L A D E R I V A D A. C Á L C U L O Y A P L I C A C I O N E S

Transcripción

1 L A D E R I V A D A. C Á L C U L O Y A P L I C A C I O N E S 1. T A S A D E V A R I A C I Ó N M E D I A Definimos la variación media de una función f en un intervalo [, + ], y la designamos por t m o TVM[, +], como el valor del cociente: TVM [, ] t m f ( ) f ( ) En general, para un intervalo cualquiera [a,b], la epresión anterior también se puede escribir de la forma: f (b) f ( a) TVM [a,b ]=t m = b a La tasa de variación media de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece en un determinado intervalo, aunque no lo suficientemente precisa. Dependiendo del fenómeno que represente la función que se estudia, la tasa de variación media también recibe el nombre de: velocidad media, aceleración media, tasa de crecimiento anual de una población, etc. Geométricamente, la variación media coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Con respecto a la interpretación física, si consideramos la función que nos da la posición de un móvil dependiendo del tiempo, la tasa de variación media en un intervalo nos proporcionará la velocidad media del citado móvil en ese intervalo. Ejemplo: Desde una torre de 1,5 metros de altura, dejamos caer un objeto. Si no le afecta más que la fuerza de atracción de La Tierra, la distancia e(t) recorrida después de t segundos es e(t) = 4,9 t². El objeto tardará 5 segundos en llegar al suelo (basta despejar t en la ecuación 4,9t²=1,5), y la velocidad media durante los 5 segundos será: v.m. en [0,5] = e( 5) e( 0) 1,5 = =4,5 m/s. D E R I V A D A D E U N A F U N C I Ó N E N U N P U N T O Mucas veces es interesante conocer el comportamiento de una función en un punto. Por ello estudiamos la variación instantánea de la función en un punto cualquiera a. Para eso basta tomar los intervalos [a, a+] cada vez más pequeños; es decir, acer que se aproime al punto a (o que tienda a cero). Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 1

2 La tasa de variación instantánea o derivada de una función f en un punto =a, es el valor del límite siguiente (si eiste) : También se puede escribir de la forma: f ( ) f ( a) f ( a) lim a a f (a) es un número real finito. Además, si este límite eiste, se dice que la función f es derivable en el punto =a. Ejemplos: 1) Calcula la derivada de la función f ( )=+1 en 3. f (3)=lim 0 f (3+) f (3) (3+ )+1 7 =lim 0 =lim = lim 0 = lim 0 = ) Calcula la derivada de la función f ( ) en 1. f ( 1)= lim 0 f ( 1+) f ( 1) = lim 0 ( 1+) ( 1+) 3 = lim = lim 0 4 = lim 0 ( 4) = 4 3. I N T E R P R E T A C I Ó N G E O M É T R I C A. R E C T A T A N G E N T E La tasa de variación media de una función f, en el intervalo [a,b], es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos P(a, f(a)) y Q(b,f(b)). Cuando Q se acerca a P, la recta secante se aproima a la recta tangente en P, y la variación media tiende a la derivada de f en =a. Por lo tanto podemos afirmar que: La derivada de la función f en el punto de abscisa = a es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)). La ecuación punto-pendiente de una recta es: y y 0 = m( 0 ), donde ( 0, y 0 ) es un punto de la recta y m su pendiente. Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es: La interpretación física de la derivada de una función que indica la posición de un móvil dependiendo del tiempo es la velocidad instantánea del móvil en un instante t. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones -

3 4. F U N C I Ó N D E R I V A D A. D E R I V A D A S S U C E S I V A S Si una función es derivable en todos los puntos de un intervalo, la función f () se llama función derivada (primera) de f. Se puede denotar además por Df(). f : f () lim 0 f ( ) f ( ) El dominio de esta función está constituido por todos aquellos puntos 0 del dominio de f para los que eiste f ( 0 ), es decir, los puntos donde f es derivable. La derivada en un punto también se puede obtener sustituyendo el punto en la función derivada. A partir de la función derivada primera se puede definir, si eiste, también su derivada y recibe el nombre de derivada segunda. Se designa por y = f () o D²f(): f ( +) f ( ) f () =lim 0 La interpretación física de la segunda derivada de una función que indica la posición de un móvil dependiendo del tiempo es la aceleración instantánea del móvil en un instante t. Análogamente se definen las funciones derivadas tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima que se designan por: f (), f IV) (), f V) (),..., f n) () R E G L A S D E D E R I V A C I Ó N 1) La derivada de una suma (diferencia) es la suma (diferencia) de las derivadas. (f + g) () = f () + g (), (f - g) () = f () - g () ) La derivada del producto de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. (kf) () = kf () 3) Derivada del producto: La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. (f g) () = f ()g() + f()g () 4) Derivada del cociente: La derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, menos la primera sin derivar por la derivada de la segunda, dividido todo entre el denominador al cuadrado. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 3

4 5) Regla de la cadena (Derivada de la composición de funciones (g f )( )=g( f ( )) ): ( g f ) ( )=g ' ( f ( )) f ' ( ) 6. D E R I V A D A S D E F U N C I O N E S E L E M E N T A L E S Tipo Función Simple Derivada Función Compuesta Derivada Constante y=k y =0 Identidad y= y =1 y= n y =n n 1 y=[f ( )] n y =n [f ( )] n 1 f ( ) Potencial y= y = 1 y= f ( ) y = 1 f ( ) f ( ) Eponencial y=e y=a y =e y =a Lna y=e f ( ) y=a f ( ) y =e f ( ) f ( ) y =a f () Ln(a) f ( ) Logarítmica y=ln y=log a ( ) y = 1 y=ln(f ( )) y = f ( ) f ( ) y = 1 log a e y=log a f ( ) y = f ( ) f ( ) log a e y=sen( ) y=cos( ) y=tg ( ) y =cos( ) y = sen( ) y =1+tg ( ) y=sen(f ( )) y=cos(f ( )) y=tg ( f ( )) y =cos f ( ) f ( ) y = senf ( ) f ( ) y =[1+tg f ( )] f ( ) Trigonométrica y=arcsen( ) y=arccos( ) y=arctg( ) y = 1 1 y = 1 1 y = 1 1+ y=arcsen( f ( )) y=arccos(f ( ) ) y=arctg(f ( )) y = f ( ) 1 (f ( )) y = f ( ) 1 (f ( )) y = f ( ) 1+(f ( )) A partir de la tabla anterior de derivadas, y empleando las reglas de derivación se pode calcular la derivada de cualquier función compuesta polinómica, logarítmica, eponencial o trigonométrica. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 4

5 Ejemplos: (Función simple) 1) f ( )=3 f ( )=0 ) f ( )= 5 f ( )=0 4 3) f ( )= 3 f ( )=3 4) f ( )= 7 f ( )=7 6 5) f ( )= 3 f ( )= 3 f ( )= = 3 6) f ( )= 1 4 f ( )= 4 f ( )= 4 5 = 4 5 7) f ( )= 1 f ( )= 8) f ( )=3 4 f ( )=3 4 3 = f ( )= 1 3 = 1 9) f ( )= f ( )= 1 f ( )= ( 1) = 10) f ( )=5 f ( )=5 1 = 5 = ) f ( )=10 cos f ( )=10 ( sen )= 10 sen 1) f ( )= 3 +1 f ( )=3 =3 4 3 = ) f ( )= 3 cos f ( )=3 cos + 3 ( sen )=3 cos 3 sen 14) f ( )=4 3 ln f ( )=1 ln =f ( )=1 ln +4 15) f ( )= ( 4) (4 +1) f ( )= 4 ( 4) = 4 16 ( 4) 16) f ( )= e f ( )=e ( 1) e 1 ( 1) = e ( 1) ( 1) Ejemplos: (Función compuesta) 1) f ( )=( +3 ) 4 f ( )=4 ( +3 ) 3 =8 ( +3) 3 ) f ( )=( 5 ) 7 f ( )=7 ( 5 ) 6 ( 5)=(14 35 ) ( 5 ) 6 3) f ( )= ( 5 3 +) 3 f ( )=3 ( 5 3 +) (3 +) ( 5 ) 3 (3 +) =3 ( 5 3 +) 19 (3 +) 4) f ( )= +) ( + ) 1 f ( )=1 ( ( +) 5) f ( )= ( 1) 3 ( +) 4 = =57 ( 5 ) (3 +) 4 ( + ) ( + ) 3 = + (+) 3 f ( )= ( 1) 3 3( 1) ( 1 ) 6 = ( 1) 3 ( 1) 4 = 4 3 ( 1) 4 Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 5

6 6) f ( )=sen 3 f ( )=3 sen cos 7) f ( )=sen 3 f ( )=cos 3 3=3cos 3 8) f ( )=ln(4 +) f ( )= ) f ( )=e f ( )=(8 5) e ) f ( )= 5 3 f ( )=5 5 3 ln() 11) f ( )= +4 f ( )= 1 +4 ( +4)= ) f ( )= +4 =( +4 ) 1 f ( )= 1 ( +4 ) 1 ( +4)= ) f ( )=ln 3 ( +3)=[ln ( +3)] 3 f ( )=3 [ln ( +3)] +3 = 6 ln ( +3) +3 14) f ( )=cos ( ln ) f ( )= sen(ln ) 1 = sen(ln ) 15) f ( )=tg ( 3 ) f ( )=[1+tg ( 3 )] ( 6 ) 7. A P L I C A C I O N E S D E L A S D E R I V A D A S a) Recta tangente y recta normal a la curva en el punto (a, f(a)): La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f (a)) es: y f (a)=f (a) ( a) Ejemplo: Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función punto de abscisa =. La ecuación de la recta tangente será: y f ()=f () ( ) f ( )=3 f ()=3 =6 4= f ' ( )=3 f ' ()= 1 Sustituyendo en la ecuación queda: y-=-(-), es decir: +y-4=0 f ( ) 3 en el Se llama recta normal a una curva en un punto a la perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, su ecuación en =a será: b) Intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento): Si la función f es derivable en el intervalo (a,b), entonces: Si f () > 0 en todo el intervalo (a,b), f es creciente en (a,b). Si f () < 0 en todo el intervalo (a,b), f es decreciente en (a,b). En la práctica, para calcular los intervalos de monotonía seguiremos los siguientes pasos: 1) Se calcula la primera derivada f (). ) Se iguala a cero: f () = 0. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 6

7 3) Con las soluciones de la ecuación anterior se construyen intervalos y se mira el signo de la primera derivada en cada uno de ellos. Si no se puede igualar la derivada a cero, se estudiaría el signo de ella en los intervalos proporcionados por el dominio. c) Máimos y mínimos relativos (etremos relativos): En la práctica, para calcular los máimos o mínimos relativos de una función seguiremos los siguientes pasos: 1) Se alla la primera derivada f (). ) Se iguala a cero: f () = 0. Las soluciones de esta ecuación son los posibles etremos relativos. Si no se puede igualar a cero la derivada, no ay etremos relativos. 3) Se sustituyen estas soluciones (por ejemplo a ) en la segunda derivada: Si f (a) < 0, entonces la función tiene un máimo relativo en (a, f(a)). Si f (a) > 0, entonces la función tiene un mínimo relativo en (a, f(a)). Ejemplos: 3 1) Dada la función f ( ) 3 4, determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus etremos relativos: Por ser una función polinómica su dominio es todo ningún punto que no esté en el dominio. Calculemos, entonces, los puntos singulares: R, por lo que no tenemos que tener en cuenta f ( ) 3 6 f ( )=0 3 6=0 (3 6 )=0 =0, = = 0, = son puntos singulares, es decir, posibles etremos relativos. Establecemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento con estos puntos y estudiamos el signo de la derivada primera: (,0) ( 0,) (, ) Sign f + + Entonces a la vista de la tabla tendremos: f es creciente en: (,0) (,+ ) =0 Máimo relativo: (0,f (0 ))=( 0,4) f es decreciente en: (0,) = Mínimo relativo: (, f ( ))=(,0 ) Otra manera de comprobar los etremos relativos y utilizando el criterio de la segunda derivada: f ( ) 6 6 f (0) Máimo relativo: 0, f (0) (0,4) f () 6 0 Mínimo relativo: (, f ()) (,0) 5 7 ) Dada la función f ( ), determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y sus etremos relativos: Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 7

8 Por ser una función racional su dominio es todo R {}, por lo que debemos tener en cuenta este punto, a la ora de establecer los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Calculemos, entonces, los puntos singulares: f ( )= ( 5) ( ) ( 5 +7) 1 ( ) = ( ) = 4 +3 ( ) f ( )=0 4 +3=0 =1 y =3 puntos singulares (posibles etremos relativos). Establecemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento con estos puntos y estudiamos el signo de la derivada primera: (,1) ( 1,),3 ( 3, ) Sign f Entonces a la vista de la tabla tendremos: f es creciente en: (,1) (3,+ ) =1 Máimo relativo: (1, f (1))=( 1, 3) f es decreciente en: (1,) (,3) =3 Mínimo relativo: (3,f (3 ))=(3,1 ) Otra manera de comprobar los etremos relativos y utilizando el criterio de la segunda derivada: f ( )= ( 4 ) ( ) ( 4 +3) ( ) ( ) 4 = ( 4) ( ) ( 4 +3 ) ( ) 3 = = ( ) 3 ( ) 3 f ( 1) , f (1) (1, 3 f (3) 0 3 Mínimo relativo: ( 3, f (3)) (3,1 ) 1 Máimo relativo: ) d) Concavidad y conveidad (curvatura). Puntos de infleión: Si eiste la segunda derivada de f en un intervalo I, se tiene que: Si f () > 0 en I, f es convea en I. Si f () < 0 en I, f es cóncava en I. En la práctica, para calcular los intervalos se procede de la siguiente manera: 1) Se calcula f () y se iguala a cero. ) Con las soluciones de la ecuación f () = 0, se construyen intervalos y se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de ellos. Una función f tiene en =a un punto de infleión, si en ese punto la función pasa de cóncava a convea o de convea a cóncava. Para calcularlos se iguala la segunda derivada a cero. Si la tercera derivada en esos puntos es distinta de cero, entonces son puntos de infleión. Si f (a)=0 y f ( a) 0 f tiene un punto de infleión en =a. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 8

9 Ejemplos: 3 1) Dada la función f ( ) 3 4, determina los intervalos de curvatura y los puntos de infleión: Buscamos los posibles puntos de infleión entre los puntos que anulan la derivada segunda. Como el dominio de esta función es todo R, no tendremos más puntos que considerar para establecer los intervalos de curvatura. f ( ) 3 6 f ( ) 6 6 f ( ) posible punto infleión. (,1) (1,+ ) Sign f + Cóncava: (,1) Punto de infleión: 1 1, f (1) 1, Convea: (1,+ ) Otra manera de comprobar que es punto de infleión es recurrir a la derivada tercera: f ( ) 6 f ( 1) , f (1) 1, Punto de infleión. ) Dada la función infleión: f ( ) 5 7, determina los intervalos de curvatura y los puntos de Por ser una función racional su dominio es todo R {}, por lo que debemos tener en cuenta este punto, a la ora de establecer los intervalos de curvatura. Calculemos, entonces, los posibles puntos de infleión: 4 3 f ( ) f ( ) f ( ) 0 3, ya que 0, no ay posibles puntos de infleión. Establecemos los intervalos de curvatura tomando los puntos que no están en el dominio: (,) (,+ ) Sign f Cóncava: (,) NO ES PUNTO DE INFLEXIÓN Convea: (, ) puesto que la función no está definida en ese punto. 8. R E P R E S E N T A C I Ó N G R Á F I C A D E F U N C I O N E S Aplicando los resultados de la derivada, realizaremos el estudio de una función de forma que su gráfica sea lo más eacta posible. Para representar una función ay que calcular: 1.- Dominio de la función. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 9

10 .- Puntos de corte con los ejes. 3.- Periodicidad (sólo en funciones trigonométricas). 4.- Simetrías 5.- Asíntotas y ramas infinitas. 6.- Crecimiento y decrecimiento. Etremos locales: máimos y mínimos. 7.- Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. 8.- Representación gráfica. Ejemplos: 3 1) Representar graficamente la función f ( ) Dominio: D(f )=R (por ser una función polinómica).- Simetrías: f ( )=( ) 3 3 ( ) +4= f ( ) f ( )= f ( ) No es impar ni par. 3.- Periodicidad. No es periódica 4.- Puntos de corte con los ejes: Corte eje OX ( y 0 ) , Corte eje OY ( 0 3 ) f (0) ,4 5.- Asíntotas y ramas infinitas: (doble) 1,0 y (,0) Por ser un polinomio no tiene asíntotas. Estudiemos las ramas infinitas, es decir, el comportamiento de la función en ±. lim f ( )= lim ( )=+ lim f ( )= lim ( )= Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos relativos: Calculados en la página 7., 0 Máimo relativo: 0, f (0) (0,4) f es decreciente en: 0 Mínimo relativo: (, f ()) (,0) f es creciente en: 0,, 7.- Intervalos de curvatura. Puntos de infleión: Calculados en la página 9. Cóncava: (,1) Punto de infleión: 1 1, f (1) 1, Convea: (1,+ ) 8.- Representación gráfica. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 10

11 ) Representar graficamente la función f ( )= Dominio: D(f )=R { }.- Simetrías f ( )= ( ) 5( )+7 ( ) 3.- Periodicidad. No es periódica 4.- Puntos de corte con los ejes, f ( )= +5 7 f ( ). No es impar ni par. 5 7 Corte eje OX ( y 0 ) No corta al eje OX Corte eje OY ( 0 ) f (0) 0, Asíntotas y ramas infinitas: = +5+7 f () Asíntotas orizontales: No tiene asíntotas orizontales. lim f ( ) lim 5 +7 Asíntotas verticales: lim f ( )= lim 5 7 = lim f ( ) lim lim f ( )=lim =+ + + es asíntota vertical. Asíntotas oblicuas: m= lim + f ( ) = lim + y= 3 es asíntota oblicua. 5+7 = 5 +7 =1 n= lim (f ( ) m )= lim ( )= lim = Intervalos de crecimiento y decrecemento. Etremos relativos: Calculados en la pág.8. f es creciente en: 1 3, f es decreciente en:, (,3), 1 Máimo relativo: (1, f ( 1))=(1, 3) 1 3 Mínimo relativo: (3, f ( 3))=( 3,1) 7.- Intervalos de curvatura. Puntos de infleión: Calculados en la página 9. Cóncava: (,) Convea: (,+ ) 8.- Representación gráfica. Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 11

12 E J E R C I C I O S 1. Calcula la tasa de variación media de la siguiente función en los intervalos: a) [-1,0] b) [1,3] c) [0,] d) [3,5]. Halla, a partir de la definición, la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto de abcisa =1. a) f ( )= 1 b) g( )= Halla, a partir de la definición, la derivada de las siguientes funciones: a) f ( )=3 +1 b) f ( )= 4. Calcula la derivada de las siguientes funciones simples: a) f ( )= 3 4 b) f ( )= c) f ( )= 4 π 3 d) f ( )= 3 e) f ( )= f) f ( )= 3 4 g) f ( )= ) f ( )= i) f ( )= e 3 3 j) f ( )= +log k) f ( )=3 +ln 1 l) f ( )=3sen cos m) f ( )= ln n) f ( )=( +1) sen ñ) f ( )= e + ln o) f ( )= 4 +1 p) f ( )= 1 + q) f ( )= 3 + r) f ( )= s) f ( )= 4 1 t) f ()= u) f ( )= ln v) f ( )= 3 ln w) f ( )= + ) f ( )= sen cos y) f ()= 1 ² 3 +1 z) f ()= ² Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) f ( )=( +5) 6 b) f ( )= ( 3 4 ) 5 c) f ( )=( 1 + ) d) f ( )= +1 ( ) e) f ( )= (+1) 1 f) f ( )= (3 ) Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 1

13 g) f ( )= e ( 1) ) f ( )=sen( 1) i) f ( )=cos (ln )) j) f ( )=sen (3 1) k) f ( )=sen(3 1) l) f ( )=tg( 3 ) m) f ( )=e 3 +1 n) f ( )= 4 +1 ñ) f ( )=3 cos o) f ( )=ln ( +1 ) p) f ( )= 4 q) f ( )= r) f ( )= 3 s) f ( )=arctg( +) t) f ( )=3arcsen( 1) u) f ( )= arctg( ) v) f ()= e e ln( ²+) w) f ()= ² ) f ()=ln( 1+ ) y) f ()= ² z) f ( )=arccos( ) 6. Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones: a) f ( )= b) f ( )= c) f ( )= d) f()= ² + 36 e) f()= 4 + 4³ f) f ()= e g) f ( )= ) f ( )= ( 1) i) f ( )= 4 j) f ( )= e k) f ( )= + l) f ( )= 1 +1 m) f ( )= +3 1 n) f ( )= Para qué valor de b la función f() = ²+ b + 1 tiene tangente orizontal en =3? (Soluc: -6) 8. La gráfica de f() = ² y la recta y = a + b son tanentes en el punto de abscisa = 4. Cuánto valen a y b? (Soluc: a =8, b= -16 ). 9. Calcula la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva y = 3² - 4, en el punto de abscisa =. 10. Calcula la ecuación de la recta tangente y la normal a la curva y = ³-1, en el punto = Calcula la ecuación de la recta tangente y la normal a la curva y = ³- 1, en el punto = -. 1.Calcula la pendiente de la tangente a la curva y=²-5+1 en el punto de abscisa =. (Soluc: 0) 13.Determina la parábola y=a²+b+c que es tangente a la recta y=-3 en el punto A(,1), y que pasa por el punto B(5,-). (Soluc: -²+6-7) Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 13

14 14. Halla el valor de para que las tangentes a las curvas y=3²-+5 e y=²+6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de las tangentes y las normales. 15.Halla a, b, c y f()=³+a²+b+c, sabiendo que f tiene tangente orizontal en =-4 y en =0, y que pasa por (1,1). (Soluc: 6, 0, -6) 16.Calcula la ecuación de la recta tangente y la normal a la curva y= en su punto de infleión. 17.Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y= +4 +1, que es paralela a la recta 4 y+5=0. 18.Calcular a, b y c para que la función f ( )= 3 +a +b+c tenga un máimo en = -4, un mínimo en =0, y tome el valor 1 en Dada la función f ( )=a 3 +b +c, calcular a, b, c para que el punto (1,5) e el punto de abcisa = sean etremos relativos. 0.Dada la función f ( )= 3 p +q : a) Hallar los valores de p y q, sabiendo que tiene un máimo en = -1 y un mínimo en = 1. b) Para qué valores de se cumple que f() 0? 1. Calcula los coeficientes a, b, c y d de la función f()=a³+b²+c+d, sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de infleión (1,0) es y=-3+3, y que la función tiene un etremo relativo en =0. (Soluc: 1, -3, 0, ).Prueba que eiste por lo menos un punto de la curva y= + curva es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. (Soluc: (0, 1), (4, -3)) en el que la tangente a esa 3. Dada f()=a³+b²+c+d, alla los coeficientes a, b, c, d, sabiendo que la función tiene un máimo en (0,3), un mínimo en =, y un punto de infleión en (1,1). (Soluc: a=1, b=-3, c=0, d=3) 4.Halla a, b, c, d en la función y=a³+b²+c+d, sabiendo que su tangente en el punto (1,1) es la recta y= -+, y que tiene un etremo en el punto (0,). (Soluc: y= ³ - ² + ) Matemáticas I Tema1: Derivadas. Cálculo y aplicaciones - 14