MATEMÁTICAS II - P.A.U. CÁLCULO INTEGRAL CUESTIONES

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1 MATEMÁTICAS II - P.A.U. CÁLCULO INTEGRAL CUESTIONES. Calcular d sen (S9) 6 + C 5 cos 5Cos. Qué diferencias eisten entre integral definida e integral indefinida?. Calcula ln d cos. Define primitiva. Calcula la de d a + b sen. Calcula d (J95) Ln + c. 9. (S95) Ln( a b sen ) + C + 7 (S96) 6 b + 5. Concepto de función primitiva. Determinar una función primitiva de la función (cos )e sen. (S97) ( ) Ln + + C t 6. Calcular simplificando todo lo posible el resultado, la derivada de la función g()= e ( + t sen e ) dt (J98) e ( + ) + C 7. Calcular: e d (S98) ( ) e C + 8. Calcular: d 9. Calcular: e d e e e (J00) Ln + C e + (S00) ( ) e + C 0. Calcular: ( sen cos )d 5 Cos Cos (J0) + + C 5 e + e. Calcular: d. Calcular: d cos sen (S0) e e + Ln( e + ) + C (J0) + C sen +. Calcular: d (S0) + + C IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág.

2 . Hallar el área de la región limitada por la curva y = y la recta y = +. (J0) u 5. De todas las primitivas de la función f() = tg()sec π (), hállese la que pasa por el punto (,) P. (J0) tg ( ) 6. Calcúlese d (J0) C 5 7. Hállese el área del recinto limitado por las parábolas de ecuaciones respectivas y = 6 e y =. (S0) 6/ u 8. Hállese el área limitada por las gráficas de las funciones y=-, y=-. (S0) 9/ u 9. Hállese el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y =, y = y la recta y= (J05) u. 0. Calcular: d (S05) arctg + C. Hállese el área del recinto limitado por la parábola y = y la recta y =. (J06) A = u.. Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = + y por la recta tangente a dicha curva en el punto = 0. (S06) 7 u.. Hallar el área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones: = y, y = 6. (J07) 6 u.. Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación: y = ln, el eje OX y las rectas = y =. (S07) Ln - u. d 5. Calcular: (+ ) (S08) ln + C + 6. Calcular: d 9 ( ) (S08) IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. arc sen + C

3 7. Calcular d. (J09) ln + +C d 8. Calcular (+ ) (S09) arctg ( ) +C 9. Calcular cos d d (J0) arctg (sen )+C + sen 0. Calcular la siguiente integral: + d (J0) I=9/6 ln. Calcular d + ln (J) + C IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág.

4 PROBLEMAS. Hallar el área de la figura limitada por la curva y= + y la recta y=+. (J9) 0 5 u. Representar gráficamente la función f()= > encierran la curva, el eje de abscisas y la recta =. (S9) y calcular el área de la región que + + Ln u. Hallar el área de la región plana limitada por las curvas ( ) f = + y ( ) = + g. (J95) 7 u. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función f()=. Determina sus etremos. Calcula d (S95) (S99) f creciente en (/, ); decreciente en (, /); mínimo absoluto en (/, 0). I= 5/ 0 5. Hallar los coeficientes de la ecuación y=a +b +c+d para que la curva correspondiente pase por el origen y tenga en el punto (,) un punto de infleión con tangente horizontal. Calcula el área entre la curva y el segmento que une el origen con el punto (,). (J96) y = + ; 8 u IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág.

5 6. Enunciar la regla de Barrow. Calcular el área limitada por la bisectriz del primer cuadrante y la curva de ecuación y=. (J97) u 5 7. Se consideran en la parábola y= los puntos A y B de abscisas = y =. a) Hallar la ecuación de la tangente a la parábola que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B b) Hallar el área encerrada por la curva, la tangente obtenida y el eje OY. (S98) y= ; 8 u 8. Por el punto de abscisa = de la parábola de ecuación y = se traza una recta r perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. Hallar el área del recinto limitado por la recta r y la parábola. (J98) y= ; u 9. a) Concepto de función primitiva. Si F y G son funciones primitivas de una función f en un intervalo (a,b) qué relación eiste entre F y G?. Razonar la respuesta. F() G()=Constante b) Calcular las siguientes integrales: b) d + (J99) cotg b) ( ) e d + + a) F() G()=Constante b) Ln sen C; ( + ) e C 0. Una partícula se mueve por la curva + y =, >. En el punto P de abscisa =, abandona la curva y se desplaza a lo largo de la recta tangente a la curva en dicho punto. a) Calcular la ecuación de la recta tangente en P. b) Hallar el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota horizontal de la curva. c) Hallar el área encerrada por la curva, la recta tangente y las rectas cuyas ecuaciones son = y =. (S99) a) y= 5+ b) Q(,) c) 5 Ln 5 u IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. 5

6 . a) Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral b) Calcular una primitiva de la función Ln ( + ) c) Determinar el área encerrada por la gráfica de la función anterior, el eje OX y la recta = (J00) + Ln + ( ) ( ) + C ; +Ln u. Hallar el área del recinto limitado por la recta y = y la parábola y =. (S00) u. Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse. La parcela es la región plana limitada y. por la curva y = y la recta = ( ) a) Calcular el área de la parcela b) Deciden dividir la parcela, en partes iguales, mediante una recta de la forma = a, ( a > 0) Hallar el valor de a. (J0) u ; a= y.. Dada la curva y = + a : a) Calcular el valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasen por el origen de coordenadas. b) Para a=, hallar el área del recinto limitado por la curva y las tangentes a la curva en los puntos (,) y (,). (S0) a=; u IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. 6

7 5. Dada la función = t F( ) ( t )e dt definida para todo R, 0 a) Calcular F'(), estudiar el crecimiento de F() y hallar las abscisas de sus máimos y mínimos relativos. b) Calcular F''(), estudiar la concavidad y conveidad de F() y hallar las abscisas de sus puntos de infleión. (J0) a) F' ( ) = e, creciente en (,-) (, + ), dereciente en (-,); máimo rel. en = -, mínimo rel. en = b) F ' ' ( ) = e ; convea en (, ) (0, ), cóncava en (,0) (,+ ). En =, =0, = PI. 6. a) Enuncia la Regla de Barrow b) Hallar el área del recinto limitado por las parábolas u y =, y = y la recta y= (J0) 7. La gráfica de la función y=cos en el intervalo [0, π ] determina con los ejes de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la función y=sen. Determinar el área de cada una de las partes. (S0) A = -, A = - A = -, A = - 8. Dada la función f ( ) = +, hallar: a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máimos y mínimos relativos. b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas =, =. (J0) a) f es creciente en (,) y decreciente en (, ) y en (, ). Mínimo (, /), Máimo (, /). b) Área = Ln u IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. 7

8 9. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función f ( ) = ( ) ( + ), el eje OX y las rectas =, =. (S0) 9 u. 0. Sea la función y = e a) Estúdiese su monotonía, etremos relativos y asíntotas. b) Calcúlese el área de la región plana comprendida entre la gráfica de la función y las rectas = y =. (J0) a) Creciente en (-,0) y decreciente en (0,+ ) Má. relativo (0,) Asíntota horizontal y=0 b) e u. Sea f ( ) = + a + b + c. Determínense a, b y c de modo que f() tenga un etremo relativo en =0, la recta tangente a la gráfica de f() en = sea paralela a la recta y - = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas = 0, =, sea igual a. (J0) a=/ b=0 c=7/. a) Dada la función f : [,e] R definida por f ( ) + ln =, determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. b) Calcúlese una función primitiva de f() que pase por el punto P(e, ). (S0) a) y- -ln = (-) b) ln + ln - +. Calcular los valores de a para los cuales el área comprendida entre la gráfica de la función y = + a y el eje OX es de 6 unidades de superficie. (J09) a=±. Dadas las funciones f()= ln() y g() =, hallar el área del recinto plano limitado por las rectas =, = y las gráficas de f() y g(). (J0) +ln u 5. Determinar la función f tal que f '() = y con f () =. (S0) ln + + ln + 6 IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. 8

9 6. Determinar el área limitada por la parábola de ecuación y = y la recta de ecuación y=-. (S0) 9 u 7. Calcular e + ln( ) + (ln ) ( + ln ) d (S0) 5 ln 8. Calcular ( + ) + e d (S0) (+)e + +C 9. Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función ( ) f = + y la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (J) A= 7 u 0. Calcular el área del recinto delimitado en el primer cuadrante, por la gráfica de la función y = ln y las rectas y =0, y = y = 0. (S) A = e- u. Hallar el valor de m para que el área delimitada, en el primer cuadrante, por la función y = y la recta y = m sea de 9 unidades cuadradas. (S) m= GUIÓN de los ejercicios Primitivas: Ca - C5a - P9a Integrales inmediatas: C - C - C5b - C0 - C - C - P9b - C5 - C6 - C6 - C7 - C9 Integración por partes: C - C7 - C9 - P9b - Pb - P - C5 - P8 - C Integración por cambio de variable: C8 Integración de funciones racionales: C - C8 - C - C0 - P5 Teorema fundamental del cálculo: C6 - Pa - P5 Integral definida: Pc - P - C0 - P7 Regla de Barrow: P6a - P6a Cálculo de áreas: C - P - Pb - P - P5b - P6b - P7b - P8 - P0c - Pc - P - P - Pb - P6b - P7 - P8b - P9 - C8 - P0 - P - C9 - C - C - C - C - P - P - P6 - P9 - P0 - P IES Diego de Siloé - Matemáticas II - PAU Cálculo Integral Pág. 9