PROBLEMAS DEL BLOQUE DE MATEMÁTICAS A = z 13. x 1 + 4x 2 2x 3 = 4 2x 1 + 7x 2 x 3 = 2 2x 1 + 9x 2 7x 3 = 1

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1 CURSO ADAPTACIÓN CIENTÍFICA Primero de Licenciatura e Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha PROBLEMAS DEL BLOQUE DE MATEMÁTICAS Álgebra. a) Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss 6 y = 7 z b) Procede análogamente en el sistema X C = B con = (,, ), C = 5 y B = (,, ) c) Resuelve ahora el sistema + 4 = = =. Resuelve por el método de Cramer el siguiente sistema y + z = + y z = 4 y + z =. Discute el siguiente sistema según los valores de k + y + z = + y + kz = k + y + kz = k 4. Calcula, si es posible, la inversa de las siguientes matrices ( ) ( cos α sin α A =, B = 4 e e, E = sin α cos α e e ). 5. Calcula los siguientes determinantes 4 (a) (b) 4 (c) 5 4 (d) 7 (e) 4 5 7

2 6. Calcula el determinante Halla el rango de la matriz A en función del parámetro λ siendo λ + λ + A =. λ 8. Obtener las raíces de la siguiente ecuación, conocida como ecuación característica donde I es la matriz unidad y A es la siguiente matriz A = 4 5. det (A I) =, () A las raíces de la ecuación () se les conoce como autovalores de la matriz A. Geometría. Halla las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas polares son a) r =, θ = π/. b) r =, θ = π/.. Halla las coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas son a) (, ). b) i j.. Siendo los vectores a = (, ), b = (, ) y c = (, 4). Obtener: a) a + b, b + a b) a, b, c/4 c) a + b c d) a c, ( a c) e) a + b y a + b 4. Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas en R y obtener en caso de que se corten obtener el punto de corte. 5. Clasifica y dibuja las siguientes cónicas: a) 4y = 9 b) 6y 9 = c) + (y ) = 9 d) + 4y = 4 e) + y = 6 r : (, y) = (, ) + t(, ) s : (, y) = (, ) + s(, )

3 6. Se conoce como la lemniscata de Bernoulli a la curva geométrica en el plano para la que las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, f y f, tienen producto igual a c, con c la distancia entra ambos focos. Si consideramos los focos f = (, ) y f = (, ), la lemniscata de Bernoulli tiene por ecuación [( + ) + y ][( ) + y ] =. Simplificando la epresión anterior y considerando el cambio a coordenadas polares = r cos α y y = r sin α con α [, π ), obtener la epresión de la lemniscata en coordenadas polares y ayudaros de ello para dibujar la curva. 7. Dados los puntos P = (,, ) y Q = (,, ) y los vectores u = (,, ) y v = (,, ), hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de las siguientes rectas en R, y dibujarlas: a) Recta que pasa por P con vector director u v. b) Recta que pasa por P y Q. c) Recta que pasa por Q con vector director v. 8. Obtener la distancia entre los siguientes puntos y dibujarlos: a) P = (,, ) y Q = (, 4, 5) en R. b) P = (,, 6) y Q = (,, 4) en R. c) P = (, 4) y Q = (4, 5) en R. 9. Para los vectores u = i j + k, v = j k y w = k, obtener: a) = u + v + 4 w b) un vector perpendicular a w y a c), u v. Obtener la distancia a) del punto P = (,, ) al plano π : y + 7z = 5. b) del punto P = (, ) a la recta que pasa por el punto Q = (, ) y tiene como vector director v = (, ).. Obtener en cada uno de los casos el producto escalar de los siguientes vectores y la norma de cada uno de ellos a) u = (, ) y v = (, ). b) u = (,, ) y v = (,, ). c) u = (, 5, ) y v = (,, 4).. Calcular el producto vectorial de los vectores a) u = (,, ) y v = (7,,, ). b) u = (,, ) y v = (,, ).. Hallar el ángulo comprendido entre los dos planos π : y + z = π : + y z = 4. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto P = (,, ) y tiene como vectores directores u = (,, ) y v = (,, ).

4 Funciones. Estudia el dominio de las siguientes funciones a) a() = b) b() = c) c() = + d) d() =. Halla los siguientes límites a) lim ( ) ( b) lim y y 6 + ) y e) lim f) lim c) lim 5 ( ) g) lim tsen t t d) lim y (y4 y ) ( ) h) lim sen i) lim cos j) lim cos λ λ ln(λ ) ( ) k) lim l) lim ( 4) m) lim ( 7 ) k k n) lim + + ln ñ) lim o) lim sen(tg(sen)) sen(tg) p) lim a 4 q) lim a 4 a 6 r) lim ( + ) s) lim ( ) t) lim ) lim ( sin u) lim c c + v) lim tg( 4) w) lim b b b ) + ( ) ( ) + ( y) lim z) lim + α) lim + ) n n n. Estudia la continuidad de las siguientes funciones a)f() = e)l(a) = (a )(a + ) b)g(y) = y c)h(z) = z z 4 f)k(b) = b 4 8 b g)m() = 8 = d)i(t) = t t t h)f(d) = d d i)f(c) = c c + m)f(λ) = ln ( λ ) 4 λ + j)f() = k)f() = n)f() = ln( ) ñ)f(s) = { + 4 > l)f() = cos(7s) 4s = o)f(µ) = e µ ln(µ ) p)f() = + + q)f() = e r)f() = cos(7) s)f(s) = cos(7s) 4s 4. Obtener el valor de a para que la función f() definida en () sea continua f() = { sin( ) si a, si = () 4

5 4 Derivadas ln( + ) e tan e. Calcula lim, lim tg() tan(), lim sin(), lim tg(), lim cos ().. Estudia la continuidad de la función f () = f (4). { 4, si < 4, +, si 4,. Calcula f () y {, si <,. Estudia si la función f () = e, si, es derivable en el origen. Cuántas veces? 4. Estudia el decrecimiento y decrecimiento de la función f () = ( ) e. Obtén los máimos y mínimos relativos y halla los puntos de infleión. { + a + b, si, 5. Sea la función f () = ln( + ), 4 si >. i) Calcula b para que sea continua en =. ii) Calcula a para que sea derivable en =. 6. Descomponer el número 5 en dos partes, tales que el cuadrado de la primera más el doble de la segunda sea un mínimo. 7. Halla los puntos de infleión de la función f () =. 8. Calcula la función derivada de las siguientes funciones: a)f () = sin ( cos ) b)f () = ( ln ) sin(+ ) [ d)f () = ln ( ) tg] e)f () = (ln ) sin() c)f () = sec ( +sin()) 9. Deriva implícitamente las siguientes funciones: a) y + sin(y) y = b) ln (y) y = 7 c) cos(y + ) sin(y) = d) sin ( + y) y = y. Halla la ecuación de la parábola y = + b + c, que es tangente a la recta de ecuación y = en el punto A = (, ).. Sea la función f () = m ; halla m para que lim f () =.. Halla las rectas tangente y normal a la curva de ecuación f () = +.. Dada la ecuación e =, encuentra una solución y demuestra que no puede tener dos. 4. Los puntos A = (, ) y B = (, ) son máimo y mínimo relativos, respectivamente, de la función f () = a + b + c + d. Halla las coordenadas de los puntos de infleión. 5. Encuentra los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones: a)f () = cos + sin() b)f () = + tg() c)f () = + ( ) d)f () = a + b 6 + e)f () = a ( + ) f)f () = ln 4 6. Halla las rectas tangentes y normales en sus puntos de infleión de la función f() = Halla los coeficientes a y b de la función f () = a + b + c, de forma que tenga un mínimo en el punto A = (, ). 5

6 8. Sea f () = + a + b + 7. Calcula a y b para que la gráfica de f () tenga en = un punto de infleión con la tangente horizontal. 9. Halla a, b, c para que f () = a + 4b + c tenga un máimo relativo en el punto de abcisa, y su gráfica sea tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante.. Halla la representacin gráfica de cada una de las siguientes funciones, calculando el dominio, asíntotas, cortes con los ejes, simetrías, máimos, mínimos,... a) a() = b) b() = e c) c() = + d) d() = + e) e() = f) f() = + g) g() = ( )( h) h() = e / ) ( ) i) i() = j) j() = + + k) k() = ( )e l) l() = sin { m) m() =, +, >. Estudiar si la función m() es derivable en =. 5 Integrales. Resuelve las siguientes integrales inmediatas: 4 + a) d b) 5 d c) d d) d e ln ln e) d f) d g) d h) sen cos d 4 9 ln cos cos i) d j) sen + sen d k) d l) d. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración por partes: a) cos d b) ln d c) e cos d d) ln d. Resuelve las siguientes integrales de funciones racionales: d a) b) + d c) d) ( ) d e) ( + ) d f) + + ( )( + ) d d Resuelve las siguientes integrales por el método de integración de cambio de variable: a) e d b) d c) d d) + e + d 5 e) d f) + ln g) d h) d ( + 5) + d e (e ) 6

7 5. Resuelve las siguientes integrales por el método de integración más conveniente: 5 arc tg (9.) d (9.) d (9.) sec tg d (9.4) d (9.5) 4 d (9.6) d ( + 6) e arcsin 5 (9.7) d (9.8) sen5 e cos 5 ln d (9.9) d sen cos (9.) d (9.) sen + cos + 5 d (9.) + tg d cos(arc tg ) e (9.) + d (9.4) sen cos / d (9.5) d d (9.6) 8 d (9.7) + (9.8) d (9.9) d (9.) d d (9.) d (9.) ln( + ) d (9.) ( + 7) cos d (9.4) arc tg d ln (9.5) sen d (9.6) d (9.7) e d + 4 d (9.8) d (9.9) 8 d (9.) (9.) d (9.) d (9.) 4 ( ) d d (9.4) ( (9.5) + )( ) d (9.6) d d e + d (9.7) e (9.8) + e d (9.9) 4 + 4e sen sen (9.4) + 4 cos d (9.4) cos d (9.4) sen d 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: 7. Calcula 5 (6.) G() = e cos t dt (6.) H() = f() d, siendo f la función siguiente: f() = + t +, si <, + 4, si, 5, si >. dt (6.) I() = + t dt 8. Calcula las siguientes integrales definidas a) 5 d b) 9 d c) e ln d 9. Calcula el área limitada por las curvas y = e, y = e y la recta =.. Calcula el área limitada por las curvas f() = 9, g() = Dibuja la región del plano limitado por las curvas y =, y =, y = 4. Calcula su área.. Calcula el área comprendida entre la curva y =, el eje OX y las rectas verticales que pasan + por los puntos de infleión de dicha curva.. Calcula el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida entre y = + 6 y + y =. 4. Calcula el volumen engendrado al girar el círculo + (y 8) = 4 alrededor del eje OX. La figura engendrada se conoce en matemáticas como toro. 7