Página 194 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS. Tasa de variación media PARA PRACTICAR UNIDAD

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1 UNIDAD Página 9 EJERCICIOS PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Tasa de variación media Calcula la tasa de variación media de esta función en los intervalos: a) [, 0] b) [0, ] c) [, 5] 0 5 f (0) f ( ) a) T.V.M. [, 0] 0 + f () f (0) 0 b) T.V.M. [0, ] 0 f (5) f () 0 c) T.V.M. [, 5] 5 Halla la tasa de variación media de estas funciones en el intervalo [, ] e indica si dicas funciones crecen o decrecen en ese intervalo: a) f () / b) f () ( ) c) f () + d) f () Si la T.V.M. es positiva, la función crece. T.V.M. [, ] f () f () / a) T.V.M. [, ] 8 Decrece b) T.V.M. [, ] 8 Decrece c) T.V.M. [, ] 8 Crece 8 d) T.V.M. [, ] 8 Crece

2 Compara la T.V.M. de las funciones f () y g () en los intervalos [, ] y [, ], y di cuál de las dos crece más en cada intervalo. Para f (): T.V.M. [, ] 9 T.V.M. [, ] Para g(): T.V.M. [, ] 8 T.V.M. [, ] 5 En [, ] crece más f (). En [, ] crece más g(). Dada la función f (), alla la tasa de variación media en el intervalo [, + ]. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] Comprueba que la T.V.M. de la función f () +5 en el intervalo [, + ] es igual a +. Calcula la T.V.M. de esa función en los intervalos [, ], [;,5], utilizando la epresión anterior. f ( + ) f () T.V.M. [, + ] ( + + ) T.V.M. [, ] T.V.M. [;,5],5 Derivada en un punto 6 En esta función se an trazado las tangentes en los puntos A, B y C. Halla sus pendientes y di el valor de f'( 5); f'(0) y f'(). A B C 0 m A 8 f'( 5) + 5 m B 0 8 f'(0) 0 0 m C 8 f'()

3 UNIDAD a) Halla f' en los puntos de abscisas, 0 y. Halla las pendientes de las rectas tangentes trazadas en esos puntos. b) En, la derivada es positiva o negativa? 6 f a) f'( ), f'(0), f'() b) Positiva. 8 a) En qué puntos de esta función la derivada vale 0? b) Cuánto vale f'()? c) Di para qué valores de la derivada es negativa. a) En (, 5) y en (, ). 0 b) m 8 f'() 5 c) ) «(, +@) 9 Aplicando la definición de derivada, calcula f'( ) y f'(), siendo: f () ( + ) + f ( + ) f ( ) f'( ) ( + ) f ( + ) f () f'()

4 f ( + ) f () 0 Halla para valores muy pequeños de (por ejemplo, 0,0 o bien 0,00) y di después el valor de f'() en cada caso: a) f () b)f () ( +) c) f () + 5 d) f () f ( + ) f () ( + ) +6 a) + 6 f ( + ) f () Si 0,0 8 6,0 f ( + ) f () Si 0,00 8 6,00 f'() 6 f ( + ) f () (( + ) + ) 9 + b) + f ( + ) f () Si 0,00 8,00 8 f'() f ( + ) f () ( + ) + 5( + ) 6 + c) + f ( + ) f () Si 0,00 8,00 8 f'() f ( + ) f () (/ + ) d) ( + ) + f ( + ) f () Si 0,00 8,998 8 f'() Halla la pendiente de la tangente a la curva y 5 + en el punto de abscisa, utilizando la definición de derivada. m f'( ) 8 0 f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) ( + ) 5( + ) Por tanto, la pendiente es 9. 6

5 UNIDAD Halla el valor del crecimiento de f () ( ) en los puntos y, aplicando la definición de derivada. f ( + ) f () ( + ) f'() ( ) f ( + ) f () ( + ) 0 f'() Comprueba, utilizando la definición de derivada en cada caso: a) f () 5 8 f'() 5 b) f () 8 f'() c) f () + 8 f'() + d) f () 8 f'() f ( + ) f () 5( + ) a) f'() f ( + ) f () b) f'() ( + ) ( + + ) ( + ) 8 0 f ( + ) f () c) f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + + ) f ( + ) f () + d) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 8 0 ( + )

6 Eiste algún punto en esta función en el que la derivada sea negativa? Ordena de menor a mayor los valores de f'( ), f'() y f'(0). No, pues es creciente. f'( ) < f'(0) < f'() Página 95 Reglas de derivación Halla la función derivada de estas funciones y calcula su valor en los puntos que se indican: 5 f() + 6; f'() 6 + 6; f'() 6 f() + ; f'() ; f' ( ) f() + ; f'() + ; f'() f() ; 0 + f'() ; f'(0) ( + ) 9 f() ; + f'() 6 8 f'( ) ( + ) 0 f() ln ( ); f'() 8 f'() 8 8

7 UNIDAD f() sen + cos ; π f'() cos sen 8 f'(π) f() ; 8 f'() 8 f'(8) ( ) f() + ; f'() + ln () f'( ) ln + f() (5 ) ; 5 f'() 5(5 ) 8 f' 5 5 ( ) f() ; 5 0 f'() 8 f'() ( 5) 5 6 f() + log ; f'() + 8 f' + ln 0 ( ) ln 0 f() e ln ( + ); f'() e ln ( [ +)+ ] 8 f'() e ( ln + + ) Halla la función derivada de estas funciones: 8 a) f() + b) f() ( ) a) f'() + b)f'() 6( ) 9 a) f() b) f() + a) f'() (si? 0) b) f'() + 9

8 0 a) f() ( + 6) b) f() ( + e ) a) f'() + 6 b) f'() e ( + e ) a) f() b) f() + a) f() ( ) / ; f'() ( ) / ( ) b) f'() + ln ( ) a) f() + b) f() ln a) f'() + b) f'() a) f() b) f() + a) f'() + ( + ) b) f'() e ( 0) ( 5) ( + ) e 5 a) f() b) f() ln ( ) a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f () ln / ln 8 f'() 5 a) f() b) f() e a) f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) f'() e e e ( ) e ( ) 0

9 UNIDAD 6 a) f() ln e b) f() log a) f'() 0 b) f () log log ( ) log log ( ) f'() + ln 0 ( ) ln 0 a) f() + b) f() ln + a) f'() ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( + ) b) f'() ln Puntos en los que la derivada vale k 8 Halla los puntos en los que la derivada es igual a 0 en las siguientes funciones: a) y + b) y a) f'() Punto (, ) b) f'() 0 8,. Puntos (, ) y (, ) 9 Obtén los puntos donde f'() en los siguientes casos: a) f() + + b) f() +5 a) f'() ; 8 ; f() 0 8 P(, 0) + 5 b) f'() ( +5) ( +5) ( +5) 8 ( +5) ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) 0 Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a : a) y b) y + c) y + d) y ln ( ) a) f'() 8 8 ; f() 0 8 P(, 0)

10 b) f'() 8 8 ( +) ( +) 8 ( +) ; f( ) 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) c) f'() ; f( ) 8 P(, ) d) f'() 8 8 ; f ln 8 P, ln ( ) ( ) Halla los puntos en los que la derivada vale 0 en cada uno de los siguientes casos: a) y b) y + 5 c) y d) y a) f'() ; f() 8 P(, ) b) f'() ; f 8 P, c) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f( ) 8 Q(, ) ; f( ) 8 R(, ) d) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ( +) ( +) ( ) ( 5 ) Comprueba que las siguientes funciones no tienen ningún punto en el que la derivada sea igual a 0. a) y b) y + 6 c) y + d) y a) f'() 8? 0 para cualquier. b) f'() no tiene solución. c) f'() + 8 ± + 0; 6 no tiene solución. d) f'() 8 ( ) ( ) 0 no tiene solución.

11 UNIDAD Página 96 Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto de abscisa. f'() 5; m f'(), f () 0 La recta es y ( ) Escribe la ecuación de la recta tangente a y en el punto de abscisa. f'() + ; m f'( ), f ( ) La recta es y ( + ) Escribe la ecuación de la recta tangente a y + + cuya pendiente sea igual a. f'() + 8 ; f ( ) La recta es y ( + ) 6 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y + en 0. f'() ; m f'(0), f(0) + La recta es y + Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la función y en los puntos de corte con el eje de abscisas. Puntos de corte con el eje de abscisas: 0 8, Puntos (, 0) y (, 0) f'(), f'(), f'( ) Las rectas son: En, y ( + ) + 8 En, y ( ) + 8 Puntos singulares 8 Obtén los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + 5 b) y + c) y d) y

12 a) f'() ; f 8 P (, ( ) ) b) f'() ; f(0) 8 P(0, ) ; f() 0 8 Q(, 0) c) f'() 8 0 d) f'() 8 0 0; f(0) 0 8 P(0, 0) ; f() 8 Q(, ) ; f() 8 P(, ) ; f( ) 6 8 Q(, 6) 9 Halla los puntos singulares de las siguientes funciones: a) y + b) y + a) f'() ; f() 8 P(, ) ; f( ) 8 Q(, ) b) f'() ; f(0) 0 8 P(0, 0) ( +) ( +) 50 Comprueba que las siguientes funciones no tienen puntos singulares: a) y + b) y c) y d) y ln a) f'() no tiene solución. b) f'() 8 0 no tiene solución. c) f'() 8 0 no tiene solución. d) f'() 8 0 no tiene solución. Crecimiento y decrecimiento 5 Observa los resultados obtenidos en los ejercicios 5 al y di si cada una de las funciones dadas es creciente o decreciente en el punto que se indica. 5) Creciente. 6) Creciente. ) Creciente. 8) Decreciente. 9) Creciente. 0) Creciente. ) Creciente. ) Decreciente. ) Creciente. ) Creciente. 5) Decreciente. 6) Creciente. ) Creciente.

13 UNIDAD 5 Obtén los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: + a) y b) y 5 c) y + d) y e) y f) y a) f'() 8 Creciente en +@). b) f'() 8 Decreciente en +@) c) f'() 8 Crece en (, +@. Decrece ) ( ) d) f'() 8 Crece en ). Decrece en (, +@). e) f'() 8 Creciente en +@). f) f'() 8 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). 5 Indica en cada una de estas funciones los valores de en los que f' es positiva y en los que f' es negativa. Observa su crecimiento y decrecimiento. La primera crece si <. a) f' > 0 si < f' < 0 si > b) f' > 0 si < 0 f' < 0 si > 0 c) f' > 0 si ) «(, +@) f' < 0 si é(, ) 5 Dada la función f () , obtén su función derivada y estudia su signo. Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f? Tiene f máimo o mínimo? f'() f' > 0 f' < 0 f' > 0 5

14 Crece en ) «(, +@). Decrece en (, ). Máimo en. Mínimo en. Gráficas de funciones polinómicas y racionales 55 Representa una función y f () de la que sabemos: Es continua. f () +@; f 8 +@ Tiene tangente orizontal en (, ) y en (, 5). Indica si los puntos de tangente orizontal son máimos o mínimos. (, ) es un mínimo. (, 5) es un máimo. 56 De una función polinómica sabemos que: f () +@; f () +@ 8 +@ Su derivada es igual a 0 en (, ) y en (, ). Corta a los ejes en (0, 0) y en (, 0). Represéntala gráficamente. 6

15 UNIDAD 5 Representa la función continua y f () de la que sabemos: En los puntos (, ) y (, ) la tangente es orizontal. Sus ramas infinitas son así: 58 Comprueba que la función y ( ) pasa por los puntos (0, ), (, 0) y (, ). Su derivada se anula en el punto (, 0). Puede ser un máimo o un mínimo ese punto? f'() ( ) : f(0) 8 pasa por (0, ) f() 0 8 pasa por (, 0) f() 8 pasa por (, ) f'() 0 El punto (, 0) no es ni máimo ni mínimo, porque la derivada no cambia de signo. Página 9 59 Comprueba que la función y + tiene dos puntos de tangente orizontal, (, ) y (, ); sus asíntotas son 0 e y y la posición de la curva respecto de las asíntotas es la que se indica en la ilustración de la dereca. Represéntala. f() + f'() 0 8, Puntos (, ) y (, ) f () +@; 8 0 f Asíntota vertical en 0. Asíntota oblicua en y.

16 60 Comprueba que la función y : + Tiene derivada nula en (0, 0). La recta y es una asíntota orizontal. Posición de la curva respecto a la asíntota: Si y <. Si 8 +@, y <. Represéntala. ( f' () + ) ( ) ( + ) ( + ) f'(0) 0; f (0) 0 8 ±@ + 6 Completa la gráfica de una función de la que sabemos que tiene tres puntos singulares: ( 5 5,, (0, 0) y (, ) ) y que sus ramas infinitas son las representadas. 8

17 UNIDAD PARA RESOLVER 6 0 VALOR (en miles de euros) TIEMPO (en años) Los coces, una vez que se compran, empiezan a perder valor: un 0% cada año, aproimadamente. Esta gráfica muestra el valor de un coce desde que se compró asta años más tarde. Calcula lo que se deprecia el coce en los dos primeros años, entre los años y 6, y entre los años 8 y 0. Es constante la depreciación? Depreciación: [0, ] [, 6] [8, 0] La depreciación no es constante. 6 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que sean paralelas a la recta 6 y +00. La pendiente de la recta es el coeficiente de cuando la y está despejada. f'() 6 8,. Puntos: (, 0) y (, 0) Rectas: y 6 ( + ), y 6 ( ) 6 En qué puntos la recta tangente a y tiene la pendiente igual a 8? f'() 8 8, Puntos (, 0) y (, 0). 65 Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y que son paralelas a la recta + y 0. f'() ( ) 8 ( ) 8 0, ( ) ( ) En (0, 0), y En (, ), y ( )

18 66 Halla los puntos de tangente orizontal de la función y 9. f'() ,. Puntos (, ) y (, 8). 6 En qué puntos de la función y / la recta tangente es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante? Eiste algún punto de tangente orizontal en esa función? f'() 8,. Puntos (, ) y (, ). 0 no tiene solu- No eiste ningún punto de tangente orizontal, pues f'() ción. 68 La altura que alcanza una piedra lanzada acia arriba viene dada por la función f (t) 0t 5t (t en segundos, f en metros). a) Calcula su velocidad media entre t 0 y t 5. b) En qué instante la velocidad es igual a 0? c) En algún momento su velocidad de la piedra es 5 m/s? En caso afirmativo, a qué altura? f(5) f(0) 5 0 a) T.V.M. [0, 5] 5 m/s b) f'(t) 0 0t 8 f'(t) 0; 0 0t 0 8 t A los segundos. c) f'(t) t 5 8 t 0,5 s A los 0,5 segundos la velocidad es 5 m/s. La altura en ese instante es: f(0,5) 8,5 m. 69 Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimo o mínimo: a) y + 6 b) y 8 + c) y d) y + a) f'() En ) crece y en (, +@) decrece. Tiene un máimo en (, ). b) f'() 8 8 Creciente en (, +@); decreciente en ). Tiene un mínimo en (, ). 0

19 UNIDAD c) f'() 8 Decreciente en todo su dominio: Á {} ( ) 5 d) f'() 8 Creciente en todo su dominio: Á ( +) 0 Halla el vértice de la parábola y +6 + teniendo en cuenta que en ese punto la tangente es orizontal. f'() Punto (, ). Halla el valor de k para que la tangente a la gráfica de la función y + k en 0 sea paralela a la recta y +. f'() + k 8 f'(0) k 8 k Página 98 En cada una de las siguientes funciones, alla los puntos singulares y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máimos o mínimos. Represéntalas: a) y b) y + c) y + d) y e) y f) y + g) y ) y 8 + a) f'() 6 f'() 0 ï f (0) 0 8 (0, 0) 8 f () 8 (, ) ( ( ) +@ 8 +@ (0, 0) máimo y (, ) mínimo. 6 6 y 8 0

20 b) f'() f'() 0 ï ± f () 0 8 (, 0) f ( ) 8 (, ) ( + ( + ) +@ 8 +@ (, ) máimo y (, 0) mínimo. 6 y + 6 c) f'() + f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) 8 f ( ) 8 (, ) ( + ) ( + ) +@ 8 +@ (, ) mínimo. 0 y d) f'() 8 + ; f'() 0 ï 6 ± 6 6 ± ï f () 8 (, ) f () 0 8 (, 0) ( 9 + y ( 9 + 0) +@ 8 +@ (, 0) máimo y (, ) mínimo. 0 e) f'() ; f'() 0 ï ± f () 6 8 (, 6) f ( ) 8 (, ) ( ) +@ ( 8 +@ (, 6) máimo y (, ) mínimo. 5 y

21 UNIDAD f) f'() + ; f'() 0 ï 0 8 f (0) 0 8 (0, 0) ( ) ï 8 f 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) y + ( + ( + 8 +@ (, ) y (, ) son máimos y (0, 0), mínimo. g) f'() 5 8 8; f'() 0 ï ï 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( ( ) +@ 8 +@ (, ) máimo y (, ) mínimo. y ) f'() 6; f'() 0 ï ï 0 8 f (0) 8 (0, ) 8 f () 8 (, ) 8 f ( ) 8 (, ) ( 8 + ) +@ 8 +@ ( 8 + y (0, ) máimo, y (, ) y (, ) mínimos.

22 Representa las siguientes funciones allando los puntos singulares y estudiando sus ramas infinitas: a) y + b) y + c) y d) y e) y f ) y ( + 5) + + a) f'() + 0 8, y + Puntos de tangente orizontal:, (, 0) (, ) ( + ) +@ 8 +@ ( + b) f'() + ( ) 0 8 0,, Puntos de tangente orizontal: (, ), (0, 0) y (, ) y + ( + 8 +@ ( + c) f'() ( + 5) + 0 8, ( ) ( ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (, 9 ) 8 +@ Asíntotas verticales:, 0 0 y + 5 +

23 UNIDAD d) f'() ( ) 0 8 ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, ) 8 +@ Asíntotas verticales:, y + (, ) 5 ( + 5) e) f'() ( + 5) ( + 5) ( + 5) Puntos de tangente orizontal: ( 5, 0 ) 8 +@ ( + 5) ( + 5) 0 0 Asíntota vertical: 5 6 y ( + 5) 5

24 ( + ) f) f'() + 8 ( + ) 0 8 0, ( + ) ( + ) ( + ) Puntos de tangente orizontal: (, ), (0, 0) (y asíntota oblicua) Asíntota vertical: y Comprueba que estas funciones no tienen puntos de tangente orizontal. Represéntalas estudiando sus ramas infinitas y los puntos de corte con los ejes: a) y b) y c) y + d) y + a) f'() 5? 0 ( + ) Los puntos de corte son: ( 0, ) 8 +@ + + Asíntota vertical:, (, 0) y + 6 ( )

25 UNIDAD b) f'() +? 0 Los puntos de corte son: (, 0), (, 0) y 6 (y asíntota oblicua) 6 Asíntota vertical: 0 c) f'() +? 0 El punto de corte es: (0, 0) y @ + +@ 6 5 d) f'()? 0 ( ) El punto de corte es: ( 0, ) 6 y ( ) Asíntota vertical: Asíntota orizontal: y 0 5 Estudia y representa las siguientes funciones: a) y b) y 6 c) y + d) y ( ) + e) y f ) y + g) y ) y + ( ) i) y + j) y 5 + +

26 a) f'() 6 ( 6) Asíntotas verticales:, y 6 6 Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. 6 b) f'() + ( ) Asíntotas verticales:, y Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas ni puntos de tangente orizontal. c) f'() + ( 6 + 5) Asíntotas verticales: 5, Asíntotas orizontales: y 0 No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: (,58; 0,05), (,58;,9),5 + y ,5 0,5 6,5 8

27 UNIDAD d) f'() + 5 ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y 5 0 ( ) y + No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son: (, 0), ( 5, ) y e) f'() + + ( + ) Asíntotas verticales: Asíntotas oblicuas: y y + 6 No ay asíntotas orizontales. Sus puntos de tangente orizontal son, aproimadamente: 6 ( 0,6; 0,5), (,;,6) y f) y' ( ) Asíntotas verticales:, Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) y 6 9

28 g) f'() + 6 ( + ) Asíntotas verticales:, y + 6 Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (0, 0), (, ) 6 ) f'() ( ) Asíntotas verticales: Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas oblicuas. Su punto de tangente orizontal es: (0, 0) y ( ) 6 6 i) f'() ( + + ) Asíntotas orizontales: y No ay asíntotas verticales ni oblicuas. Sus puntos de tangente orizontal son: (, ), (, ) y j) f'() ( ) Asíntotas verticales: 6 y 5 Asíntotas oblicuas: y + No ay asíntotas orizontales ni puntos de tangente orizontal. 6 0

29 UNIDAD 6 Determina la parábola y a + b + c que es tangente a la recta y en el punto A(, ) y que pasa por el punto B(5, ). f () a + b + c f'() a + b f () 8 a + b + c f'() 8 a + b f (5) 8 5a + 5b + c a b 6 c La función es f () + 6. Halla el valor de para el que las tangentes a las curvas y +5 e y +6 sean paralelas y escribe las ecuaciones de esas tangentes. f() f'() 6 g() g'() Para f () + 5 la tangente en es: y 0 ( ) + 8 y 0 Para g() + 6 la tangente en es: y 0 ( ) y 0 8 Halla a, b y c en f () + a + b + c de modo que la gráfica de f tenga tangente orizontal en y en 0 y que pase por (, ). f () + a + b + c f'() + a + b f'( ) a + b 0 f'(0) 0 8 b 0 f () 8 + a + b + c La función es f () a 6 b 0 c 9 Calcula a y b de modo que la función f () + b + a 5 tenga un máimo en y un mínimo en. f'() 6 +b + a f'() b + a 0 f'() b + a 0 a +b a +b a b 9

30 CUESTIONES TEÓRICAS 80 Calcula la T.V.M. de f () en los intervalos [, ], [, ] y [, ]. Justifica por qué obtienes el mismo resultado. + 5 T.V.M. [, ] T.V.M. [, ] 0 + T.V.M. [, ] T.V.M. para todos, porque la función es una recta de pendiente. 8 Dibuja una función que tenga derivada nula en y en, derivada negativa en el intervalo [, ] y positiva para cualquier otro valor de. 8 Pon ejemplos de funciones f cuya derivada sea f'(). Cuántas eisten? Eisten infinitas. f () + k, donde k es cualquier número. 8 Esta es la gráfica de la función y. Por qué podemos asegurar que el eje de abscisas es la tangente de esa curva en (0, 0)? Ecuación de la tangente en (0, 0): f'() 8 f'(0) 0 8 y 0 + 0( 9) 8 y 0 es el eje de abscisas. 8 Demuestra, utilizando la derivada, que la abscisa del vértice de la parábola y a b + b + c es. a f'() a + b 0 8 b a

31 UNIDAD 85 Si f'() 0, cuál de estas afirmaciones es correcta? a) La función f tiene máimo o mínimo en. b) La recta tangente en es orizontal. c) La función pasa por el punto (, 0). La correcta es la b). Página 99 PARA PROFUNDIZAR 86 La ecuación de la recta tangente a una función f () en el punto de abscisa es y + 0. Cuál es el valor de f'()? el de f ()? + La recta tangente es y ; su pendiente es f'() f () 8 f Qué relación eiste entre f y g? entre f' y g'? g 0 f g + f' g' Son rectas paralelas (de igual pendiente). 88 Esta es la gráfica de f', la función derivada de f. a) Tiene f algún punto de tangente orizontal? f' b) Di para qué valores de es f creciente y para cuáles es decreciente. a) Sí, en, puesto que f'() 0 b) Si < es creciente, pues f' > 0; y si > es decreciente, pues f' > El coste total (en dólares) de fabricación de q unidades de cierto artículo es C (q) C (q) q + 5q + 5. El coste medio por unidad es: M (q). q a) Cuántas unidades se deben fabricar para que el coste medio por unidad sea mínimo? b) Calcula C (q) y M (q) para el valor de q que as allado en el apartado a).

32 q a) M(q) + 5q + 5 q (6q + 5)q (q M' (q) + 5q + 5) 6q + 5q q 5q 5 q q 5 8 q 5 unidades q Se deben fabricar 5 unidades. b) C(5) 5; M(5) 5 q q 90 La función f () 60 indica los beneficios obtenidos por una empresa + 9 desde que comenzó a funcionar ( f () en miles de euros, en años). a) Represéntala gráficamente. b) Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el beneficio máimo? Cuál es ese beneficio? c) Perderá dinero la empresa en algún momento? 60 ( a) f'() + 9) ( + 9) ( + 9) ( + 9) 8 ( no está en el dominio) Máimo en (, 0). f () 0 8 asíntota orizontal: y 0 8 La gráfica sería: b) Beneficio máimo en 8 A los años. El beneficio sería f () 0 miles de euros. c) No perderá dinero pues f () 0 y f () > 0 para todo > 0.

33 UNIDAD Página 99 AUTOEVALUACIÓN. Observa la gráfica de la función y f() y responde. a) Cuál es la T.V.M. en los intervalos [0, ] y [, ]? b) Tiene algún punto de tangente orizontal? c) Para qué valores de es f'() > 0? d) Sabemos que la tangente en el punto de abscisa 0 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante. Cuánto vale f'(0)? f () f (0) / a) T.V.M. [0, ] 0 f ( ) f ( ) 0 T.V.M. [, ] ( ) + b) Sí, P (, ). c) Si <, f'() > 0. d) La recta y (bisectriz del.º cuadrante) tiene pendiente igual a. Por tanto, f'(0).. Dada f(), prueba que f'( ) aplicando la definición de derivada. f ( + ) f ( ) f'( ) 8 0 f( ) ( ) ( ) f ( + ) ( + ) ( + ) f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) 8 0 Por tanto, f'( ). 5

34 . Halla la derivada de las siguientes funciones: a) y + b) y e 5 c) y ( ) d) y a) f'() b) f'() e + ( )e e c) f'() ( 5 ) 9 5 ) 9 ( 5) 8 ( ) d) f'() ( ) ( ) ( ) ( ( ) +. Escribe la ecuación de la tangente a la curva y ln en el punto de abscisa. Punto de tangencia:, y ln 0 8 P(, 0) Pendiente de la recta tangente: f'() 8 f'() Ecuación: y 0 + ( ) 8 y 5. Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f() f() 8 f'() Buscamos los valores de para los que f'() > 0 8 > 0 f'() > 0 f'() < 0 f'() > 0 Intervalos de crecimiento de f: ) «(, +@) Intervalo de decrecimiento de f: (, ) La función tiene un máimo en y un mínimo en. 6

35 UNIDAD 6. Determina los puntos singulares de: + y de la cual conocemos sus asíntotas y la posición de la curva con respecto a ellas. Represéntala. f() + ( )( ) ( + ) ( ) f'() ( ) ( + ) + ( ) ( ) + f'() ( ) + ( ) f (0) ; f () 0 Los puntos singulares son (0, ) y (, ). El primero es un mínimo y el segundo, un máimo.. Representa la función y + 6. y + 6 es una función polinómica, por ello es continua en Á. Ramas infinitas: ( + 6) +@ 8 +@ ( +

36 Puntos singulares: f'() f'() f () (, 0) f ( ) ( ) ( ) (, ) Los puntos singulares son (, 0) y (, ). Esta es su gráfica: 8. Estudia y representa y. + f() + El dominio de esta función es Á. Asíntotas: f () 0 8 +@ f () 0 y 0 es una asíntota orizontal. Cuando 8 +@, f() > 0 8 la curva está por encima de la asíntota. Cuando f() < 0 8 la curva está por debajo de la asíntota. Cortes con los ejes: f() La función corta a los ejes en el punto (0, 0). Etremos relativos: ( + ) f'() ( + ) ( + ) ( + ) f'()

37 UNIDAD Así, observando la asíntota y el corte con el eje, (, ) es un máimo relativo, y (, ), un mínimo relativo. La gráfica es: 9. La función f() + b + c tiene un mínimo en y pasa por (, ). Calcula b y c. f () + b + c f'() + b es un mínimo: f'() b 0 8 b Pasa por (, ): f () 8 + c 8 c 6 Así, la función es y