en un punto determinado. Esto es, qué le pasa a f (x) cuando varía x en los alrededores de un punto a. , su derivada en el punto x = 3 es

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1 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 08 DERIVADAS Derivada de una función en un punto Una función f () es derivable en el punto a si f ( a + ) f ( a) eiste el límite: lím Este límite se denota por f (a), y eiste cuando resulta un número real finito La derivada es el límite de un cociente de dos cantidades infinitesimales El numerador mide la variación de la variable dependiente (la f () ) cuando la variable dependiente (la ) pasa de a a a + El cociente mide la tasa de variación media de una variable respecto a la otra Cuando se impone que la variable independiente varíe una cantidad infinitesimal (eso indica que 0), lo que se está calculando es la tasa de variación instantánea de la función f () en un punto determinado Esto es, qué le pasa a f () cuando varía en los alrededores de un punto a Dada la función f ( ) +, su derivada en el punto es f ( + ) f () f () lím Como f ( + ) ( + ) + ( + ) + y f ( ), se + tendrá: f () lím lím ( ) lím lím( ) Luego, f ( ) (Este número indica que en el punto, la función está decreciendo en la proporción a : la razón que epresa la relación entre ambas variables vale ) Interpretación geométrica de la derivada La derivada, f (a), es un número que da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f () en el punto P ( a, f ( a)) La ecuación de dica recta tangente será: y f ( a) f ( a)( a) Observaciones: La tangente a una curva en un punto es la recta que mejor aproima a la curva en ese punto concreto La derivada indica lo que variaría la función si se comportara linealmente (como la recta tangente) en un entorno de ese punto La derivada, como la recta tangente, va cambiando según cambia el punto de referencia Se recordará que la pendiente de una recta indica lo que la recta aumenta (si es positiva) o disminuye (si es negativa) por cada incremento unitario de la variable La recta tangente a la función f ( ) + en el punto de abscisa, será: y f () f ()( ) Y como f ( ) y f ( ), se obtiene: y ( ) y + 9

2 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Derivabilidad, continuidad y derivadas laterales Para que una función sea derivable en un punto son precisas dos condiciones: Que la función sea continua en dico punto Que las derivadas laterales eistan y coincidan en ese punto Derivadas laterales f ( a + ) f ( a) + f ( a + ) f ( a) Izquierda: f ( a ) lím Dereca: f ( a ) lím + + La derivada, f (a), eiste cuando f ( a ) f ( a ) Geométricamente significa que la tangente a la curva en el punto ( a, f ( a)) es la misma tanto si se traza por la izquierda como por la dereca Las derivadas laterales no coinciden en los puntos angulosos, en los picos de las funciones Por tanto, en esos puntos no eiste la derivada Esta condición es particularmente importante en las funciones definidas a trozos Para esas funciones resulta obligado estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos Continuidad y derivabilidad La relación entre derivabilidad y continuidad es la siguiente: si f () es derivable en a f () es continua en a El recíproco no es cierto Esto es, f () es continua en a f () es derivable en a +, a) La función f ( ) es continua y derivable + 9 > en el punto donde se unen las funciones a trozos, en Esto implica que se puede pasar de una función a otra sin cambios bruscos (Recuerda que y + 9 es la recta tangente a f ( ) + en ) +, < 0 b) La función f ( ) es continua en 0, pero + 0 no es derivable en ese punto (En el punto 0, la función ace un cambio brusco) Función derivada La función derivada de una función f () es una nueva función que asocia a cada número real su derivada Se denota por f () Su definición es la siguiente: f ( + ) f ( ) f ( ) lím Si y f (), se escribe y f ( ) También es frecuente escribir df ( ) f ( ) o d dy y d

3 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Reglas de derivación para las operaciones con funciones Derivada de una constante por una función: F ( ) k f ( ) ( F ( ) ) ( k f ( ) ) k f ( ) Derivada de una suma o diferencia de funciones: F ( ) f ( ) ± g( ) ( F ( ) ) ( f ( ) ± g( ) ) f ( ) ± g ( ) Derivada de un producto de funciones: F ( ) ( f g) )( ) f ( ) g( ) F ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( Derivada de la opuesta de una función: ( ) ( ) ) F ( ) ( ) F( ) f f ( ) f ( ) Derivada de un cociente de funciones: ( ) f ( ) f ( ) ( ) F( ) g( ) g( ) Derivada de la función compuesta: f ( ) ( f ( )) F ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( g( )) F ( ) f ( g( )) ( F ( ) ) ( f ( g( ) ) f ( g( )) g ( ) TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS Función simple Derivada Función compuesta Derivada y c y 0 y y n y, n R y n y a, a > 0 a ln a y n y ( f ( )), n n( f ( )) f ( ) f ( ) y f () y f ( ) f () n n f ( ) y a, a > 0 f ( ) a ln a y e y e f () y e f ( ) y f ( ) e f ( ) y log a log a e y log a f ( ) log a e f ( ) y ln f ( ) y ln f ( ) y f ( ) y sen cos y sen f ( ) y f ( ) cos f ( ) y cos sen y cos f ( ) f ( ) sen f ( ) y tag + tag y tag f ( ) y f ( )( + tag f ( )) y arcsen f ( ) y arcsen f ( ) ( f ( )) y arccos f ( ) y arccos f ( ) ( f ( )) y arctag f ( ) y arctag f ( ) + + ( f ( )) En esta tabla: c, n, a y e son números; designa la variable independiente e y o f representan funciones de

4 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Ejemplos: f ( ) + f ( ) + f ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + )( ) f ( ) ( f ( ) f ) ( ) ( ) f ( ) ( + ) f ( ) ( + ) ( ) f ( ) ( + ) / ( ) + / f ( ) ( + ) ( ) y y 0 y 0 ln y ( ) ln y e y ( + 0, + e f ) e ( + ) + 8 y ln( ) y log( + ) log e + y ln( ( )( ) ) ln 0,e ln( ) + ln( ) y sin cos y sen y sen cos 0, 0 + sen cos y y 7 y sen + cos tag cos sen ( + tag ) 8 y cos ( ) y cos( ) sin( ) ( ) 9 y ln cos ( sin ) tan cos 0 y arcsen ( ) ( ) y arcsen ( ) arccos( ) y ( ) 0 ( ) ( ) y arctag (+ ) + ( + ) + +

5 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Idea de diferencial de una función Como se indicó anteriormente, la ecuación de la recta tangente a la curva y f (), en el punto P ( a, f ( a)), viene dada por y f ( a) f ( a)( a) Esta recta, cuya pendiente es f (a), es la función lineal que mejor aproima a f () en un entorno del punto a Se llama diferencial de f () en el punto a al producto f ( a) d Esto es, dy df ( a) f ( a) d En general, si y f () dy df ( ) f ( ) d Ejemplos: a) Para y + dy ( + ) d b) Si y ln dy d c) Si cost d sin tdt Cuantitativamente, la diferencial da la diferencia de los valores que toma la recta tangente en los puntos a y a + a + d (en general, puntos: y + d) Geométricamente, la diferencial es el incremento sobre la recta tangente, como puede verse en el triángulo PQR, de la figura adjunta: RQ dy tan α f ( a) dy f ( a) d Pq d Parece evidente que si d es un valor pequeño, también será pequeño el valor de dy, y más pequeña aún, la diferencia entre el valor sobre la curva f () y el valor sobre la recta tangente (En la figura se indica esa diferencia con el nombre de error) Esto permite concluir que, en un entorno del punto a, la función y f () y la recta tangente, y f ( a) + f ( a)( a), toman valores aproimados: [ y f ()] [ y f ( a) + f ( a)( a) ] Esto es: f ( a + ) f ( a) + f ( a), para pequeño Para allar la ecuación de la tangente a la curva y en el punto de abscisa, se procede así: y si, y(), y () / Luego, la tangente es: y ( ) y + Por tanto, en el punto, la función y puede aproimarse por la recta y + Así, la raíz cuadrada de,,,, +,0 (Lo que se ace es utilizar una función lineal, fácil de manejar, para calcular una raíz cuadrada)

6 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Aplicación de la derivada primera para el estudio gráfico de funciones El signo de la derivada primera de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva asociada a ella Además, en mucos casos posibilita la determinación de máimos y mínimos relativos Crecimiento y decrecimiento f () es creciente en un punto a si f ( a ) f ( a) f ( a + ), para > 0 y pequeño f () es decreciente en un punto a si f ( a ) f ( a) f ( a + ), para > 0 y pequeño La función f () es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos los puntos de él Caracterización mediante la derivada primera Si f ( a) > 0 f () es creciente en a En general, si una función f () es tal que f ( ) > 0 para todo de un intervalo, entonces f () es creciente en ese intervalo Si f ( a) < 0 f () es decreciente en a Si una función f () es tal que f ( ) < 0 para todo de un intervalo, entonces f () es decreciente ese el intervalo Máimos El punto es un máimo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su dereca Por tanto: es un máimo si: f ( ) > 0, f ( ) 0, f ( ) < 0 Mínimos El punto es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su dereca Por tanto: + es un mínimo si: f ( ) < 0, f ( ) 0, f ( ) > 0 La función f ( ) + es creciente a la izquierda del punto, y decreciente a su dereca, pues f ( ) es positiva para < y negativa para > Por tanto, f ( ) + tiene un máimo en La determinación de los puntos singulares (aquellos en los que la derivada vale 0, llamados también estacionarios; y los puntos en lo que la función no está definida) permitirá obtener el crecimiento, el decrecimiento, los máimos y los mínimos Advertencia No siempre que f ( ) 0 se tiene un máimo o un mínimo; ni siquiera esto es una condición necesaria Puede aber mínimo sin que f ( ) 0 : Así, la función f ( ) tiene un mínimo en 0 y en ese punto no es derivable la función Puede suceder que f ( ) 0 y no aya mínimo ni máimo Así pasa en el punto 0 para la función f ( ) Su derivada, f ( ), se anula en 0, pero: Si < 0, (por ejemplo, ), f () > 0 f() es creciente Si > 0, (por ejemplo, ), f () > 0 f() es creciente Por tanto, en 0 no ay máimo ni mínimo Hay un punto de infleión +

7 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para 7 Trazado de gráficas con ayuda de la derivada primera Dada la función y f (), para dibujarla es útil el siguiente proceso: Determinar los puntos en los que no está definida f () Hallar la derivada f () Calcular las soluciones de la ecuación f ( ) 0 (puntos singulares) Marcar sobre el eje OX los puntos singulares y aquellos en los que la función no está definida Esos puntos dividen al eje OX en varios intervalos Estudiar el signo de la derivada en cada intervalo anterior: si el signo es positivo, la función crece; si es negativo, decrece (Basta con probar un punto de cada intervalo) Deducir (de lo anterior) dónde se dan los máimos y los mínimos, si es el caso 7 Trazar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas Trazado de la gráfica de la función Está definida siempre y f ( ) f ( ) 0 ( ) 0 0,, y Marcamos los puntos: Si <, (por ejemplo, ), f () > 0 f () es creciente Si < < 0, (por ejemplo, ), f () < 0 f () es decreciente en ay máimo, Si 0 < <, (por ejemplo, ), f () < 0 f () es decreciente en 0 no ay ni máimo ni mínimo Si >, (por ejemplo, ), f () > 0 f () es creciente en 7 Dando algunos valores se obtiene la gráfica adjunta Para 0, f ( 0) 0 punto (0, 0) Para,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Para,, f ( / ), 0 punto (,,,0) Los cortes con el eje OX, las soluciones de 0, son 0 y ± puntos (, 0), (0, 0) y (, 0) ay mínimo

8 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para 8 Aplicaciones de la derivada segunda: concavidad y conveidad; máimos y mínimos; puntos de infleión La concavidad y la conveidad dependen del punto de vista del que mira Aquí se mirará siempre desde la parte positiva del eje OY Por tanto, la concavidad será así: ; y la conveidad, así: Observa lo que sucede en un intervalo de concavidad ( ) Las tangentes a la curva están por debajo de ella Las rectas tangentes, de izquierda a dereca, tienen cada vez mayor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes crecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada crece: f () es creciente En consecuencia, su derivada (la de f () ) será positiva: f ( ) > 0 Los mínimos se dan siempre en una conveidad Por tanto, si en a ay un mínimo de f (), se cumplirá que f ( a) > 0 Observa lo que sucede en un intervalo de conveidad ( ): Las tangentes a la curva están por encima de ella Las rectas tangentes, de izquierda a dereca, tienen cada vez menor pendiente O, lo que es lo mismo, sus pendientes decrecen (La pendiente viene dada por la derivada) Luego la derivada decrece: f () es decreciente En consecuencia, su derivada (la de f () ) será negativa: f ( ) < 0 Los máimos se dan siempre en una conveidad Por tanto, si en a ay un máimo de f (), se cumplirá que f ( a) < 0 Por tanto, se tiene: Si f ( ) > 0 en el un intervalo (, ) f () es cóncava ( ) en ese intervalo Si f ( ) < 0 en el un intervalo (, ) f () es convea ( ) en ese intervalo Máimos y mínimos Si f (a) 0 y f ( a) < 0 f () tiene un máimo en a Si f (a) 0 y f ( a) > 0 f () tiene un mínimo en a El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f () tenga un máimo (o un mínimo) en a siendo f (a) 0 y f ( a) 0 (sin que f ( ) < 0 o f ( a) > 0 ) Puntos de infleión Los puntos en los que la curva cambia de cóncava a convea, o al revés, se llaman puntos de infleión; en esos puntos, la tangente corta a curva Se cumple también que: Si a es un punto de infleión de f () f ( a) 0 PI a conveidad concavidad El recíproco no es cierto Esto es, puede suceder que f ( a) 0 y en a no aya punto de infleión

9 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para 9 Algunas aplicaciones (de tipo algebraico) para la determinación de funciones Con frecuencia se presenta la necesidad de encontrar una función (un modelo) que cumpla determinadas condiciones Por ejemplo, que sea creciente en un intervalo dado, que presente un máimo en un punto concreto, que tenga una infleión Esas condiciones eigirán que los parámetros que concretan la función cumplan las condiciones pedidas Los siguientes ejemplos aclaran esta cuestión Ejemplo : Considera la función: ( ) 7 + a + b Calcula el valor de los parámetros a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (, 0) y en ese punto tenga un mínimo local 7 Por pasar por (, 0) ( ) + a + b 0 a + b 7 Por tener un mínimo en (, 0), debe cumplirse que ( ) 0 : 7 ( ) + a ( ) 7 + a 0 a 7 Y, por tanto, b Como ( ) es positiva en, en ese punto se da un mínimo 7 Luego, la función es ( ) + 7 a + b si < 0 Ejemplo : Se considera la función f ( ) sin cos si 0 a) Determina el valor de b para que la función sea continua en el punto 0 b) Calcule el valor de a y b para que la función sea derivable en el punto 0 a) Por separado, para cada intervalo de definición, las funciones dadas son continuas y derivables El único punto conflictivo es 0, en donde las funciones se juntan En ese punto la función está definida, siendo f(0) ; para que sea continua, además, debe tener límite en 0 y coincidir con su valor de definición Por la izquierda: Si 0, f ( ) a + b b Por la dereca: Si 0 +, f ( ) sin cos Ambos límites coinciden cuando b a si < 0 Luego, la función f ( ) es continua en todo R sin cos si 0 b) Salvo en 0, su derivada es a si < 0 f ( ) cos + sin si > 0 La función será derivable en 0 si coinciden las derivadas laterales Por la izquierda: Si 0, f ( ) a a Por la dereca: Si 0 +, f ( ) cos + sin Las derivadas son iguales cuando a En consecuencia, la función si < 0 f ( ) es continua y derivable en 0 sin cos si 0

10 UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para 0 Ejemplo : Sea f ( ) A + B + C + D un polinomio de tercer grado del que se sabe que f(0), f (0) y que tiene dos etremos relativos en y en Calcula A, B, C y D y determina razonadamente si esos etremos son máimos o mínimos Hacemos la derivada primera y segunda: f ( ) A + B + C + D f ( ) A + B + C f ( ) A + B Por ser f(0) D Por ser f (0) C Por etremos relativos en y f () 0 y f () 0 Luego: A + B + 0 A + B + 0 A y B De donde, f ( ) + + Como f ( ) se tiene que: f ( ) en se tiene un máimo relativo f ( ) en se tiene un mínimo relativo Ejemplo : Entre los números, cuya suma es, encuentra aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima Sean e y los números Cumplen que + y Se desea que C + y sea mínima Sustituyendo y C + C El mínimo de C se da en la solución e C 0 que ace positiva a C Derivando: C Como C > 0, para el valor 8 se tiene la suma de cuadrados mínima Por tanto, ambos números deben ser iguales a 8 en C se tiene: ( )