecto a e y en todo su dominio?. (c) eterminar la diferencial de f en el punto (2, 1). Es diferenciable en todo el dominio?. 10. Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto P que se indica. f(, y) = 3 y y 3 P (1, 1) f(, y) = e y P (1, 0) 2 + y 2 (c) f(, y) = ln(2y) P (0, e) f(, y) = cos(y) + 2 sen(2 y) P (1, π 2 ) (e) f(, y, z) = + z ( ) + y P (0, 1, 1) (f) f(, y, z) = ln P (1, 1, 2) y z z BLOQUE II: CÁLCULO INTEGRAL. Tema 3: Cálculo de primitivas de funciones de una variable. 11. Calcular las siguientes integrales inmediatas: 4 d e 3 d (c) 2 1 d (e) d (f) 2 tan() d (g) d (h) 12. Calcular las siguientes integrales mediante integración por partes: arctan() d e d (c) 2 cos() d e sen() d (e) ln() d (f) sen() ln (cos()) d d e 1 + e d 2

3 13. Calcular las siguientes integrales racionales: (g) d d d d (e) d (h) d Calcular las siguientes integrales trigonométricas: d d cos() d (c) sen() sen() cos 2 () 1 sen 2 () 15. Calcular las siguientes integrales: e ln 3 3e 2 () d d (c) 1 + e sen 2 () + 2 cos 2 () (e) d (f) 4 2 d (g) sen() cos() e (1 + ln ) d (i) d (j) (k) 1 + e Tema 4: Integral definida de funciones de una variable. 16. Calcular, si es posible, las siguientes integrales definidas: e d 2 ln() π sen() d (c) (f) (i) d d d sen 2 () cos 4 () d 1 ln d (c) 5 e e 1 0 e + 3 π 4 (e) cos(2) Calcular el área de las siguientes regiones: {(, y) IR 2 / y 2 1, y 1 2 } 4 sen(2) d (f) {(, y) IR 2 / y, y 2, 2 + y 2 1} (c) {(, y) IR 2 / y 0, 2 + y 2 4, + y 2} ln ( 3 + ) d d e 3 sen(2) d (h) e 2 1 e d 2 ln d (l) e 2 d d 18. Calcular el área común a dos círculos de radio 1 y centros respectivos (0, 0) y (1, 0). Tema 5: Integrales múltiples de funciones de varias variables. 19. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales: (c) (e) d dy siendo = {(, y) IR 2 / 0 1, y + 1, y 0} 2 3 y ddy siendo = {(, y) IR 2 / 0 1, y + 1, y 0} 2 y ddy siendo = {(, y) IR2 / y 16, y, 6 y, 0, y 1} ye y2 ddy siendo = {(, y) IR 2 / 1 2, 0 y, y 2 } (2 1)e 2 +y ddy siendo = {(, y) IR 2 / + y 1, 1, y } d 3

4 (f) 2 ddy siendo = {(, y) IR 2 / y 0, ( 1) 2 + y 2 1, ( 2) 2 + y 2 1} 20. Calcular, utilizando el cambio a coordenadas polares, las siguientes integrales: y 2 ( 2 + y 2 1) ddy siendo = {(, y) IR2 / y 2 4, 0 y} ( 2 + y 2 ) 3 2 ddy siendo = {(, y) IR 2 / y, + y 1, 2 + y 2 1} 1 (c) 2 + y ddy siendo = {(, y) 2 IR2 / 2 + y 2 4, 1, y 0} y y ddy siendo = {(, y) 2 IR2 / 2 + y 2 16, y 0, 0 2} 21. Calcular las siguientes integrales y el área de los recintos: y d dy con = {(, y) 2 IR2 / 1, y 1, y 2} e 2 +y 2 d dy, donde = {(, y) IR 2 / 2 + y 2 a 2 } con a > 0. BLOQUE III: ÁLGEBRA MATRICIAL. Tema 6: Matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 22. adas las matrices: A = Calcular, si es posible:, B = , C = y = A + B C + (c) 4A 2 2C 3 (e) B C (f) C B (g) A B B A (h) A 3 (i) (C ) t (j) (A + B)(A B) (k) A 2 B 2 (l) (A B) Calcula los siguientes determinantes: (c) (e) Calcular, si es posible, la inversa de las siguientes matrices: (c) Calcular el rango de las siguientes matrices determinando un menor principal: (c)

5 26. Estudiar la resolubilidad de los siguientes sistemas y, si es posible, determinar sus soluciones: 2y z = 1 3 2z = 11 + y + z = 3 + y + z = 2 + 2y = 4 (c) y z = 2 y + z = 6 + 2z = y z = y z = 9 + y + z = 0 + y + 2z = 0 + y + z + t = 0 + y z = 0 (e) + 2y + 3z = 0 (f) + y z + t = 0 + y = 0 + 3y + 4z = 0 + y + t = 0 + y z + t = 0 (g) 2 + 2y 2z + 2t = Resolver por la regla de Cramer: 3y + 4z = y + 3z = 0 3 y + 2z = y 9z = y z = 9 2 5y 6z = 5 Tema 7: El espacio vectorial R n. Vectores. Subespacios vectoriales. Bases de R n. 28. Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son libres (l.i.) o ligados (l.d.): {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} (c) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, 1)} {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 1), (0, 1, 1)} (e) {{(0, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 0), (0, 2, 1, 1), (4, 6, 1, 3)} (f) {(2, 3, 0, 5), (0, 1, 0, 4), (1, 1, 0, 2)} 29. emostrar que los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes y epresar, si es posible, el primer vector en función de los otros dos. {(1, 3, 4), (7, 12, 23), (3, 2, 5)} {(1, 0, 0), (0, 1, 2), (0, 2, 4)} 30. Calcular la dimensión, una base, unas ecuaciones implícitas y unas ecuaciones eplícitas (paramétricas) de los siguientes subespacios. En que espacio vectorial están contenidos? E 1 = {(, y, z) IR 3 / + 2y + z = 0, = y z} E 2 = (1, 1, 1), ( 1, 0, 1) (c) E 3 = {(, y, z) IR 3 / = y, 2 2y = 0} E 4 = (1, 0, 1), (2, 0, 2) (e) E 5 = {(2α + 3β, 2α + 2β, α)/α, β IR} (f) E 6 = {(λ, 0, λ + µ, µ)/ λ, µ IR} (g) E 7 = {( 1, 2, 3, 4 ) IR 4 / 2 = 1 + 4, = 0} (h) E 8 = (1, 0, 2, 0), (0, 1, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0) 31. Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores son base de IR 3 : A = {(2, 0, 6)} B = {(1, 0, 0), (1, 0, 1)} (c) C = {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} = {(1, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 1, 0)} (e) E = {( 1, 1, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 1)} (f) F = {(1, 3, 1), (2, 1, 1), ( 4, 0, 1)} 5

6 32. Probar que B 1 = {( 1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0)} y B 2 = {( 3, 0, 3), ( 3, 2, 1), (1, 6, 1)} son bases de IR 3 y determinar las componentes del vector u = (1, 2, 3) con respecto a la base B 1 las componentes del vector v = ( 1, 0, 1) B2 con respecto a la base canónica (c) las componentes del vector w = (1, 1, 1) B1 con respecto a la base B adas las bases de IR 3 B 1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B 2 = {(2, 1, 0), (3, 2, 0), (0, 0, 1)} determinar las ecuaciones del cambio de base entre B 1 y la base canónica determinar las ecuaciones del cambio de base entre la base canónica y B 2 (c) determinar las ecuaciones del cambio de base entre B 1 y B 2 Cuáles son las componentes del vector v = (1, 2, 3) B1 con respecto a la base B 2?. Y las componentes del vector w = (1, 1, 1) B2 con respecto a la base B 1. Tema 8: iagonalización de matrices. 34. Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes matrices y, si es posible, para cada matriz A obtener la matriz P tal que P 1 AP es una matriz diagonal A 1 = A 2 = A 4 = (e) A 5 = Tema 9: Aplicaciones lineales. (c) A 3 = (f) A 6 = Calcular la dimensión, una base y unas ecuaciones implícitas linealmente independientes del núcleo e imagen de f( 1, 2, 3 ) = ( 1 + 3, 2 + 3, 1 + 3, ) f( 1, 2, 3, 4 ) = ( , , ) 36. adas las aplicaciones lineales f 1 ( 1, 2, 3 ) = ( 1 + 3, 2 + 3, 1 + 3, ) f 2 ( 1, 2, 3 ) = ( , , 0, ) g( 1, 2 ) = ( , 2, ) h( 1, 2 ) = (2 2, 1 ) Calcular si es posible, la epresión analítica y matricial de f 1 + f 2 y f 1 2f 2 Calcular si es posible, la epresión analítica y matricial de f 1 g y g f 2 (c) Calcula, si es posible, la epresión analítica y matricial de h 1 6

7 37. Realizar los siguientes cambios de base Calcular la epresión analítica y matricial de f( 1, 2 ) = ( 1 + 2, 2 1 2, 1 ) con respecto a las bases B = {(1, 1), (1, 0)} y B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} Calcular la epresión analítica y matricial de f( 1, 2, 3 ) = ( 1 + 3, 2 + 3, 1 + 3, ) con respecto a la base B = {(2, 1, 2), (5, 3, 1), (3, 2, 0)} y la base canónica. (c) Calcular la epresión analítica y matricial de f( 1, 2, 3, 4 ) = ( , , ) con respecto a la base canónica y la base B = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} Para B = {(1, 1), (0, 1)} y B = {(1, 1), (1, 0)} bases de IR 2 sea f( 1, 2 ) B = ( 1, ) B Calcular la epresión analítica de f con respecto a la base canónica (en ambos espacios). (e) Para B = {(1, 1), (0, 1)} y B = {(1, 1), (1, 0)} bases de IR 2 sea f(1, 1) = (1, 1) B f(0, 1) = (0, 2) B Calcular la epresión analítica y matricial de f con respecto a la base canónica. (f) Para B = {(3, 1), (5, 2)} sea f(3, 1) = (1, 1, 0) f(5, 2) = (0, 2, 1) Calcular la epresión matricial de f con respecto a las bases canónicas. 38. eterminar una epresión diagonal del endomorfismo f(, y, z) = (3 + z, + 2y + z, 2 + 4z). Tema 10: Formas cuadráticas. 39. Calcular la epresión matricial con respecto a la base canónica de las formas cuadráticas: q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (c) q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = Calcular, si es posible, la epresión diagonal de Jacobi de las siguientes formas cuadráticas: q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (c) q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) =

8 41. Calcular una epresión diagonal de autovalores de las siguientes formas cuadráticas: q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (c) q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = Clasificar atendiendo a su signo las formas cuadráticas: q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (c) q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (e) q( 1, 2, 3 ) = (f) q( 1, 2, 3 ) = (g) q( 1, 2, 3 ) = (h) q( 1, 2, 3, 4 ) = (i) q( 1, 2, 3, 4 ) = Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a S = {( 1, 2, 3 ) IR 3 / 1 = 3 } q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = (c) q( 1, 2, 3 ) = q( 1, 2, 3 ) = Clasificar atendiendo a su signo la forma cuadrática q( 1, 2, 2 ) = restringida a los subespacios S 1 = {(, y, z) IR 3 /2 + 3y z = 0} S 2 = {(, y, z) IR 3 / + 2y z = 0, y + z = 0} (c) S 3 = {( 1, 2, 3 ) IR 3 / 1 3 = 0} S 4 = {( 1, 2, 3 ) IR 3 / = 0} 8