tema09 24/6/04 09:35 Página CÁLCULO DE DERIVADAS

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1 tema09 24/6/04 09:35 Página CÁLCULO DE DERIVADAS

2 tema09 24/6/04 09:35 Página 167 Introducción En muchas ocasiones se realizan cálculos de valores medios; por ejemplo, la velocidad media ha sido de 120 km/h, el consumo medio de agua ha sido de 50 litros/día, etc. Los cálculos de valores medios son importantes, pero en algunos problemas es mucho más importante el valor instantáneo de una magnitud; por ejemplo, la velocidad que una moto lleva en un determinado instante durante una competición. Para resolver este problema es necesario el concepto de variación instantánea de una magnitud en función de otra, que es el concepto de derivada. Además de la velocidad, la derivada tiene una interpretación geométrica que se basa en la misma idea: el cálculo de una recta tangente a una curva en un punto. En este tema se define el concepto de derivada de una función en un punto a partir de la tasa de variación media en un intervalo y se estudia su interpretación geométrica. A continuación, se analiza la relación entre continuidad y derivabilidad y se calcula la función derivada. El estudio de las reglas de derivación permite automatizar el cálculo de derivadas de una forma sencilla. Dichas reglas se dan clasificadas para los distintos tipos de funciones. El concepto de derivada se aplica en la resolución de problemas para calcular velocidades, determinar rectas tangentes a una curva en un punto y realizar el estudio analítico de una función; en concreto, la determinación de máimos y mínimos relativos, monotonía, puntos de infleión y curvatura. Organiza tus ideas La derivada es la se calcula con se utiliza para tasa de variación instantánea que mide la velocidad de crecimiento de una función reglas de derivación resolver problemas sobre: velocidades rectas tangentes máimo y mínimo relativos monotonía puntos de infleión curvatura puntos críticos o singulares 167

3 tema09 24/6/04 09:35 Página LA DERIVADA Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) La pendiente de la recta secante, r, que pasa por P y Q b) La distancia media recorrida entre 3 s y 6 s c) La pendiente de la recta tangente t en el punto P 1.1. Tasa de variación media La tasa de variación media de la función f() en el intervalo [a, b] es el cociente entre la variación de la función f() y la variación de la variable en el intervalo. Se representa por TVM[a, b] y es: TVM[a, b] = f(b) f(a) b a Interpretación geométrica: La TVM de la función f() en el intervalo [a, b] es la pendiente del segmento que une los puntos P(a, f(a)) y Q(b, f(b)) Calcula la tasa de variación media de la función f() = [4, 6] TVM[4, 6] = f(6) f(4) = 8 3 = en el intervalo 1.2. Derivada de una función en un punto La derivada de una función f() en el punto = a es el límite de las tasas de variación media en el intervalo [a, a + h] cuando h tiende a cero. Se representa: La derivada también se llama tasa de variación instantánea y da la medida del crecimiento instantáneo en un punto. Calcula la derivada de la función f() = en el punto = 4 f'(4) = lím f(4 + h) f(4) = h 0 h = lím (4 + h) 2 6(4 + h) + 11 ( ) = h 0 h = lím h + h h + 11 ( ) = h 0 h = lím h 2 + 2h = 0 h 0 h [ 0 ] f'(a) = lím h 0 f(a + h) f(a) h = lím h(h + 2) = lím (h + 2) = 2 h 0 h h TEMA 9

4 tema09 24/6/04 09:35 Página Interpretación geométrica de la derivada La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. En la gráfica del dibujo, la tasa de variación media de la función f() en el intervalo [a, a + h] es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P(a, f(a)) y Q(a + h, f(a + h)) TVM[a, a + h] = f(a + h) f(a) h Cuando h tiende a cero se tiene: a) El punto Q se desliza sobre la curva acercándose al punto P y las rectas secantes que se van dibujando tienden a la recta tangente a la curva en el punto = a b) Las TVM tienden, por definición, a la derivada de la función en el punto, es decir, hacia f '(a) Por tanto, la pendiente de la recta tangente de la función f() en el punto = a es la derivada de la función en ese punto, es decir, f '(a) La aplicación inmediata de la interpretación geométrica es que la recta tangente a una curva f() en el punto P(a, f(a)) en su forma punto-pendiente es: y f(a) = f '(a)( a) Halla la recta tangente a la curva f() = en el punto = 4 a) Se calcula el punto P(a, f(a)): Si = 4 f(4) = = = = 3 P(4, 3) b) En el ejemplo anterior se ha visto que la derivada en = 4 es f '(4) = 2 La pendiente de la recta tangente es m = f'(4) = 2 c) La recta tangente es: y f(a) = f '(a)( a) y 3 = 2( 4) y 3 = Aplica la teoría 1. Calcula la tasa de variación media en el intervalo que se indica de las siguientes funciones: a) f() = 2 3 en [1, 4] b) f() = en [2, 4] 2 4 c) f() = en [1, 2] + 3 d) f() = + 2 en [ 1, 2] 2. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() = 3 2 en = 1 b) f() = en = 3 c) f() = 2 4 en = 2 d) f() = en = 1 3. Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f() = 2 en = 1 b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 1 c) Representa la función f() y la recta tangente para = 1 4. Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f() = en = 3 b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 3 c) Representa la función f() y la recta tangente para = 3 5. El número de bacterias que hay en un cultivo se epresa por la fórmula f() = 2, donde representa el número de horas. Calcula el crecimiento medio por hora de las bacterias entre las 3 y las 5 horas. CÁLCULO DE DERIVADAS 169

5 tema09 24/6/04 09:35 Página LA FUNCIÓN DERIVADA Piensa y calcula a) Observa la gráfica de la función de f() = 2 /4 1 y calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s b) Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f() en = 2? 2.1. Continuidad y derivabilidad Hay funciones en las que no eiste una única recta tangente a la curva en un punto; es decir, no eiste la derivada de la función en el punto. Para saber de una forma gráfica si una función admite derivada en un punto, se debe tener en cuenta: a) Para que una función sea derivable en un punto la función debe ser continua en dicho punto. Eistencia de la derivada La derivada es un límite y, para que eista, deben eistir los límites laterales y ser iguales. La gráfica de la función del margen no es continua en = 2 y por lo tanto no es derivable en dicho punto. Si se intenta dibujar una recta tangente en = 2 se obtienen dos rectas. Por la derecha de 2 se dibuja la recta tangente r cuya pendiente es 1/2. Luego la derivada por ese lado es 1/2 Por la izquierda de 2 se dibuja la recta tangente s con pendiente 1. Luego la derivada por ese lado es 1 Al no coincidir las pendientes de las rectas, no puede haber una única derivada. b) Una función puede ser continua en un punto y no ser derivable. La gráfica de la función del margen es continua en = 2. Sin embargo, si se intenta dibujar una recta tangente en el punto se tiene: Por la derecha de 2 se dibuja la recta tangente r cuya pendiente es 1/2. Luego la derivada por ese lado es 1/2 Por la izquierda de 2 se dibuja la recta tangente s con pendiente 1. Luego la derivada por ese lado es 1 Al no coincidir las pendientes de las rectas, no puede haber una única derivada. La característica de la gráfica de una función derivable es una curva continua que no tiene picos Función derivada La función derivada de una función f() es la función que asocia a cada valor de la variable el valor de la derivada en ese punto. Se representa por f'() o y' f'() = lím f( + h) f() h 0 h 170 TEMA 9

6 tema09 24/6/04 09:35 Página 171 Se observa que la función derivada, f '(), es una epresión que depende de y da la fórmula general para obtener los valores de la derivada de f() en cualquier punto que eista la derivada. La función derivada tiene utilidad para resolver dos tipos de problemas: a) Cuando se quiere calcular el valor de la derivada en varios puntos. Se obtiene la epresión general de la función derivada y se sustituyen en ella los valores de de los que se desea obtener el valor de la derivada. Calcula la derivada de la función f() = 2 3 en los puntos de abscisa = 2 y = 1 Se calcula la epresión de la función derivada: f'() = lím f( + h) f() = lím ( + h) 2 3 ( 2 3) = h 0 h h 0 h = lím 2 + 2h + h = h 0 h = lím h 2 + 2h = 0 h 0 h [ 0 ] = lím h(h + 2) = lím (h + 2) = 2 h 0 h h 0 Se calcula el valor de la derivada en la fórmula: f '() = 2 Para = 2 f'( 2) = 2 ( 2) = 4 Para = 1 f'(1) = 2 1 = 2 b) Cuando se conoce un valor concreto, k, de la derivada y se desea conocer el valor de Calcula el valor de en el que la derivada de la función f() = 2 3 vale 4 Como f '() = 2 y f '() = 4 se tiene: 2 = 4 = 2 Aplica la teoría 6. Analiza si las funciones representadas admiten derivada en = 2 8. Calcula el valor de la derivada de la función f() = en los puntos de abscisa: a) = 2 b) = 1 c) = 0 d) = 1 9. Calcula el valor de la abscisa en el que la derivada de la función f() = 2 + vale 4 7. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = 5 b) f() = 4 3 c) f() = d) f() = 10. Dibuja la gráfica de la función cuadrática 2 a) Calcula su función derivada. b) Representa la función derivada en los mismos ejes coordenados. c) Observando el dibujo, calcula los puntos en los que la derivada toma valores: 1, 2, 1, 2, 0 CÁLCULO DE DERIVADAS 171

7 tema09 24/6/04 09:35 Página 172 Piensa y calcula Clasifica las siguientes funciones como polinómicas, irracionales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas: a) 2 b) 5 c) sen d) e) L 3. REGLAS DE DERIVACIÓN 3.1. Tabla de derivadas Funciones, u, v, w Las letras u,v y w representan funciones de, u(), v(), w() Derivada de un producto uv y' = u'v + uv' La derivada de un producto es igual a la derivada del 1 er factor por el 2º sin derivar, más el 1 er factor por la derivada del 2º Derivada de un cociente u u'v uv' y' = v v 2 La derivada de un cociente es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador por la derivada del denominador y partido por el denominador al cuadrado. Función Polinómicas Irracionales Eponenciales Logarítmicas L u y' = u' u log a u y' = u' log a e u u v y' = Derivada u'v uv' v 2 L (3 + 8) y' = log 2 (7 + 3) y' = 7 log 2 e sen s k y' = 0 7 y' = 0 y' = 1 y' = 1 n y' = n n 1 5 y' = 5 4 u n y' = nu'u n 1 (7 4) 6 y' = 42(7 4) 5 Racionales 1 u n y' = nu' u n + 1 u y' = n u y' = e y' = e e y' = e e u y' = u' e u e 7 2 y' = 7e 7 2 a u y' = u' a u L a y' = L 3 Trigonométricas sen u y' = u' cos u sen 5 y' = 5 cos 5 cos u y' = u' sen u cos 4 y' = 4 3 sen 4 tg u y' = u' sec 2 u tg 7 y' = 7 sec 2 7 Operaciones u' 2 u 1 (2 + 3) 5 y' = 7 y' = u' n n u n y' = 10 (2 + 3) 6 ku y' = ku' 3 cos y' = 3 sen u + v w y' = u' + v' w' y' = uv y' = u'v + uv' 5 sen y' = 5 4 sen + 5 cos y' = 2 sen 2 cos sen 2 Observa en las operaciones que la derivada de una suma o diferencia es la suma o diferencia de las derivadas, pero en un producto o cociente no es el producto, ni el cociente de las derivadas (5) TEMA 9

8 tema09 24/6/04 09:35 Página Regla de la cadena f u u f R R R u() f(u()) 3 sen 3 La regla de la cadena permite calcular la derivada de la función compuesta, es decir, la derivada de una función que a su vez es función de otra función: (f u)'() = u'()f '(u()) Halla la derivada de la función compuesta de sen 3 y' = 3 2 cos Aplicación de las reglas de derivación En general, para hallar la función derivada de una función, no se aplica la definición de derivada, sino que se aplican las reglas que se recogen en la tabla anterior. De igual forma, para hallar la derivada de una función en un punto, tampoco se aplica la definición, sino que se calcula la función derivada aplicando la tabla anterior y luego se sustituye el punto. Halla la recta tangente a la función polinómica f() = en = 3 Se aplica la fórmula punto-pendiente. La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada en el punto, m = f'(3) a) Punto para = 3 f(3) = = = = 1 P(3, 1) b) Pendiente para = 3 f'() = f'(3) = = = = 2 m = 2 c) Ecuación punto-pendiente y 1 = 2( 3) y 1 = Las derivadas sucesivas de una función f() se representan por: f '(), f ''(), f '''(), f IV (), f V (), f VI (), Calcula las cuatro primeras derivadas de f() = 3 f '() = 3 2, f ''() = 6, f '''() = 6, f IV () = Derivadas sucesivas Aplica la teoría Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 11. a) 8 b) a) b) a) ( 8) 2 b) ( ) a) ( 2 + 4) 2 b) ( 4 1) a) 2 3 b) a) e 3 2 b) a) L (3 2) b) log (2 3 + ) 18. a) sen (3 7) b) cos ( 2 + 4) 19. a) 2 + tg b) L a) b) 2 + e cos 21. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones simplificando los resultados. a) b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa = 1 CÁLCULO DE DERIVADAS 173

9 tema09 24/6/04 09:35 Página MÁXIMOS, MÍNIMOS RELATIVOS Y MONOTONÍA Piensa y calcula Observa la gráfica de la función racional f() = a) Los máimos y mínimos relativos. b) La monotonía, es decir: Intervalos donde es creciente ( ) Intervalos donde es decreciente ( ) y halla: 4.1. Máimos y mínimos relativos Un máimo relativo de una función es un punto en que la función es mayor que en los puntos que están muy cercanos, es decir, antes del máimo relativo, la función es creciente y, después, decreciente. Si antes del máimo relativo la función es creciente, la derivada es positiva; y si después es decreciente, la derivada es negativa; por tanto, la derivada en el máimo relativo tiene que anularse por ser continua la función derivada. Si la derivada antes del máimo relativo es positiva y después negativa, la función derivada en el máimo relativo es decreciente y, por tanto, la segunda derivada tiene que ser negativa. Un mínimo relativo de una función es un punto en que la función es menor que en los puntos que están muy cercanos, es decir, antes del mínimo relativo la función es decreciente y, después, creciente. Si antes del mínimo relativo la función es decreciente, la derivada es negativa; y si después es creciente, la derivada es positiva; por tanto, la derivada en el mínimo relativo tiene que anularse por ser continua la función derivada. Si la derivada antes del mínimo relativo es negativa y después positiva, la función derivada en el mínimo relativo es creciente y, por tanto, la segunda derivada tiene que ser positiva. Procedimiento para hallar los máimos y mínimos relativos Para hallar los máimos y mínimos relativos de una función se sigue este procedimiento: Procedimiento a) Se calcula la primera derivada, f'() y' = : 3 3 b) Se resuelve la ecuación, f '() = = = 0 2 = 1 = 1 = 1 c) Se sustituyen las raíces de f '() = 0 en la función inicial f() y se obtienen los posibles máimos y mínimos relativos. d) Se halla la segunda derivada, f ''() y'' = 6 e) Se sustituyen las abscisas de los posibles máimos y mínimos relativos en la segunda derivada, f ''() si f ''() < 0 máimo relativo si f ''() > 0 mínimo relativo = = 1 3 = = 2 A(1, 2) = 1 ( 1) 3 3 ( 1) = = =2 B( 1, 2) f ''(1) = 6 1 = 6 > 0 (+) A(1, 2) mínimo relativo f ''( 1) = 6( 1) = 6 < 0 ( ) B( 1, 2) máimo relativo 174 TEMA 9

10 tema09 24/6/04 09:35 Página Monotonía Estudiar la monotonía de una función consiste en estudiar en qué intervalos la función es creciente ( ) y en cuáles es decreciente ( ). Los intervalos de crecimiento están separados por las abscisas de los máimos y mínimos relativos y las discontinuidades. Procedimiento para hallar la monotonía Para estudiar la monotonía de una función se sigue el procedimiento: Procedimiento a) Se calculan los máimos y mínimos relativos. b) Se hallan las discontinuidades. No hay. c) Se representan en la recta real las abscisas de los máimos y mínimos relativos, y las discontinuidades. d) Se prueba un punto de uno de los intervalos en la primera derivada; solamente se considera el signo. En intervalos consecutivos, f'() cambia de signo si la multiplicidad de la raíz es impar. Si es par, no cambia. e) Se escriben los intervalos de crecimiento ( ), son los correspondientes a f '() > 0 (+) f) Se escriben los intervalos de decrecimiento ( ), son los correspondientes a f '() < 0 ( ) : 3 3 A(1, 2) mínimo relativo B( 1, 2) máimo relativo y' = f '(0) = 3 < 0 ( ) f '() ( ) = (, 1) U (1, + ) ( ) = ( 1, 1) Aplica la teoría 23. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Aplicando el cálculo de derivadas, halla la monotonía de la recta: Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. 30. Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola: Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. CÁLCULO DE DERIVADAS 175

11 tema09 24/6/04 09:35 Página 176 Piensa y calcula Observa la gráfica de la función racional f() = y halla visualmente el punto de infleión y los intervalos donde es cóncava ( ), y convea ( ) PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CURVATURA 5.1. Puntos de infleión Un punto de infleión de una función es un punto en el que la función cambia de cóncava ( ) a convea ( ) o viceversa. Procedimiento : a) Se calcula la segunda derivada, f ''() y' = y'' = 6 6 b) Se resuelve la ecuación, f ''() = = 0 1 = 0 = 1 c) Se sustituyen las raíces de f ''() = 0 en la función inicial f() y se obtienen los posibles puntos de infleión. d) Se halla la tercera derivada, f '''() y''' = 6 e) Se sustituyen las abscisas de los posibles puntos de infleión en la tercera derivada, f '''() Si f '''() 0, son puntos de infleión = = = 6 4 = 2 P(1, 2) f '''(1) = 6 0 P(1, 2) es un punto de infleión 5.2. Curvatura Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar en qué intervalos es cóncava ( ) y en cuáles es convea ( ). Los intervalos de curvatura están separados por las abscisas de los puntos de infleión y las discontinuidades. Procedimiento : a) Se calculan los puntos de infleión. P(1, 2) b) Se hallan las discontinuidades. No hay. c) Se representan en la recta real las abscisas de los puntos de infleión y las discontinuidades. d) Se prueba un punto de cada intervalo en la segunda derivada; solamente se considera el signo. En intervalos consecutivos, f''() cambia de signo si la multiplicidad de la raíz es impar. Si es par, no cambia. e) Se escriben los intervalos de concavidad ( ), que son los correspondientes a f ''() > 0 (+) f) Se escriben los intervalos de conveidad ( ), que son los correspondientes a f ''() < 0 ( ) 0 1 y'' = 6 6 f ''(0) = 6 < 0 ( ) f ''() ( ) = (1, + ) ( ) = (, 1) 176 TEMA 9

12 tema09 24/6/04 09:35 Página Puntos críticos o singulares En el estudio de los máimos y mínimos relativos, y en el de los puntos de infleión puede parecer que hay un agujero negro. Corresponde en los máimos y mínimos relativos cuando la segunda derivada no es ni positiva, ni negativa, es decir, cero. Para resolver esta situación se estudian los puntos críticos o singulares. Un punto crítico o singular es un punto en el que la primera derivada se anula. Un punto crítico puede ser un máimo o un mínimo relativo o un punto de infleión. Procedimiento para hallar y clasificar los puntos críticos a) Se calcula la primera derivada, f '() b) Se resuelve la ecuación, f '() = 0 c) Se sustituyen las raíces de f '() = 0 en la función inicial f() y se obtienen los puntos críticos. d) Para cada punto crítico se hallan las derivadas sucesivas hasta encontrar una que no se anule en dicho punto crítico. e) Si la primera derivada que no se anula es de orden impar, es un punto de infleión. Si es de orden par: es un máimo relativo si el valor obtenido es negativo. es un mínimo relativo si el valor obtenido es positivo. f() = 3 f() = 4 a) f '() = 3 2 a) f '() = 4 3 b) 3 2 = 0 = 0 b) 4 3 = 0 = 0 c) = 0 0 P(0, 0) d) = 0 0 P(0, 0) d) f ''() = 6 f ''(0) = 0 d) f ''() = 12 2 f ''(0) = 0 f '''() = 6 f '''(0) 0 f'''() = 24 f '''(0) = 0 P(0, 0) punto de infleión. f IV () = 24 f IV (0) = 24 > 0 P(0, 0) mínimo relativo. Aplica la teoría 31. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura ( 1) Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones: a) 5 b) 6 CÁLCULO DE DERIVADAS 177

13 tema09 24/6/04 09:35 Página 178 Ejercicios y problemas 1. La derivada 39. Calcula la tasa de variación media en el intervalo que se indica de las siguientes funciones: a) f() = en [ 1, 2] b) f() = en [1, 3] 3 c) f() = en [ 1, 3] + 2 d) f() = + 4 en [ 3, 0] 40. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() = 5 3 en = 4 b) f() = + 2 en = 3 c) f() = en = 1 d) f() = en = Aplica la definición de derivada y calcula: a) La derivada de la función f() = en = 1 b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 1 c) Representa la función f() y la recta tangente en =1 42. El número de llamadas que se reciben en una centralita es: f() = donde se epresa en horas y f() en miles de llamadas. Calcula el número medio de llamadas que se reciben entre las 2 y las 4 horas; y entre las 4 y las 6 horas. Cómo interpretas los resultados? 2. La función derivada 43. Analiza si las funciones representadas admiten derivada en = Aplicando la definición de derivada, halla la función derivada de f() = Calcula: a) El valor de la derivada en el punto de abscisa = 2 b) El valor de la abscisa en el que la derivada vale 1/4 3. Reglas de derivación Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 46. a) b) a) b) a) ( 3 1) 2 b) ( 3 + 1) a) ( ) 3 b) (2 4 1) a) b) a) 3 b) a) e 23 b) e a) b) e a) L (5 3 3) b) L ( 4 2 ) 55. a) log ( ) b) log ( ) 56. a) sen (3 2 4) b) cos (4 3 + ) 57. a) sen ( 3 + 2) b) tg ( 2 1) 58. a) e + cos b) e a) b) 2 2 L sen 60. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones simplificando los resultados. 3 a) b) 2 6 c) 2 1 d) Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones simplificando los resultados. a) b) c) d) Aplicando la definición de derivada calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = Máimos, mínimo relativos y monotonía 62. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina TEMA 9

14 tema09 24/6/04 09:35 Página Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Aplicando el cálculo de derivadas, halla la monotonía de la recta 4 5 Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado. 70. Aplicando el cálculo de derivadas,calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. 5. Puntos de infleión y curvatura 71. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura Calcula los puntos críticos Calcula los puntos críticos 4 Para ampliar 80. Calcula la tasa de variación media en el intervalo que se indica de las siguientes funciones: a) f() = + 1 en [ 1, 2] b) f() = en [2, 4] 81. Calcula la tasa de variación media en el intervalo que se indica de las siguientes funciones: + 1 a) f() = en [3, 5] 2 b) f() = + 6 en [ 2, 3] 82. Aplica la definición de derivada y calcula: 3 a) La derivada de la función f() = en = 1 b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa = 1 c) Representa la función f() y la recta tangente en =1 83. El espacio que recorre una motocicleta viene dado por f(t) = t 2 +t,donde t se epresa en segundos y f(t) en metros. Calcula la velocidad media en las dos primeras horas de movimiento. CÁLCULO DE DERIVADAS 179

15 tema09 24/6/04 09:35 Página 180 Ejercicios y problemas 84. Analiza en qué puntos la función del gráfico no es derivable. 94. a) e 2 cos b) 2 + 3e (+2) 95. a) L tg b) L 5 + e 96. a) tg b) sen a) cos 2 b) tg sen a) cos b) e 85. Analiza si en = 3 la función del gráfico es derivable. Dibuja la recta tangente en dicho punto. 86. Aplicando la definición de derivada, calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f() = 3 2 b) f() = Aplicando la definición de derivada, halla la función derivada de: 3 f() = 2 Calcula: a) El valor de la derivada en el punto de abscisa = 3 b) El valor de la abscisa en el que la derivada es 1/3 Calcula la función derivada aplicando las reglas de derivación: 88. a) ( 2 + 4) 3 b) ( 3 + 4) 2 sen a) + b) e 90. a) b) 2 1 sen a) 3 b) L (3 5) 92. a) e sen b) e + e a) e + 2 b) e L 99. Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones simplificando los resultados. a) b) c) d) Calcula las tres primeras derivadas de las siguientes funciones simplificando los resultados. a) b) 4 3 c) 2 d) Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina Aplicando el cálculo de derivadas, halla la monotonía de la recta Haz la representación gráfica de la recta e interpreta el resultado Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado. 180 TEMA 9

16 tema09 24/6/04 09:35 Página Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura a) b) Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura 2 2 a) b) Problemas 109. Aplicando la definición de derivada, calcula la ecuación de la recta tangente a la curva: 1 f() = + 3 en el punto de abscisa = Halla los puntos en los que la función derivada de las siguientes funciones es igual a cero: a) b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa = Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1 en el punto de abscisa = Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva cuya pendiente sea Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva cuya pendiente sea 3. Cuántas soluciones hay? 116. Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva que sean paralelas a la recta 117. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 3 2 que tengan una pendiente de Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2 4 en los puntos de corte con el eje X 119. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina sen 120. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina cos 121. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina sen 122. Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina + cos 123. Aplicando el cálculo de derivadas, halla la monotonía de la recta 2.Haz la representación grá- 3 fica de la recta e interpreta el resultado Aplicando el cálculo de derivadas, calcula los máimos y mínimos relativos y determina la monotonía de la parábola Haz la representación gráfica de la parábola e interpreta el resultado Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura sen 126. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura cos 127. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura + sen 128. Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura cos Para profundizar 129. Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva en el punto de abscisa = 2. Haz la representación gráfica La ecuación de la recta tangente a una curva f() en el punto de abscisa = 3, es: y = 0 Calcula cuánto vale f(3) y f'(3) 131. Halla los puntos en los que las rectas tangentes a las curvas e son paralelas Demuestra que la función L es estrictamente creciente en todo su dominio Determina los máimos, los mínimos relativos y la monotonía de la función 2 8 L 134. Calcula la amplitud del ángulo con el que la recta tangente a la gráfica de la función sen corta al eje X en el punto de abscisa = 0 CÁLCULO DE DERIVADAS 181

17 tema09 24/6/04 09:35 Página 182 Derive Paso a paso 135. Calcula la derivada Solución: En la Entrada de Epresiones escribe: (^2 + 1)/( 1) Pulsa Introducir Epresión. Elige Hallar una derivada y haz clic en el botón Simplificar ( 1) Calcula los máimos y mínimos relativos de: 3 6 Represéntala para comprobarlo. Solución: Halla la primera derivada Elige Resolver o despejar, activa el botón de opción Real y haz clic en el botón Resolver. = 2 = 2 Selecciona la función inicial, elige Sustituir variables, en el cuadro de teto Nuevo Valor introduce 2 y haz clic en el botón Simplificar. 4 2 Se obtiene el punto A( 2, 4 2 ) Haz lo mismo con el valor = 2 Se obtiene el punto B( 2, 4 2 ) Calcula la segunda derivada: 6 Se observa que al sustituir = 2 es positivo, luego A( 2, 4 2 ) es un mínimo relativo, y B( 2, 4 2 ) es un máimo relativo Determina la curvatura 2 1 Represéntala para comprobarlo. Solución: Halla la primera derivada: ( 2 1) 2 Vuelve a derivar para obtener la segunda derivada: 2( 2 + 3) ( 2 1) 3 Estando seleccionada la segunda derivada en la ventana Álgebra, pulsa la tecla F3 para que la copie en la barra de Entrada de Epresiones, a continuación escribe > 0, quedará: 2(^2 + 3)/(^2 1)^3 > 0 Pulsa Introducir Epresión. Elige Resolver o despejar, activa el botón de opción Real y haz clic en el botón Resolver. 1 < < 0 > 1 Escribe en el cuaderno dónde es cóncava: Cóncava ( ) = ( 1, 0) U (1, + ) Haz lo análogo para convea, resuelve: 2(^2 + 3)/(^2 1)^3 < 0 Se obtiene: < 1 0 < < 1 Escribe en el cuaderno dónde es convea: Convea ( ) = (, 1) U (0, 1) Representa la función y comprueba visualmente la curvatura. Incrusta la imagen en la ventana Álgebra. Incrusta la imagen en la ventana Álgebra. 182 TEMA 9

18 tema09 24/6/04 09:35 Página 183 Así funciona Cálculo de derivadas Se hace clic en Hallar una derivada. Se abre una ventana en la que se puede elegir el orden de la derivada. Se debe tener cuidado cuando se elige un orden de derivada mayor que uno, porque queda seleccionada para opciones posteriores. Sustitución de variables Se hace clic en Sustituir variables, en el cuadro de teto Nuevo Valor se introduce el valor y se hace clic en el botón Simplificar. Resolver ecuaciones e inecuaciones Se hace clic en Resolver o despejar, se elige la variable y el botón de opción Real, si sólo se quieren las soluciones reales, y se pulsa el botón Resolver. Practica 138. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones: e a) b) sen 139. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones: a) e tg b) e L 140. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones: a) e 2 cos b) L cos Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a) b) Representa la gráfica para comprobarlo Calcula los máimos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones: a) b) 4 2 Representa la gráfica para comprobarlo Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de las siguientes funciones: a) b) Representa la gráfica para comprobarlo Calcula los puntos de infleión y determina la curvatura de de las siguientes funciones: a) b) Representa la gráfica para comprobarlo Calcula y clasifica los puntos críticos de las siguientes funciones: a) b) Representa la gráfica para comprobarlo. Con ayuda del Derive, resuelve los siguientes problemas Halla la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las siguientes funciones en el punto que se indica: a) en = 4 b) en = 1 En cada una de ellas representa la función, la recta tangente y la recta normal para comprobarlo Calcula los máimos y mínimos relativos, puntos de infleión y determina la monotonía y la curvatura de las siguientes funciones: a) 2 4 b) Representa las gráficas para comprobarlo Abre la página Web: elige Matemáticas, curso y tema. CÁLCULO DE DERIVADAS 183